Exercices d`arithmetique et numeration nombres entiers naturels et

EXERCICES D'ARITHMÉTIQUE ET NUMÉRATION
NOMBRES ENTIERS NATURELS ET RELATIFS Exercice 0. Soit n ∈ N. Montrer que si n2 est impair, alors n est impair.
Exercice 1.
(1) Quel est le nombre de chires de l'entier 29 × 58 ?
(2) Quel est le chire des unités de 311 ?
Exercice 2.
(1) Calculer la somme 99 − 97 + 95 − 93 + ... + 3 − 1.
(2) Quel est le résultat du calcul : 2 + 5 × (4 + 2 × 3) − (5 − 2) × (3 − 1) ?
Exercice 3. Parmi les propositions suivantes, laquelle (lesquelles) est (sont) vraie(s) ?
(1) La moitié de 210 est 25 .
(2) Un nombre entier positif divisible par 6 et par 4 est divisible par 24.
(3) 35 × 24 = 69 .
(4) 25 + 23 = 28 .
(5) 25 + 23 = 40.
(6) 27 × 57 = 107 .
Exercice 4. On considère la suite de soustractions
137 − 7 = 130 ;
130 − 7 = 123 ;
123 − 7 = ...
Quel est le plus petit entier positif que l'on peut obtenir en continuant cette suite de soustractions ?
Quel est le nombre de soustractions nécessaires pour obtenir ce plus petit entier positif ?
Exercice 5. On considère le nombre N = 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 +
77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77.
Parmi les armations ci-dessous, lesquelles sont vraies (on ne calculera pas N ) ?
(1) N est un nombre impair.
(2) N est supérieur à 1000.
(3) N est un multiple de 11.
(4) N est divisible par 21.
(5) N est inférieur à 3000.
Exercice 6. Voici un nombre : 111 111 111. Parmi les armations ci-dessous, lesquelles sont
vraies ?
(1) Ce nombre est un multiple de 3.
(2) Ce nombre est un multiple de 6.
1
2
EXERCICES D'ARITHMÉTIQUE ET NUMÉRATION NOMBRES ENTIERS NATURELS ET RELATIFS (3) Ce nombre est un multiple de 9.
(4) Le reste dans la division de ce nombre par 10 est 1.
Exercice 7. Un enfant range ses billes par rangées de 6 ; il lui en reste 3. Il les range ensuite
par rangées de 5 ; il n'en reste pas.
(1) Si l'enfant place ses billes par rangées de 3, va t'il lui en rester ?
(2) Quel est le nombre de billes que possède l'enfant, sachant que ce nombre est inférieur à 30 ?
Exercice 8. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de 903 par 37.
Exercice 9. a et b sont deux nombres entiers naturels. On sait que la division euclidienne de a
par b se traduit par l'égalité : a = (b × 18) + 48. Parmi les armations ci-dessous, lesquelles sont
vraies ?
(1) Le reste de la division euclidienne de a par 18 est 48.
(2) Le reste de la division euclidienne de a par 18 est 12.
(3) a est un multiple de 6.
(4) Le reste de la division de a par 2b est 48.
(5) Le quotient de la division de 2a par 2b est 96
Exercice 10. On donne les nombres 24 et 15 puis on calcule le tiers du produit de la somme et
de la diérence de ces deux nombres. Quel est le nombre obtenu ?
Exercice 11.
(1) Quelle est la valeur absolue de (−1)17 ?
(2) Trouver tous les entiers relatifs tels que |x| ≤ 6.
Exercice 12. On dispose de deux seaux ayant respectivement des contenances de n litres et
de m litres, où n et m sont des entiers. On voudrait remplir une bassine avec exactement un litre
d'eau. (On supposera qu'il est impossible de tracer des marques formant une graduation à l'intérieur
des seaux, de sorte que l'on ne peut pas mesurer de manière susamment précise une fraction du
contenu d'un seau).
(1) Si n = 2 et m = 5, comment feriez-vous pour remplir la bassine par exactement un litre
d'eau ?
(2) Même question pour n = 2 et m = 4.
(3) Prenez d'autres valeurs entières pour n et m (diérentes de 1) ; dans chaque cas, trouver une
méthode, s'il y en a une, pour obtenir le résultat souhaité, ou bien expliquer le cas échéant
pourquoi cette tâche vous paraît impossible.
(4) Essayez de généraliser vos résultats au cas de deux entiers naturels n et m quelconques.
Discutez les valeurs de n et m pour lesquelles votre méthode ne marche pas. Pour ces
valeurs, quel pourrait être le plus petit entier k > 1 tel que l'on puisse remplir la bassine
par exactement k litres d'eau en utilisant uniquement les deux seaux ?