Divisibilité et congruences

Chapitre I
Divisibilité et congruences
☞ Activité 1 page 8 et 3 page 9 pour mettre en place la notion de diviseur, démontrer un
résultat général par le calcul littéral, utiliser l’écriture décimale d’un entier.
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Divisibilité dans Z
Définition 1 :
On note N l’ensemble des entiers naturels.
N = {0; 1; 2; 3; . . .} et N∗ = N \ 0 = {1; 2; 3; . . .}
On note Z l’ensemble des entiers relatifs.
Z = {· · · − 3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; . . .}.
On a N ⊂ Z.
Définition 2 :
Soit a, b ∈ Z. On dit que a divise b et on note a|b s’il existe k ∈ Z tel que b = ak.
On dit aussi que a est un diviseur de b ou que b est un multiple de a.
Remarque 1
✱ 1 divise tout entier.
✱ 0 est un multiple de tout entier.
✱ Si a|b et b|a alors a = b ou a = −b (à prouver)
Exemple 1
✱ −5|30 ; 7| − 7049 car −7049 = −7 × 1000 + 7 × (−7) = 7 × (−1007).
✱ Les diviseurs de 30 sont : ±1; ±2; ±3; ±5; ±6; ±10; ±15; ±30. 30 a donc 16 diviseurs.
Exercice 1 Soit n ∈ Z. Montrer que 2n + 7|2n2 + n − 21.
Propriété 1 :
a, b, c, u, v désignent des entiers relatifs.
1. Si a|b et b|c alors a|c (transitivité)
2. Si a|b et a|c alors a|b + c
3. Si a|b et a|c alors a|ub + vc (on dit que a divise toute combinaison linéaire de b et c)
Preuve : On revient à la définition...
☞ Exercices 1, 3, 6, 7, 10, 11 page 17 (utiliser le raisonnement par disjonction de cas)
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Division euclidienne
Théorème 1 Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple d’entiers (q, r) tels que
a = bq + r
avec 0 ≤ r < b
Déterminer q et r, c’est effectuer la division euclidienne de a par b.
On appelle a le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.
Exemple 2 Lorsqu’on effectue la division euclidienne de 26 par 3, on cherche le plus grand
multiple de 3 inférieur à 26. (On dit même :" En 26 combien de fois 3 ?")
26
bc
bc
7 × 3 = 21
bc
8 × 3 = 24
bc
bc
9 × 3 = 27
On a donc : 26 = 3 × 8 + 2. (q = 3 et r = 2).
Effectuons maintenant la division euclidienne de −26 par 3.
Remarquons que l’égalité −26 = −8 × 3 − 2 ne correspond pas à une division euclidienne
puisque −2 < 0.
On a le schéma :
bc
bc
−10 × 3
−9 × 3
−26
bc
bc
bc
−8 × 3
Et donc : −26 = −9 × 3 + 1 (q = −9 et r = 1)
Démonstration du théorème :
• Existence On admet le résultat suivant :
bc
Axiome 1 Toute partie non vide et majorée de N admet un élément maximal.
Remarquons que ceci est faux par exemple dans R :
]1; 2[ est une partie non vide de R, majorée par 2 (tout élément de ]1; 2[ est inférieur à 2) qui
n’admet pas d’élément maximal (En effet, 2 ∈]1;
/ 2[)
bc
(On suit le même principe que dans les exemples précédents)
Supposons d’abord que a ∈ N.
On appelle M l’ensemble des multiples de b inférieurs à a.
– M est non vide puisque 0 ∈ M. En effet, 0 est un multiple de b et 0 ≤ a.
– M est majoré puisque tout élément de M est inférieur à a.
bc
bc
2
On en déduit que M admet un élément maximal que nous appelons m. m étant un multiple
de b, il existe q ∈ N tel que m = bq.
a
bc
bc
bc
b(q − 1)
m = bq
bc
bc
b(q + 1)
On pose r = a − bq. Puisque m = bq ≤ a alors 0 ≤ a − bq c’est-à-dire 0 ≤ r.
D’autre part, le multiple de b suivant m est b(q + 1). Or b(q + 1) ≥ m donc b(q + 1) ∈
/ M
puisque m est le plus grand élément de M. Il vient alors : b(q + 1) > a soit bq + b > a ou
encore a − bq < b.
On a ainsi prouvé 0 ≤ r < b ce qui achève la preuve de l’existence dans le cas où a ∈ N.
On suppose maintenant que a ≤ 0.
On a alors −a ∈ N et, d’après ce que l’on vient d’écrire, il existe q et r entiers naturels tels
que −a = bq + r et 0 ≤ r < b.
On a donc a = b × (−q) − r.
Si r = 0 alors a = b × (−q) : −q est alors le quotient.
Si r > 0, on écrit a = b × (−q) − b + b − r = b(−q − 1) + (b − r) : c’est la division euclidienne
de a par b.
En effet, puisque 0 < r < b alors 0 < b − r < b. A fortiori 0 ≤ b − r < b. −q − 1 est donc le
quotient et b − r le reste. (vérifier ce que l’on a fait avec 26 et −26 précédemment.
bc
• Unicité Une méthode habituelle pour démontrer une unicité est supposer l’existence
d’un second couple.
