Divisibilité et congruences

Chapitre I
Divisibilité et congruences
☞Activité 1 page 8 et 3 page 9 pour mettre en place la notion de diviseur, démontrer un
résultat général par le calcul littéral, utiliser l’écriture décimale d’un entier.
1 Divisibilité dans Z
Définition 1 :
On note Nl’ensemble des entiers naturels.
N={0; 1; 2; 3; ...}et N∗=N\0 = {1; 2; 3; ...}
On note Zl’ensemble des entiers relatifs.
Z={· · · − 3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; ...}.
On a N⊂Z.
Définition 2 :
Soit a,b∈Z. On dit que adivise bet on note a|bs’il existe k∈Ztel que b=ak.
On dit aussi que aest un diviseur de bou que best un multiple de a.
Remarque 1
✱1divise tout entier.
✱0est un multiple de tout entier.
✱Si a|bet b|aalors a=bou a=−b(à prouver)
Exemple 1
✱−5|30 ;7| − 7049 car −7049 = −7×1000 + 7 ×(−7) = 7 ×(−1007).
✱Les diviseurs de 30 sont : ±1; ±2; ±3; ±5; ±6; ±10; ±15; ±30.30 a donc 16 diviseurs.
Exercice 1 Soit n∈Z. Montrer que 2n+ 7|2n2+n−21.
Propriété 1 :
a, b, c, u, v désignent des entiers relatifs.
1. Si a|bet b|calors a|c(transitivité)
2. Si a|bet a|calors a|b+c
3. Si a|bet a|calors a|ub +vc (on dit que adivise toute combinaison linéaire de bet c)
Preuve : On revient à la définition...
☞Exercices 1, 3, 6, 7, 10, 11 page 17 (utiliser le raisonnement par disjonction de cas)
1

2 Division euclidienne
Théorème 1 Soit aun entier relatif et bun entier naturel non nul.
Il existe un unique couple d’entiers (q, r)tels que
a=bq +ravec 0≤r < b
Déterminer qet r, c’est effectuer la division euclidienne de apar b.
On appelle ale dividende, ble diviseur, qle quotient et rle reste.
Exemple 2 Lorsqu’on effectue la division euclidienne de 26 par 3, on cherche le plus grand
multiple de 3inférieur à 26. (On dit même :" En 26 combien de fois 3?")
7×3 = 21 8 ×3 = 24 9 ×3 = 27
26
On a donc : 26 = 3 ×8 + 2. (q= 3 et r= 2).
Effectuons maintenant la division euclidienne de −26 par 3.
Remarquons que l’égalité −26 = −8×3−2ne correspond pas à une division euclidienne
puisque −2<0.
On a le schéma :
−10 ×3−9×3−8×3
−26
Et donc : −26 = −9×3 + 1 (q=−9et r= 1)
Démonstration du théorème :
•Existence On admet le résultat suivant :
Axiome 1 Toute partie non vide et majorée de Nadmet un élément maximal.
Remarquons que ceci est faux par exemple dans R:
]1; 2[ est une partie non vide de R, majorée par 2(tout élément de ]1; 2[ est inférieur à 2) qui
n’admet pas d’élément maximal (En effet, 2/∈]1; 2[)
(On suit le même principe que dans les exemples précédents)
Supposons d’abord que a∈N.
On appelle Ml’ensemble des multiples de binférieurs à a.
–Mest non vide puisque 0∈M. En effet, 0est un multiple de bet 0≤a.
–Mest majoré puisque tout élément de Mest inférieur à a.
2

On en déduit que Madmet un élément maximal que nous appelons m.métant un multiple
de b, il existe q∈Ntel que m=bq.
b(q−1) m=bq b(q+ 1)
a
On pose r=a−bq. Puisque m=bq ≤aalors 0≤a−bq c’est-à-dire 0≤r.
D’autre part, le multiple de bsuivant mest b(q+ 1). Or b(q+ 1) ≥mdonc b(q+ 1) /∈M
puisque mest le plus grand élément de M. Il vient alors : b(q+ 1) > a soit bq +b > a ou
encore a−bq < b.
On a ainsi prouvé 0≤r < b ce qui achève la preuve de l’existence dans le cas où a∈N.
On suppose maintenant que a≤0.
On a alors −a∈Net, d’après ce que l’on vient d’écrire, il existe qet rentiers naturels tels
que −a=bq +ret 0≤r < b.
On a donc a=b×(−q)−r.
Si r= 0 alors a=b×(−q):−qest alors le quotient.
Si r > 0, on écrit a=b×(−q)−b+b−r=b(−q−1) + (b−r): c’est la division euclidienne
de apar b.
En effet, puisque 0< r < b alors 0< b −r < b. A fortiori 0≤b−r < b.−q−1est donc le
quotient et b−rle reste. (vérifier ce que l’on a fait avec 26 et −26 précédemment.
•Unicité Une méthode habituelle pour démontrer une unicité est supposer l’existence
d’un second couple.
Supposons donc qu’il existe deux couples d’entiers (b, q)et (b′, q′)vérifiant
a=bq +ravec 0≤r < b
a=bq′+r′avec 0≤r′< b
Effectuons la différence membre à membre de ces égalités. On obtient
0 = b(q−q′) + r−r′avec −b < r −r′< b
On en déduit que r−r′est un multiple de b, et que ce multiple est strictement compris
entre −bet b.
Le seul multiple qui convient est 0, donc r−r′= 0 et par suite q−q′= 0, c’est à dire que
r=r′et q=q′. Dès lors il n’existe qu’un seul couple solution.
Remarque 2 Sur les calculatrices CASIO, il n’existe pas de touche "division euclidienne".
On peut cependant écrire un programme demandant aet bet retournant qet r. Pour cela,
utiliser la touche Intg (ne pas confondre avec Int) dans le menu NUM. La séquence Intg(a/b)
retourne la partie entière de a/b c’est-a-dire le plus grand entier inférieur à a/b (c’est q!).
3

