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CCP Maths 1 PC 2010 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Cornet (ENS Lyon) ; il a été relu par Vincent
Leclère (École Polytechnique) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).
Ce sujet d’algèbre linéaire propose d’étudier la notion de racine carrée d’un endomorphisme réel, et de déterminer ces racines dans des cas particuliers.
• La première partie détermine l’ensemble des racines carrées de deux endomorphismes diagonalisables particuliers, donnés par leur matrice dans la base
canonique de R3 .
• La deuxième se place dans le cas d’un espace de dimension finie quelconque et
demande de déterminer les racines carrées d’un endomorphisme diagonalisable
possédant exactement deux valeurs propres.
• La troisième propose de démontrer le critère suivant à l’aide des polynômes
interpolateurs de Lagrange : un endomorphisme f d’un espace E de dimension
finie est diagonalisable si, et seulement si, il existe m endomorphismes p1 , . . ., pm
de E et m réels λ1 , . . . , λm distincts tels que
∀k ∈ N
fk =
m
P
λi k pi
i=1
On généralise ensuite les résultats des parties précédentes aux endomorphismes
diagonalisables d’un espace de dimension finie.
• La quatrième et dernière partie propose d’étudier les racines carrées des endomorphismes nilpotents et de ceux qui le deviennent en leur ajoutant un multiple
de l’identité.
La difficulté de ce sujet ne réside pas dans des questions particulièrement calculatoires, mais dans l’aspect trompeusement répétitif de la démarche employée au
sein de chaque partie. Comme le cadre et les hypothèses changent à chaque partie,
il est important de bien faire la part des méthodes à réutiliser et des approches qu’il
faut généraliser ou renouveler par rapport à la partie précédente. Les quatre parties
sont indépendantes, mais les hypothèses de départ étant de plus en plus générales,
il est conseillé de traiter le sujet dans l’ordre.
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Indications
I.A.1 Calculer le polynôme caractéristique de A.
I.A.3 Utiliser la formule de changement de base pour passer de A à D.
I.A.4 Exprimer les vecteurs de la base canonique en fonction des vecteurs propres
de A.
I.A.7 Tout réel strictement positif a exactement deux racines carrées.
I.B.1 Calculer les premières puissances de J puis raisonner par récurrence.
I.B.2 On peut se servir de la formule du binôme de Newton.
I.B.3 Calculer le polynôme caractéristique de f et simplifier le déterminant en
remarquant que la somme en ligne est constante.
II.2 Reformuler le résultat de la question II.1 en termes d’image et de noyau.
II.4 Partir de la relation entre f , f 2 et id et la transformer pour faire apparaître
l’expression de f −1 en fonction de p et q.
II.5 Attention au domaine de validité demandé : Z et non N. On peut raisonner
par récurrence.
II.6 Quelle est, au maximum, la dimension de cet espace ? Au minimum ?
II.7 Se servir de la démarche adoptée à la question I.A.7.
II.8 Utiliser le résultat intermédiaire de la question I.B.7.
II.9 Considérer un endomorphisme qui inverse les deux premiers vecteurs d’une
base de vecteurs propres de f .
II.10 Si dim E > 3, quelle est la dimension des sous-espaces propres de f ?
III.2 Chercher à appliquer le résultat de la question précédente à un polynôme
bien choisi.
III.3 Établir une relation entre Lℓ (X) et le polynôme utilisé à la question III.2.
m
P
III.5 Que vaut
Li (X) ?
i=1
III.6 Cette famille est-elle libre ?
III.7 Adopter le même type de démarche que pour les questions I.A.7 et II.7.
III.8.2 Calculer f (h(x)), où x est un vecteur propre associé à la valeur propre λ, et
utiliser la question précédente.
III.9 S’inspirer de la question II.9.
IV.A.1 Utiliser la méthode habituelle pour établir la liberté d’une famille, puis composer avec une puissance bien choisie de f . Quel est le cardinal maximal d’une
famille libre dans E ?
IV.A.2 Si h ∈ R(f ), quels sont les entiers a et b tels que ha = 0 et hb 6= 0 ?
IV.A.3 Se souvenir des développements limités usuels.
IV.A.5 Considérer P(f ). Puis se ramener au cas précédent.
IV.B.1 Que dire des grandes puissances d’une matrice triangulaire supérieure stricte ?
IV.B.2 Si le polynôme caractéristique de f est scindé, quelle est la forme de sa matrice
dans une base particulière ?
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Partie I
I.A.1 Calculons PA le polynôme caractéristique de A. Soit x un réel ; développons PA (x) par rapport à la troisième ligne :
8 − x
4
−7 −4 − x
8 PA (x) = −8
0
0
1 − x
= (1 − x)((8 − x)(−4 − x) + 32)
= (1 − x)(x2 − 4x)
PA (x) = (1 − x) x (x − 4)
Rappelons qu’il faut toujours commencer par chercher à factoriser un polynôme caractéristique et non le développer trop tôt.
Le polynôme PA est scindé dans R et toutes ses racines sont simples, par conséquent
f est diagonalisable.
Remarquons que la deuxième colonne de A est égale à sa première colonne
multipliée par 1/2, donc det A = 0. En outre, la troisième ligne de A − I3 est
une ligne de zéros, d’où det(A − I3 ) = 0. Ainsi, 0 et 1 sont des valeurs propres
évidentes de A. Une fois que l’on a prouvé que le polynôme caractéristique
de A est scindé, la troisième valeur propre λ se déduit facilement des deux
premières grâce à l’invariance de la trace d’une matrice par rapport à la base
choisie : 8 − 4 + 1 = 0 + 1 + λ, soit λ = 4. En outre, comme 0 est valeur propre
de A, cette matrice n’est pas inversible.
I.A.2 La question précédente a permis de montrer que
Sp(f ) = {0; 1; 4}
Cherchons à présent les sous-espaces propres associés à ces valeurs propres.
• Un vecteur X = (x, y, z) ∈ R3 appartient à Ker (f ) si et seulement si