Supposons donc qu’il existe deux couples d’entiers (b, q) et (b′ , q ′ ) vérifiant
bc
a = bq + r avec 0 ≤ r < b
a = bq ′ + r ′ avec 0 ≤ r ′ < b
Effectuons la différence membre à membre de ces égalités. On obtient
0 = b(q − q ′ ) + r − r ′
avec
− b < r − r′ < b
On en déduit que r − r ′ est un multiple de b, et que ce multiple est strictement compris
entre −b et b.
Le seul multiple qui convient est 0, donc r − r ′ = 0 et par suite q − q ′ = 0, c’est à dire que
r = r ′ et q = q ′ . Dès lors il n’existe qu’un seul couple solution.
Remarque 2 Sur les calculatrices CASIO, il n’existe pas de touche "division euclidienne".
On peut cependant écrire un programme demandant a et b et retournant q et r. Pour cela,
utiliser la touche Intg (ne pas confondre avec Int) dans le menu NUM. La séquence Intg(a/b)
retourne la partie entière de a/b c’est-a-dire le plus grand entier inférieur à a/b (c’est q !).
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Congruences
Définition 3 :
Soient a et b deux entiers et n un entier naturel non nul. On dit que a est congru à b modulo
n lorsque a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.
On note a ≡ b[n]
Exemple 3 :
– Par exemple : 37 ≡ 22[5]. En effet, 37 = 5 × 7 + 2 et 22 = 5 × 4 + 2.
– Ou encore −16 ≡ −1[3]
Conséquence : Si r est le reste de la division euclidienne de a par n alors a ≡ r[n].
Mais la réciproque est fausse... (cf exemples ci-dessus)
Propriété 2 :
a ≡ b[n] si et seulement si a − b est divisible par n.
Démonstration : Rappelons que l’expression "si et seulement si" signifie qu’il y a équivalence. Autrement dit : A si et seulement si B veut dire Si A alors B et si B alors A. Il y a
deux sens : sens direct et sens réciproque.
• sens direct : Démontrons que si a ≡ b[n] alors a − b est divisible par n.
Soit a et b tels que a ≡ b[n]. Alors a et b ont le même reste r dans la div euclidienne par n.
On peut donc écrire a = nq + r et b = nq ′ + r où q et q ′ sont deux entiers. En soustrayant
membre à membre ces deux égalités, il vient : a − b = n(q − q ′ ). On a prouvé que a − b est
divisible par n.
• sens réciproque : Démontrons que si a − b est divisible par n alors a ≡ b[n].
Si a − b est divisible par n, il existe un entier k tel que a − b = kn. En écrivant les divisions
euclidiennes respectives de a et b par n, on a :
a = nq + r et b = nq ′ + r ′ . D’où : a − b = n(q − q ′ ) + r − r ′ , soit kn = n(q − q ′ ) + r − r ′ et
r − r ′ = n(k − q + q ′ ).
r − r ′ est donc un multiple de n qui vérifie −n < r − r ′ < n. (car r < n et r ′ < n...) Il n’en
existe qu’un seul : zéro, donc r − r ′ = 0 et r = r ′ . Ainsi a et b ont le même reste dans la
division euclidienne par n c’est-à-dire a ≡ b[n].
Corollaire 1 a ≡ b[n] si et seulement si il existe un entier k tel que a = b + kn
Propriété 3
1. a ≡ a[n] (réflexivité)
2. Si a ≡ b[n], alors b ≡ a[n] (symétrie)
3. Si a ≡ b[n] et b ≡ c[n], alors a ≡ c[n] (transitivité)
4. Si a ≡ b[n] et a′ ≡ b′ [n], alors
a + a′ ≡ b + b′ [n]
a − a′ ≡ b − b′ [n]
5. Si a ≡ b[n], alors, pour tout k ∈ N, ak ≡ bk [n]
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aa′ ≡ bb′ [n]
Démonstration : On utilise la propriété : a ≡ b[n] si et seulement si a−b est divisible par n.
Si a − b et a′ − b′ sont des multiples de n alors toute combinaison linéaire de ces deux nombres
est multiple de n. Or (a + a′ ) − (b + b′ ) = (a − b) + (a′ − b′ ) ; (a − a′ ) − (b − b′ ) = (a − b) − (a′ − b′ )
et aa′ − bb′ = (a − b)b′ + (a′ − b′ )a.
On démontre la dernière propriété par récurrence sur k :
Initialisation : Si a ≡ b[n] alors a0 ≡ b0 [n] (car 1 ≡ 1[n]... est toujours vraie)
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang p avec p > 0. On a donc : ap ≡ bp [n].
Or ap+1 ≡ a × ap ≡ b × bp ≡ bp+1 [n]. La propriété est donc vraie au rang p + 1
Conclusion : D’après le principe de récurrence, ak ≡ bk [n] pour tout k ∈ N. Quelques utilisations des congruences :
– Simplifications de congruences ex : simplifier a ≡ 2731[6]
– Déterminer un reste, un chiffre des unités
ex : déterminer le reste de 72013 dans la division euclidienne par 5
– Critères de divisibilité
– Clefs de contrôle ex ISBN, INSEE, RIB...
– Équations avec congruences
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