Mathématiques MP2 STABILITÉ ÉLÉMENTS PROPRES

Mathématiques MP2 Réduction des endomorphismes Résumé de cours
Remarque : les résultats sont parfois donnés sur les matrices, parfois sur les endomorphismes... ils sont la plupart du temps
généralisables dans l’autre situation.
STABILITÉ
Proposition 1 (Sev stables)
→si uet vcommutent alors kervet Im vsont stables par u.
→c’est notamment le cas lorsque vest un polynôme en u: keru, Im u,Eλ=ker(u−λId) et Fλ=ker(u−λId)psont
stables par u.
Proposition 2 (Sous-espaces stables et matrices)
Soit A∈Mn(K).
→la droite Vect(X) est stable par Asi et seulement si Xest un vecteur propre de A,
→le hyperplan d’équation tU X =
n
∑
i=1
uixi=0 est stable par Asi et seulement si Uest un vecteur propre de tA.
ÉLÉMENTS PROPRES
Définition 1 (Éléments propres)
si u∈L(E) où Eest un K-ev, on appelle
→valeur propre de u: tout λ∈Ktel qu’il existe x̸=0 tel que u(x)=λx,
→vecteur propre de u: tout x∈E non nul tel qu’il existe λ∈Ktel que u(x)=λx,
→espace propre de upour λ: le sous-espace Eλ(u)=ker(u−λId) ={x∈E,u(x)=λx}
Propriété 3 (Somme directe)
Si λ1,...,λpsont des valeurs propres distinctes de ualors les espaces propres Eλ1,...,Eλksont en somme directe.
Propriété 4 (Matrices et valeurs propres)
→si A∈Mn(K), alors Aet tAont mêmes valeurs propres et dimEλ(A)=dimEλ(tA).
→si A∈Mn(R) et λ∈SpC(A), alors λ∈SpC(A) et les espaces propres associés sont de même dimension.
POLYNÔMES
Propriété 5 (Polynôme caractéristique)
Soit A∈Mn(K)
→on note χA=det(X In−A) le polynôme caractéristique de A,
→on a χA=Xn−tr(A)Xn−1+...+(−1)ndet A
→λ∈Sp(A) si et seulement si χA(λ)=0,
→si λest de multiplicité kÊ1 dans χAalors 1 ÉdimEλ(A)Ék
→χA=χtA,
→M7→χMest continue sur Mn(K)
Propriété 6 (Polynômes annulateurs)
soit u∈L(E),
→l’ensemble des polynômes annulateurs de uest un idéal de K[X].
→en dimension finie, l’ensemble des polynômes annulateurs de uest l’ensemble des multiples d’un unique poly-
nôme unitaire (de degré minimal), appelé polynôme minimal de u et noté µu.
→le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur (et notamment µu|χu).
1 année 2016/2017
Mathématiques MP2 Réduction des endomorphismes Résumé de cours
Propriété 7 (Lien avec les valeurs propres)
→si λest valeur propre de ualors P(λ) est valeur propre de P(u).
→Les valeurs propres de usont exactement les racines de χuou celles de µu.
→si Pest un polynôme annulateur de ualors les valeurs propres de usont parmi les racines de P.
Théorème 1 (Décomposition des noyaux)
→Si Pet Qsont premiers entre eux alors ker(PQ)(u)=kerP(u)⊕kerQ(u).
→Si P1,...,Pksont 2 à 2 premiers entre eux alors ker(P1...Pk)(u)=
k
⊕
i=1
kerPi(u).
Proposition 8 (Polynômes d’endomorphismes)
Soit u∈L(E).
→L’application P7→P(u) est un morphisme d’algèbre entre (K[X],+,·,×) et (L(E),+,·,◦).
→On note K[u]={P(u),P∈K[X]},
→si d=degµu, alors la famille (Id,u,...,ud−1est une base de K[u]=Kd−1[u].
DIAGONALISATION
Les espaces sont de dimension finie.
Propriété 9 (Diagonalisation)
Soit u∈L(E), on a équivalence
→uest diagonalisable (il existe une base Bde Edans laquelle MatB(u) est diagonale),
→il existe une base de Eformée de vecteurs propres de u
→E=⊕
λ∈Sp(u)
Eλ(u),
→∑
λ∈Sp(u)
dimEλ(u)=dimE
Remarques :
→lorsque χuest scindé à racines simples alors uest diagonalisable et chacun des nsous-espaces propres est de di-
mension 1,
→lorsque χuadmet une unique racine λ, alors uest diagonalisable si et seulement si u=λId.
Théorème 2 (Critère de diagonalisabilité avec le polynôme caractéristique)
Soit u∈L(E), uest diagonalisable si et seulement si χuest scindé sur Ket pour tout λ∈Sp(u), dimEλ(u)=nλoù nλest
la multiplicité de λdans χu.
Théorème 3 (Critère de diagonalisabilité avec les polynômes annulateurs)
Soit u∈L(E). On a équivalence
→uest diagonalisable,
→uadmet un polynôme annulateur scindé à racines simples,
→le polynôme minimal de uest scindé à racines simples,
→le polynôme ∏
λ∈Sp(u)
(X−λ) est annulateur
Théorème 4 (Endomorphisme induit)
Si uest diagonalisable et Fest stable par u, alors l’endomorphisme induit uFest diagonalisable.
2 année 2016/2017

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TRIGONALISATION
Définition 2 (Endomorphisme trigonalisable)
Soit u∈L(E). On dit que uest trigonalisable lorsqu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de uest triangulaire
supérieure.
Propriété 10 (Caractérisations)
Soit u∈L(E). On a équivalence
→uest trigonalisable,
→le polynôme caractéristique χuest scindé,
→uadmet un polynôme annulateur scindé.
Proposition 11 (Trigonalisation)
Soit u∈L(E). Si uest trigonalisable et Sp(u)={λ1,...,λp}, alors
→E=
p
⊕
k=i
Fioù Fiest stable par uet l’endomorphisme induit par usur Fiest ui=λiId +νioù νiest un endomor-
phisme nilpotent de Fi.
→la dimension de Fiest égale à la multiplicité de λidans χu,
→il existe une base de Edans laquelle la matrice de uest
λ1
λ1
λ2
λ2
λp
λp
(0)
(0)
3 année 2016/2017