Diagonalisation présentation Powerpoint

Diagonalisation des endomorphismes
réels dans un espace vectoriel E de
dimension finie n.
L’endomorphisme le plus simple
est l’ homothétie.
Une homothétie de E est une application qui à tout vecteur u de E
associe λu
Sa matrice est une matrice
scalaire
( dans n’importe quelle base de E).




 0




0 







Problématique:
f étant un endomorphisme de E
Existe-t-il des sous espaces vectoriels F de
E tels que la restriction de f à ces sous
espaces vectoriels soit une homothétie?
Recherche des sous espaces vectoriels de dimension
supérieure ou égale à 1 sur lesquels f se réduit à une
homothétie.
• Si F est un tel sous espace alors il existe un
réel λ pour tout vecteur u de F, f(u)= λu
λ est appelée valeur propre de f.
Si u est non nul, u est appelé vecteur propre de f associé à la
valeur propre λ .
• F est inclus dans le noyau de (f- λId).
Ker (f- λId) est appelé espace propre de f
associé à la valeur propre λ.
Recherche des valeurs propres
La proposition suivante :
λ valeur propre de f
est équivalente aux quatre propositions qui suivent:
•
•
•
•
Ker (f- λId) est au moins de dimension 1.
(f- λId) n’est pas inversible.
rg(f- λId) < dim E.
Det (f- λId) =0.
Le polynôme caractéristique
Det (f- λId) est appelé polynôme caractéristique de f
- Ce polynôme de variable λ est de degré n ( dim E).
- Ses racines sont les valeurs propres de f.
Valeurs propres et Espaces propres
• Une fois déterminées les valeurs propres, on
connait leur multiplicité dans le polynôme
caractéristique, on détermine une base de
chaque espace propre.
Propriété importante des Espaces
propres
• Les espaces propres sont en somme directe.
Cela signifie en particulier que la dimension
de la somme des espaces propres est égale à
la somme des dimensions des espaces
propres.
Cela signifie aussi que la réunion des bases
des différents espaces propres est toujours
une famille libre de E.
Comment savoir si un endomorphisme f de E
est diagonalisable?
• Définition: f est diagonalisable si et seulement si
il existe une base dans laquelle la matrice de f est
diagonale .Cette base est en fait une base de
vecteurs propres.
• Autres façons d’exprimer ce qui précède:
- La somme des dimensions des espaces propres est égale à
la dimension de E.
- La somme des espaces propres est égale à E.
Dimension d’un espace propre et multiplicité de la
valeur propre dans le polynôme caractéristique.
• Si λ est valeur propre de f avec une multiplicité de mλ
dans le polynôme caractéristique alors la dimension de
l’espace propre est inférieur ou égal à mλ . Conséquence:
• Théorème fondamental:
f endomorphisme de E (de dimension finie) est diagonalisable
SSI:
- Son
et
polynôme caractéristique est scindé
-si pour chaque valeur propre, la multiplicité est égale à
la dimension de l’espace propre associé.
Diagonalisation de l’endomorphisme f
E,B
A
E,B
f
f(x,y)= (x+y,3x-y)
1 1 
A( B,B )   3 1
Recherche du polynôme
caractéristique.
1  X
det( f  XId )  det 
 3
1 
2

X
4

1  X 
Les valeurs propres sont donc 2 et -2
Le polynôme caractéristique est scindé.
Recherche des espaces propres
• E-2 espace propre associé à la valeur propre -2 est le
noyau de f+2Id ou de la matrice A+2I:
 3 1
3x  y  0
A  2I  
 en résolvant: 
 3 1
3x  y  0
 1
On obtient Ker ( A  2 I )  vect  
3
Recherche des espaces propres
• E2 espace propre associé à la valeur propre 2 est le
noyau de f-2Id ou de la matrice A-2I:
 1 1 
 x  y  0
A  2I  
 en résolvant: 
 3 3 
3x  3 y  0
 1
On obtient Ker ( A  2 I )  vect  
 1
f est diagonalisable : On vérifie bien les
conditions du théorème fondamental.
Autre façon de justifier le fait que f soit
diagonalisable.
1  1 
  ;    est une base de vecteurs propres.
1  3  
Matrice de passage
• Notons B la base canonique et B1 la base de
vecteurs propres définie précédemment
2
• .Dans cette base, la matrice de f s’écrit: D  
0

0

2


E,B
P
Id E
E,B1
1 1
P

1 3 
La relation A  PDP
exp rime le changement de base.
-1