1S2 : DM3 - Pour le lundi 24 novembre 2014

1S2 : DM3 - Pour le lundi 24 novembre 2014
EXERCICE 1
On considère la fonction f définie par : f : x 7→| x 2 − 4 |
a) Démontrer que la fonction f n’est pas dérivable en 2.
b) Tracer la courbe représentative C f de la fonction f sur l’intervalle [−3; 3].
c) L’observation de C f de la fonction f aurait-elle permis de prévoir que f n’est pas dérivable en 2 ?
d) Quelle propriété de symétrie la courbe C f possède-t-elle ? En quel réel différent de 2 peut-on déduire que
la fonction f n’est pas dérivable ? Retrouver ce résultat par le calcul.
EXERCICE 2 Quand la courbe de la fonction dérivée est connue...
Soit une fonction numérique f définie sur [−1; 5] et sa fonction
dérivée f 0 , dont la courbe représentative dans le repère (O, I , J ) est
tracée ci-contre.
1. a. A l’aide du graphique, déterminer la signe de f 0 (x) suivant
les valeurs de x.
b. En déduire les variations de f sur [−1; 5] .
2. On veut tracer une représentation graphique C possible de la
fonction f . On sait que :
1
1
1
f (0) = −1 ; f (1) = ; f (2) = − ; f (3) = −1 et f (4) = .
3
3
3
a. Placer, dans le repère (O, I , J ) les points de C d’abscisses 1,
2, 3 et 4.
b. Tracer la tangente à C aux points d’abscisses 1, 2, 3 et 4.
c. Proposer un tracé de la courbe C .
3. On veut déterminer l’expression de f (x).
1
On suppose que, pour tout réel x : f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c .
3
Déterminer les valeurs de a, b , c, et donner l’expression de f (x).
4. Peut-on trouver d’autres fonctions admettant f 0 pour fonction dérivée ?
EXERCICE
3.... Un R.O.C
Partie A
On suppose connus les résultats suivants :
(1) Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I , alors la fonction produit (uv) est dérivable sur
I et on a, pour tout x ∈ I :
(uv)0 (x) = u0 (x) v (x) + u (x) v0 (x)
.
1
(2) Si v est une fonction dérivable sur un intervalle I ne s’annulant pas sur I , alors la fonction est dérivable
v
µ ¶0
1
−v 0 (x)
sur I et on a, pour tout x ∈ I :
.
(x) =
v
v (x)2
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Démontrer que si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I , et si v ne s’annule pas sur I ,
³u ´
³ u ´0
u 0 (x) v (x) − u (x) v 0 (x)
alors la fonction
est dérivable sur I et, pour tout x ∈ I :
(x) =
v
v
v (x)2
Partie B
Soit f la fonction définie sur I = ]−1; +∞[ par :
f (x) =
x3 − 2
x +1
.
(1) Démontrer que f est dérivable sur I et calculer f 0 (x) pour tout x > −1.
(2) Soit g la fonction définie sur I par : g (x) = 2x 3 + 3x 2 + 2.
a. Démontrer que g est dérivable sur I et calculer g 0 (x) pour tout x > −1.
b. Étudier le signe de g 0 (x) pour x ∈ I , et en déduire les variations de la fonction g sur I .
c. Démontrer que g (x) > 0 pour tout x > −1.
(3) En déduire que f 0 (x) > 0 pour tout x > −1, puis que la fonction f est strictement croissante sur I .
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1S2 : DM3 - Correction
EXERCICE
1
a. Pour étudier la dérivabilité , calculons la limite du taux d’accroissement de f , t (h) en a = 2, avec h 6= 0 :
f (2 + h) − f (2) | (2 + h)2 − 4 | − | 0 | | 4 + 4h + h 2 − 4 | | h(4 + h) |
t (h) =
=
=
=
.
h
h
h
h
Étude du signe de h(h + 4) :cette expression a deux racines 0 et −4. L’expression est négative entre 0 et −4,
et positive à l’extérieur.
Donc, pour h se rapprochant de 0 par valeur négative : h(4 + h) < 0. Soit :| h(4 + h) |= h(−4 − h) ;
Et pour h se rapprochant de 0 par valeur positive : h(4 + h) > 0. Soit :| h(4 + h) |= h(4 + h).
