Mathématiques MP2 STABILITÉ ÉLÉMENTS PROPRES

Mathématiques MP2
Réduction des endomorphismes
Résumé de cours
Remarque : les résultats sont parfois donnés sur les matrices, parfois sur les endomorphismes... ils sont la plupart du temps
généralisables dans l’autre situation.
S TABILITÉ
Mathématiques MP2
Réduction des endomorphismes
Résumé de cours
Propriété 7 (Lien avec les valeurs propres)
→ si λ est valeur propre de u alors P (λ) est valeur propre de P (u).
→ Les valeurs propres de u sont exactement les racines de χu ou celles de µu .
→ si P est un polynôme annulateur de u alors les valeurs propres de u sont parmi les racines de P .
Théorème 1 (Décomposition des noyaux)
Proposition 1 (Sev stables)
→ si u et v commutent alors ker v et Im v sont stables par u.
→ c’est notamment le cas lorsque v est un polynôme en u : ker u, Im u, E λ = ker(u − λId) et F λ = ker(u − λId)p sont
stables par u.
Proposition 2 (Sous-espaces stables et matrices)
Soit A ∈ M n (K).
→ la droite Vect(X ) est stable par A si et seulement si X est un vecteur propre de A,
n
∑
→ le hyperplan d’équation tU X =
u i x i = 0 est stable par A si et seulement si U est un vecteur propre de t A.
i =1
→ Si P et Q sont premiers entre eux alors ker(PQ)(u) = ker P (u) ⊕ kerQ(u).
k
⊕
→ Si P 1 , . . . , P k sont 2 à 2 premiers entre eux alors ker (P 1 . . . P k ) (u) =
ker P i (u).
i =1
Proposition 8 (Polynômes d’endomorphismes)
Soit u ∈ L (E ).
→ L’application P 7→ P (u) est un morphisme d’algèbre entre (K[X ], +, ·, ×) et (L (E ), +, ·, ◦).
→ On note K[u] = {P (u), P ∈ K[X ]},
→ si d = deg µu , alors la famille (Id, u, . . . , u d −1 est une base de K[u] = Kd −1 [u].
D IAGONALISATION
É LÉMENTS PROPRES
Les espaces sont de dimension finie.
Définition 1 (Éléments propres)
Propriété 9 (Diagonalisation)
si u ∈ L (E ) où E est un K-ev, on appelle
→ valeur propre de u : tout λ ∈ K tel qu’il existe x ̸= 0 tel que u(x) = λx,
→ vecteur propre de u : tout x ∈ E non nul tel qu’il existe λ ∈ K tel que u(x) = λx,
→ espace propre de u pour λ : le sous-espace E λ (u) = ker(u − λId) = {x ∈ E , u(x) = λx}
Soit u ∈ L (E ), on a équivalence
→ u est diagonalisable (il existe une base B de E dans laquelle MatB (u) est diagonale),
→ il existe
⊕une base de E formée de vecteurs propres de u
→ E=
E λ (u),
∑λ∈Sp(u)
dim E λ (u) = dim E
→
Propriété 3 (Somme directe)
Si λ1 , . . . , λp sont des valeurs propres distinctes de u alors les espaces propres E λ1 , . . . , E λk sont en somme directe.
Propriété 4 (Matrices et valeurs propres)
→ si A ∈ M n (K), alors A et t A ont mêmes valeurs propres et dim E λ (A) = dim E λ (t A).
→ si A ∈ M n (R) et λ ∈ SpC (A), alors λ ∈ SpC (A) et les espaces propres associés sont de même dimension.
λ∈Sp(u)
Remarques :
→ lorsque χu est scindé à racines simples alors u est diagonalisable et chacun des n sous-espaces propres est de dimension 1,
→ lorsque χu admet une unique racine λ, alors u est diagonalisable si et seulement si u = λId.
Théorème 2 (Critère de diagonalisabilité avec le polynôme caractéristique)
Soit u ∈ L (E ), u est diagonalisable si et seulement si χu est scindé sur K et pour tout λ ∈ Sp(u), dim E λ (u) = n λ où n λ est
la multiplicité de λ dans χu .
P OLYNÔMES
Théorème 3 (Critère de diagonalisabilité avec les polynômes annulateurs)
Propriété 5 (Polynôme caractéristique)
Soit u ∈ L (E ). On a équivalence
→ u est diagonalisable,
→ u admet un polynôme annulateur scindé à racines simples,
→ le polynôme minimal
de u est scindé à racines simples,
∏
→ le polynôme
(X − λ) est annulateur
Soit A ∈ M n (K)
→ on note χ A = det(X I n − A) le polynôme caractéristique de A,
→ on a χ A = X n − tr (A)X n−1 + . . . + (−1)n det A
→ λ ∈ Sp(A) si et seulement si χ A (λ) = 0,
→ si λ est de multiplicité k Ê 1 dans χ A alors 1 É dim E λ (A) É k
→ χ A = χt A ,
→ M 7→ χM est continue sur M n (K)
λ∈Sp(u)
Théorème 4 (Endomorphisme induit)
Si u est diagonalisable et F est stable par u, alors l’endomorphisme induit u F est diagonalisable.
Propriété 6 (Polynômes annulateurs)
soit u ∈ L (E ),
→ l’ensemble des polynômes annulateurs de u est un idéal de K[X ].
→ en dimension finie, l’ensemble des polynômes annulateurs de u est l’ensemble des multiples d’un unique polynôme unitaire (de degré minimal), appelé polynôme minimal de u et noté µu .
→ le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur (et notamment µu |χu ).
1
année 2016/2017
2
année 2016/2017
Mathématiques MP2
Réduction des endomorphismes
Résumé de cours
T RIGONALISATION
Définition 2 (Endomorphisme trigonalisable)
Soit u ∈ L (E ). On dit que u est trigonalisable lorsqu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est triangulaire
supérieure.
Propriété 10 (Caractérisations)
Soit u ∈ L (E ). On a équivalence
→ u est trigonalisable,
→ le polynôme caractéristique χu est scindé,
→ u admet un polynôme annulateur scindé.
Proposition 11 (Trigonalisation)
Soit u ∈ L (E ). Si u est trigonalisable et Sp(u) = {λ1 , . . . , λp }, alors
p
⊕
→ E=
F i où F i est stable par u et l’endomorphisme induit par u sur F i est u i = λi Id + νi où νi est un endomork=i
phisme nilpotent de F i .
→ la dimension de F i est égale à la multiplicité de λi dans χu ,
→ il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est
3


























λ1
λ1
λ2
(0)
λ2
(0)
λp
λp
























année 2016/2017