Le cours - Playmaths

Suites numériques
Introduction : feuille
I.
Généralités
1) Définition
Une suite numérique est une application définie de É ou une partie de É dans Ë.
u:É  Ë
n  u(n)
L’image de n par u, u(n), est aussi noté un.
un est le terme général de la suite, n est l’indice du terme un.
La suite est noté ( un)n  É. un et un+1 sont deux termes consécutifs de la suite.
2) Exemple
Soit la suite définie par un = 2n – 10.
Les termes de la suite (un)sont tels que u0 = -10 ; u1 = -8 ; u2 = -6 ; … ; u10 = 10 ; … ; u20 = 30 ; …
u10 est le terme d’indice 10, mais c’est le 11e terme de la suite car le premier terme est uo.
La suite (vn) définie par vn = n  3 n’est définie que pour n ≥ 3. On la note (vn)n≥3.
Ex 5 p.156
3) Suite définie par une formule explicite : un = f(n)
Le terme général un est défini en fonction de n. La suite est définie sous une forme
fonctionnelle.
Dans ce cas, on peut calculer directement tout terme un.
Exemple :
u:É  Ë
n  un = Error! - 5n + 2.
u0 = ………… ; u1 = ………… ; u2 = …………
Ex 1-2 p.156
4) Suite définie par récurrence : un+1 = f(un)
Une suite est définie sous forme récurrente ( ou par récurrence) quand elle est définie par
la donnée du premier terme et une relation liant un terme précédent ; un+1 est donné en
fonction de un.
Exemple :
u0  3

un 1  2un  5
Dans ce cas, pour calculer un terme, il faut calculer tous les termes précédents.
u1 = 2u0 – 5 = - 11 ;
u2 = 2u1 – 5 = - 27 ; …
u3 = …………
u4 = …………
1
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Ex 6-7-8-9-10 p.156
Algorithme : ex 11 p.157
II. Sens de variation d’une suite
1) Croissance
Une suite (un) est croissante ( respectivement décroissante ) si et seulement si pour Error!
un+1 ≥ un ( respectivement un+1 ≤ un ).
Une suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Exemples:
un = n² est croissante
un = Error! est décroissante
2) Méthode
Pour étudier le sens de variation d’une suite, on peut :
(1) Etudier le signe un+1 – un.
(2) Si un = f(n), on étudie le sens de variation de la fonction f.
(3) Si un est une suite dont tous les termes sont positifs, on compare
un 1
un
à 1.
Remarque :
S’il existe un entier p tel que pour tout entier n ≥ p, on a u n+1 ≥ un , on dit que la suite est
croissante à partir du rang p.
Exemples :
Déterminer le sens de variations des suites suivantes :
(un) définie par un = n² + 2n + 5
(vn) définie par vn = 3  2n
2n  5
(wn) définie par wn =
n 2
Ex 13-14-15-…. p.157
Ex 20-21-22 p.158
Ex 19 p.173
III. Convergence d’une suite
1) Définition
Dire qu’une suite converge vers le réel L signifie que tout intervalle ouvert contenant L
contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On dit alors que la suite est
convergente vers L et on écrit lim un = L ou lim (un) = L.
n  
Une suite qui ne converge pas est dite divergente.
Remarques :
Parmi les suites qui ne convergent pas, il y a les suites qui ont une limite infinie, mais aussi
n
les suites qui n’ont pas de limite comme la suite définie par un = sin(
) qui ne prend que
2
trois valeurs –1 ; 0 et 1.
2
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Exemple :
2) Exemples
1
1
, quel que soit a > 0, pour n > , tous les termes un appartiennent à ] –a ; a [ ; donc
n
a
un converge vers 0.
Si un =
Ex 24-25-27 p.158
IV. Suites arithmétiques
1) Définition
Une suite (un) est arithmétique s’il existe un nombre réel r tel que, pour tout nombre entier
naturel n, on ait :
un+1 = un + r.
r est appelé la raison de la suite arithmétique.
Exemples :
V. Soit (un) la suite arithmétique de premier terme 7 et de raison –2.
Ses premiers termes sont tels que :
u0 = 7 ; u1 = 7 – 2 = 5 ; u 2 = 5 – 2 = 3 ; …
 La suite des nombres entiers naturels ( 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; …) est une suite arithmétique,
son premier terme est 0, sa raison est 1.
 La suite des nombres entiers impairs ( 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; … ) est une suite arithmétique de
premier terme 1, et de raison 2.
Remarque :
Une suite arithmétique est déterminée par la donnée de son premier terme u0
(éventuellement u1) et de sa raison r.
2) Calcul de un en fonction de n
Propriété :
Le terme général d’une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r est :
un = u0 + nr.
Remarque :
Si le premier terme de la suite est u1, on a : un = u1 + ( n - 1 ) r.
Propriété :
Quels que soient les entiers naturels p et q, on a : up = uq + ( p - q ) r
Dem :
Exemples :
3
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

