Diagonalisation présentation Powerpoint

Diagonalisation des endomorphismes
réels dans un espace vectoriel E de
dimension finie n.

L’endomorphisme le plus simple
est l’ homothétie.
Une homothétie de E est une application qui à tout vecteur u de E
associe λu
Sa matrice est une matrice
scalaire
( dans n’importe quelle base de E).
0
0

Problématique:
f étant un endomorphisme de E
Existe-t-il des sous espaces vectoriels F de
E tels que la restriction de f à ces sous
espaces vectoriels soit une homothétie?

Recherche des sous espaces vectoriels de dimension
supérieure ou égale à 1 sur lesquels f se réduit à une
homothétie.
•Si F est un tel sous espace alors il existe un
réel λpour tout vecteur u de F, f(u)= λu
λest appelée valeur propre de f.
Si u est non nul, u est appelé vecteur propre de f associé à la
valeur propre λ.
•F est inclus dans le noyau de (f- λId).
Ker (f- λId) est appelé espace propre de f
associé à la valeur propre λ.

Recherche des valeurs propres
La proposition suivante :
λvaleur propre de f
est équivalente aux quatre propositions qui suivent:
•Ker (f- λId) est au moins de dimension 1.
•(f-λId) n’est pas inversible.
•rg(f- λId) < dim E.
•Det (f- λId) =0.