Exercice. On considère la matrice 1. Déterminer les valeurs propres
publicité
Exercice. On considère la matrice −1 0 . 1 1 0 0 1 A= −1 2 1. Déterminer les valeurs propres de la matrice A. Réponse: son polynôme caractéristique est donné par 1−X 0 −1 1−X −1 0 1−X 0 −P (X) = = −X(X − 1)(X − 2) et les valeurs propres = (1 − X) −1 1−X −1 2 1−X de A sont 0, 1 et 2 (chacune est racine de multiplicté un du polynôme cractéristique). 2. Déterminer les sous espace propes de A? (a) Pour λ = 0, (x, y, z) ∈ ker A est équivalent à et ((1, 0, 1)) est une base de ker A. x y +2y −x (b) Pour λ = 1, (x, y, z) ∈ ker(A − I) est équivalent à y(2, 1, 0) et ((2, 1, 0)) est une base de ker(A − I). (c) Pour λ = 2, (x, y, z) ∈ ker(A − 2I) est équivalent à −z = 0 = 0 et donc (x, y, z) = (x, 0, x) = x(1, 0, 1) +z = 0 0 −x +2y −x −x x(1, 0, −1) et ((1, 0, −1)) est une base de ker(A − 2I). −y +2y −z = 0 = 0 et donc (x, y, z) = (2y, y, 0) = =0 −z = 0 =0 et donc (x, y, z) = (x, 0, −x) = −z = 0 3. La matrice A est-elle diagonalisable sur R? Si oui la diagonaliser. Réponse: le polynôme caractéristique est à racines réelles simples donc A est-elle diagonalisable sur R. En prenant comme nouvelle base une base de vecteurs propres par exemple ((1, 0, 1), (2, 1, 0), (1, 0, −1)) la matrice de passage est Mat((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) ((1,0,1),(2,1,0),(1,0,−1)) (id) = 1 P = 0 1 2 1 0 1 0 0 2 0 et P −1 AP = 0 1 0 . −1 0 0 2 4. Déterminer le reste de la division euclidienne de X n par X(X − 1)(X − 2). Réponse : si n < 3 le reste est X n puisqu'alors X n est de degré strictement inférieur à 3 (3 est le degré de X(X − 1)(X − 2)). Si n 2 n − 1)(X − 2)Q(X) + aX + bX + c. En prenant X = 0, 1, 2 on obtient le système ≥ 3, posons X = X(X c=0 a +b +c = 1 d'où a = 2n−1 − 1 et b = 2 − 2n−1 et donc le reste de la division de X n par n 4a +2b +c = 2 X(X − 1)(X − 2) est (2n−1 − 1)X 2 + (2 − 2n−1 )X si n ≥ 1, et si n = 0, le reste est 1. 5. Déduire de la question précédente l'expression de An en fonction de A et de A2 . Réponse: l'égalité entre polynômes X n = X(X − 1)(X − 2)Q(X) + aX 2 + bX donne l'égalité An = A(A − I)(A − 2I)Q(A) + aA2 + bA, mais comme le polynôme caractéristique est annulateur de A on sait que A(A − I)(A − 2I) = 0 et donc An = (2n−1 − 1)A2 + (2 − 2n−1 )A si n ≥ 1 et A0 = I pour n = 0. Exercice On considère la matrice suivante 0 0 J = 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 . 1 0 1. Déterminer J 2 , J 3 et J 4 . Réponse : si j est l'endomorphisme associé à J dans la base canonique (e1 , e2 , e3 , e4 ), 2 2 à partir de j(e1) = e4 ,j(e2 ) = e1 , j((e 3 ) = e2 et j(e4 ) = e3 on obtient j (e1 ) = e3 . . . d'où J = 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 3 , J = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 et J 4 = I . 0 0 2. Déterminer un polynôme annulateur non nul de J. Réponse: comme J 4 = I on sait que X 4 − 1 est annulateur. 3. Montrer que si P ∈ C[X] avec deg(P ) ≤ 3 vérie P (J) = 0 alors P = 0. Réponse : si P (X) = a0 + a1 X + a0 a1 a2 a a1 3 a0 a2 X 2 + a3 X 3 alors P (J) = a0 I + a1 J + a2 J 2 + a3 J 3 = a2 a3 a0 a1 a2 a3 seulement si a0 = a1 = a2 = a3 = 0 donc si et seulement si P est nul. a3 a2 et donc P est annulateur si et a1 a0 4. En déduire le polynôme minimal de J. Réponse : donc il n'existe aucun polynôme annulateur de J non nul de degré inférieur ou égal à 3. Donc les polynômes annulateurs sont de degré supérieurs ou égaux à 4. Comme le polynôme X 4 − 1 est annulateur (et que son coecient de plus haut degré est 1), c'est le polynôme minimal de J . 5. Montrer que J est diagonalisable. Réponse ; le polynôme minimal est X 4 − 1 = (X 2 − 1)(X 2 + 1) = (X − 1)(X + 1)(X − i)(X + i). Il est à racines simple sur C. Donc J est diagonalisable sur C mais pas sur R, puisqu'il n'est pas scindé sur R. 6. Déterminer les valeurs propres de J.? Réponse : le polynôme minimal est le polynôme caractéristique puisqu'il est de degré 4, (ces deux polynômes ont toujours les mêmes racines). Les valeurs propres sont 1, −1, i, et −i si on considère l'endomoprphisme sur C et les valeurs propres sont 1 et −1 si on considère l'endomorphisme sur R.