 8 x + 4 y − 7z = 0
−8 x − 4 y + 8z = 0

z=0
soit y = −2x et z = 0. Une base de Ker (f ) est donc v1 = (1, −2, 0).
• X = (x, y, z) ∈ Ker (f − id) si et seulement si
7 x + 4 y − 7z = 0
7 x + 4 y − 7z = 0
⇐⇒
−8 x − 5 y + 8z = 0
−x − y + z = 0
soit y = 0 et z = x. Une base de Ker (f − id) est donc v2 = (1, 0, 1).
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• Enfin, X = (x, y, z) ∈ Ker (f − 4 id) si et seulement si

 4 x + 4 y − 7z = 0
−8 x − 8 y + 8z = 0

−3 z = 0
soit x + y = 0 et z = 0. Une base de Ker (f − 4 id) est donc v3 = (1, −1, 0).
Pour conclure, la nouvelle base est
     
1
1
1
(v1 , v2 , v3 ) = −2 , 0 , −1
0
1
0
Dans cette base, la matrice D de f est diagonale :


0 0 0
D = 0 1 0
0 0 4
I.A.3 Si on pose P = (v1 , v2 , v3 ), alors la formule de changement de base fournit
A = P D P−1 . À la puissance m,
Am = P D P−1 P D P−1 · · · P D P−1
qui donne par une récurrence immédiate
Am = P Dm P−1
I.A.4 Pour inverser la matrice P, exprimons les vecteurs de la base canonique
en fonction des vecteurs propres de A v1 , v2 et v3 . On a
v1 = e1 − 2 e2
v2 = e1 + e3
v3 = e1 − e2
(1)
(2)
(3)
La différence entre (1) et 2 × (3) donne e1 = 2 v3 − v1 . La différence entre (3) et (1)
donne e2 = v3 − v1 . Enfin, (2) donne e3 = v2 − e1 = v2 − 2 v3 + v1 . On en déduit
l’inverse de P :


−1 −1 1
0
1
P−1 =  0
2
1 −2
Calculons enfin la puissance m-ième de A :
Am = PDm P−1

 
 

1 1 1
0 0 0
−1 −1 1
= −2 0 −1 × 0 1 0  ×  0
0
1
0 1 0
0 0 4m
2
1 −2

 

−1 −1 1
0 1 4m
0
1
= 0 0 −4m  ×  0
2
1 −2
0 1
0


2 × 4m
4m 1 − 2 × 4m
2 × 4m 
Am = −2 × 4m −4m
0
0
1
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