Untitled - Notes de cours de mathématique

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1. Le premier degré.
1.1 Equation mx + p = 0 ( ∀ m, p ∈ R)
• m ≠ 0 ⇒ x = -
p
m
Sol. unique :S ={-
p
m
}
• m = 0 ⇒ 0x = - p a) p = 0⇒ 0x = 0 l'éq. est indéterminée : S = R
b) p ≠ 0⇒ 0x = -p l'éq. est impossible : S = ∅
1.2 La fonction f(x) = mx + p
Une fonction f : R
→
R : x
→
f(x) = y = mx + p
• a pour graphe une droite de pente (ou coefficient angulaire) m
f est croissante si m ≥ 0 et décroissante si m ≤ 0
En repère orthonormé, m est la tangente de l'angle formé par
la droite et la partie positive de l'axe des x : m = tan α
α
(
m
p
−
,0)
(0,p)
• admet pour racine x = -
p
m
(si m ≠ 0) : la droite coupe l'axe Ox au point (-
p
m
, 0)
• coupe l’axe Oy au point (0, p) ; p est appelé ordonnée à l'origine.
Cas particulier:
si m ≠ 0 et p = 0: f(x) = mx (exemple : f(x) = 2x)
Il s'agit alors une fonction linéaire qui admet pour racine x = 0
Son graphe passe par l’origine.
(1,2)
Remarques:
Si m = 0 : on a alors une fonction de degré 0
si m = 0 et p ≠ 0 : f(x) = p (exemple: f(x) = 3)
Nous avons une fonction constante qui n’admet pas de racines.
Elle est à la fois croissante et décroissante : sa pente est nulle.
(0,3)
• si m = 0 et p = 0 : f(x) = 0
Il s’agit alors de la fonction constante nulle , de pente nulle
qui admet une infinité de racines.
Son graphe est l'axe Ox

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1.3 Signe du binôme mx + p (m
∈ R
0
)
Le binôme mx + p est du signe de m au-delà de la racine (-
p
m
) et du signe contraire de
m avant la racine.
x -p/m
mx + p signe contraire de m 0 signe de m
2. Radicaux et exposants.
∀ a ∈ R
+
0
∀ m ∈ Z ∀ p ∈ N
0
\{1}: a
- m
=
1
a
m
p
m
a
=
p
a
m
∀ a, b ∈ R
+
0
∀ m, p ∈ Q
a
m
. a
p
= a
m+p
( )
a
mp
= a
m.p
(a.b)
m
= a
m
. b
m
a
m
a
p
= a
m - p
m
b
a
= a
m
b
m
a
0
= 1 (a ∈ R
0
)
3. Les produits remarquables - factorisation
Les formules suivantes sont à utiliser de gauche à droite pour factoriser ou de droite à
gauche pour effectuer selon les cas.
a
2
- b
2
= (a - b) (a + b)
a
2
± 2ab + b
2
= (a ± b)
2
a
3
- b
3
= (a - b) (a
2
+ ab + b
2
)
a
3
+ b
3
= (a + b) (a
2
- ab + b
2
)
a
3
± 3a
2
b + 3ab
2
± b
3
= (a ± b)
3
Ainsi que la formule de factorisation du trinôme du second degré :
ax
2
+ bx + c = a (x - x
1
) (x - x
2
) si ρ > 0
a (x - x
1
)
2
si ρ = 0

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4. Le second degré.
4.1 Equation du second degré à une inconnue.
ax
2
+ bx + c = 0 a, b, c ∈ R a ≠0 ρ = b
2
- 4ac : le réalisant
• ρ > 0 ⇒ 2 racines réelles x
1,2
=
-b ± ρ
2a
• ρ = 0 ⇒ 1 racine double réelle x
1
= x
2
=
-b
2a
• ρ < 0 ⇒ pas de racine réelle.
Lorsque l'équation a des racines, leur somme S =
-b
a
et leur produit P =
c
a
4.2 La fonction du second degré.
Le graphe d'une fonction du second degré f(x) = ax
2
+ bx + c a, b, c ∈ R a ≠0
• admet toujours pour axe de symétrie la droite x =
-b
2a
• a un extrémum de coordonnée (
-b
2a
, f (
-b
2a
)) = (
-b
2a
,
-ρ
4a
)
Si a > 0, la parabole a un minimum Si a < 0, la parabole a un maximum.
Si
ρ
< 0 , elle ne coupe pas l'axe des x
Si
ρ
= 0, elle est tangente à l'axe des x
Si
ρ
> 0, elle coupe l'axe des x en x
1
et x
2
solutions de l'équation ax
2
+ bx + c = 0