3 Congruences
Définition 3 :
Soient aet bdeux entiers et nun entier naturel non nul. On dit que aest congru à bmodulo
nlorsque aet bont le même reste dans la division euclidienne par n.
On note a≡b[n]
Exemple 3 :
– Par exemple : 37 ≡22[5]. En effet, 37 = 5 ×7 + 2 et 22 = 5 ×4 + 2.
– Ou encore −16 ≡ −1[3]
Conséquence : Si rest le reste de la division euclidienne de apar nalors a≡r[n].
Mais la réciproque est fausse... (cf exemples ci-dessus)
Propriété 2 :
a≡b[n]si et seulement si a−best divisible par n.
Démonstration : Rappelons que l’expression "si et seulement si" signifie qu’il y a équiva-
lence. Autrement dit : A si et seulement si B veut dire Si A alors B et si B alors A. Il y a
deux sens : sens direct et sens réciproque.
•sens direct : Démontrons que si a≡b[n]alors a−best divisible par n.
Soit aet btels que a≡b[n]. Alors aet bont le même reste rdans la div euclidienne par n.
On peut donc écrire a=nq +ret b=nq′+roù qet q′sont deux entiers. En soustrayant
membre à membre ces deux égalités, il vient : a−b=n(q−q′). On a prouvé que a−best
divisible par n.
•sens réciproque : Démontrons que si a−best divisible par nalors a≡b[n].
Si a−best divisible par n, il existe un entier ktel que a−b=kn. En écrivant les divisions
euclidiennes respectives de aet bpar n, on a :
a=nq +ret b=nq′+r′. D’où : a−b=n(q−q′) + r−r′, soit kn =n(q−q′) + r−r′et
r−r′=n(k−q+q′).
r−r′est donc un multiple de nqui vérifie −n < r −r′< n. (car r < n et r′< n...) Il n’en
existe qu’un seul : zéro, donc r−r′= 0 et r=r′. Ainsi aet bont le même reste dans la
division euclidienne par nc’est-à-dire a≡b[n].
Corollaire 1 a≡b[n]si et seulement si il existe un entier ktel que a=b+kn
Propriété 3
1. a≡a[n](réflexivité)
2. Si a≡b[n], alors b≡a[n](symétrie)
3. Si a≡b[n]et b≡c[n], alors a≡c[n](transitivité)
4. Si a≡b[n]et a′≡b′[n], alors
a+a′≡b+b′[n]a−a′≡b−b′[n]aa′≡bb′[n]
5. Si a≡b[n], alors, pour tout k∈N,ak≡bk[n]
4

Démonstration : On utilise la propriété : a≡b[n]si et seulement si a−best divisible par n.
Si a−bet a′−b′sont des multiples de nalors toute combinaison linéaire de ces deux nombres
est multiple de n. Or (a+a′)−(b+b′) = (a−b)+(a′−b′);(a−a′)−(b−b′) = (a−b)−(a′−b′)
et aa′−bb′= (a−b)b′+ (a′−b′)a.
On démontre la dernière propriété par récurrence sur k:
Initialisation : Si a≡b[n]alors a0≡b0[n](car 1≡1[n]... est toujours vraie)
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang pavec p > 0. On a donc : ap≡bp[n].
Or ap+1 ≡a×ap≡b×bp≡bp+1[n]. La propriété est donc vraie au rang p+ 1
Conclusion : D’après le principe de récurrence, ak≡bk[n]pour tout k∈N.
Quelques utilisations des congruences :
– Simplifications de congruences ex : simplifier a≡2731[6]
– Déterminer un reste, un chiffre des unités
ex : déterminer le reste de 72013 dans la division euclidienne par 5
– Critères de divisibilité
– Clefs de contrôle ex ISBN, INSEE, RIB...
– Équations avec congruences
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