Si (un) est la suite de premier terme u0 avec u0 = 7 et de raison –2, on a :
un = 7 – 2n
On retrouve ainsi : u4 = 7 – 4  2 = 7 – 8 = -1.
On a rapidement : u50 = 7 – 100 = - 93.
Si (vn) désigne la suite des nombres impairs ( v0 = 1 ; v1 = 3 ; v2 = 5 ; … ).
Son premier terme étant 1 et sa raison 2, on a :
vn = 1 + 2n pour le (n+1)ième nombre impair.
Ex 28-29-30- … 38 p.158-159
3) Sens de variation
Soit (un) une suite arithmétique de raison r.
Si r > 0, la suite est croissante.
Si r < 0, la suite est décroissante.
Si r = 0, la suite est constante.
4) Somme des (n+1) premiers termes
Pour tout entier naturel n :
Sn = 0 + 1 + 2 + 3 + … + n = Error!
Dem :
Si (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0, alors :
(n  1)(u0  un )
S n = u0 + u 1 + … + u n =
2
nombre de termes  (premier terme  dernier terme )
Sn =
2
Exemple :
un = 3 – 2n
(un) est une suite arithmétique de raison –2 et de premier terme u0 = 3.
u15 = 3 - 2  15 = - 27
16  (3  27)
S15 = u0 + u1 + … + u15 =
= -192
2
Ex 39-40 …47 p.159-160
Ex 102-103-105 p.166
4
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V. Suites géométriques
1) Définition
Une suite (un) est géométrique s’il existe un nombre réel q tel que, pour tout nombre entier
naturel n, on ait :
un+1 = q un.
q est appelé la raison de la suite géométrique.
Remarque :
Une suite géométrique est déterminée par la donnée de son premier terme u0
(éventuellement u1) et de sa raison q.
Exemples :
 Soit (un) la suite géométrique de premier terme u0 avec u0 = 12 et de raison Error!. Ses
1
1
1
premiers termes sont u0 = 12 ; u1 =  12 = 6 ; u2 =  6 =3 ; u3 =  3 =Error!; …
2
2
2
 La suite géométrique (vn) de premier terme v0 tel que v0 = 12 et de raison –Error! est
telle que : v0 = 12 ; v1 = -6 ; v3 = 3 ; v4 = - Error!; …
 La suite des puissances entières de 2 : ( 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; … ; 2n ; … ) est une suite
géométrique de premier terme 1 et de raison 2.
2) Calcul de un en fonction de n
Propriété :
Le terme général d’une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q est :
un = u0  qn
Remarque :
Si le premier terme de la suite est u1, on a : un = u1  qn 1 .
Exemple :
Si (un) est la suite de premier terme u0 avec u0 = 12 et de raison Error!, on a :
1
un = 12   
2
n
3
1
1
On retrouve ainsi : u3 = 12    = 12  = Error!
8
2
Ex 48-… 59-61-p.160-161
3) Sens de variation
Soit (un) une suite géométrique de raison q. On suppose que u0 > 0.
Si q > 1, la suite est croissante.
Si 0 < q < 1, la suite est décroissante.
Si q = 1, la suite est constante.
4) Somme des (n+1) premiers termes
Somme des puissances entières de q
Pour tout entier naturel n :
5
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Sn = 1 + q + q² + q3 + … + qn =
1  q n 1
1q
Dem :
Sn
= 1 + q + q² + q3 + … + qn
Sn q = q ( 1 + q + q² + q3 + … + qn )
= q + q² + q3 + q4 + … + qn+1
on en déduit que :
Sn - Sn q = 1 – qn+1
( 1 – q ) Sn = 1 – qn+1
1  q n 1
Si q  1, Sn =
1q
Somme des (n+1) premiers termes
Si (un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u0, alors :
1  qn 1
S n = u0 + u 1 + … + u n =
 u0
1q
1  qnombres de termes
Sn =
 (premier terme)
1q
Dem :
Mettre en facteur le premier terme u0.
Ex 60-62-63-64-65… p.161
Ex 106-108… p.167
QCM p.164
6
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