Limite à gauche, pour h < 0 : lim− t(h)) = lim−
h→0
Limite à droite, pour
h→0
h(−4 − h)
| h(4 + h) |
= lim−
= lim− (−4 − h) = −4
h→0
h→0
h
h
h > 0 : lim+ t(h) = lim+
h→0
h→0
| h(4 + h) |
h(4 + h)
= lim+
= lim+ (4 + h) = 4
h→0
h→0
h
h
Donc,en a = 2, la limite à gauche et la limite à droite ne sont pas égales ; on en déduit que la fonction | x 2 −4 |
n’est pas dérivable en a = 2.
c. En x = 2, on constate graphiquement une "cassure" de la courbe. Il
n’y a donc pas de tangente unique. On parle de demi-tangente, une
à droite et une à gauche. Ce qui est une des illustrations graphiques
de la non-dérivabilité.
d. Graphiquement,
on constate une symétrie axiale de la courbe, l’axe
¡ ¢
étant O y . On observe le même phénomène de "cassure" en x = −2.
Vérifions par le calcul :
calculons la limite du taux d’accroissement de f , t (h) en a = −2,
avec h 6= 0 :
f (−2 + h) − f (−2) | 4 − 4h + h 2 − 4 | | h(h − 4) |
=
=
.
t (h) =
h
h
h
b.
Étude du signe de h(h − 4) :cette expression a deux racines 0 et 4. L’expression est négative entre 0 et 4, et
positive à l’extérieur.
Donc, pour h se rapprochant de 0 par valeur négative : h(h − 4) > 0. Soit :| h(h − 4) |= h(h − 4) ;
Et pour h se rapprochant de 0 par valeur positive : h(h − 4) < 0. Soit :| h(h − 4) |= h(4 − h).
Limite à gauche, pour h < 0 : lim− t(h)) = lim−
h→0
Limite à droite, pour
h→0
h > 0 : lim+ t(h) = lim+
h→0
h→0
| h(h − 4) |
h(h − 4)
= lim−
= lim− (h − 4) = −4
h→0
h→0
h
h
| h(h − 4) |
h(4 − h)
= lim+
= lim+ (4 − h) = 4
h→0
h→0
h
h
On obtient donc une limité à droite de −2 différente de celle de gauche, ce qui confirme que f n’est pas
dérivable en −2.
EXERCICE 2
x
3
5
−1
1
f 0 (x)
f (x)
+
0
−
0
+
1. a. voir ci-contre
b. voir ci-contre
1
3
−1
Page 3 sur 4
2. Voir sur graphique ci-contre :
a. voir ci-contre
b. voir ci-contre pour les constructions des tangentes.
D’après la lecture sur le graphique de départ : f 0 (1) = 0 ;
f 0 (2) = −1 ; f 0 (3) = 0 et f 0 (4) = 4. J’ai rajouté : f 0 (0) = 3.
Donc, en 1 et 3, on construit des tangentes horizontales.
c. Voir ci-contre pour une proposition de tracé.
3. La fonction f est de degré 3, donc sa dérivée ( f est une fonction
polynôme, elle est donc dérivable sur R) est de degré 2.
La fonction dérivée est donc d’expression : f 0 (x) = a (x − α)2 + β.
Le sommet de la parabole, représentation graphique d’une fonction de degré 2, est de coordonnées (2; −1). Soit : α = 2 et β = −1.
Donc : f 0 (x) = a (x − 2)2 − 1. Et f 0 (0) = 3 ⇔ 3 = a(4) − 1 ⇔ a = 1.
Donc : f0 x) = (x − 2)2 − 1 = x2 − 4x + 3 .
Dérivons f (x) et comparons ce résultat avec l’expression de f 0 (x)
µdéterminée ci-dessus
¶0 :
1 3
x + ax 2 + bx + c = x 2 + 2ax + b = x 2 − 4x + 3. Comparons les termes en x : 2ax = −4x ⇔ a = −2
3
1
Comparons les termes constants : b = 3 . De plus : f (0) = −1. Donc : c = −1. Donc : f (x) = x 3 − 2x 2 + 3x − 1
3
4. Cherchons f (x) telle que : f 0 (x) = x 2 − 4x + 3 :
1
Considérons : x 2 = ( x 3 )0 ; −4x = (−2x 2 )0 ; 3 = (3x)0 et 0 = (k)0 , k ∈ R.
3
1 3
Donc : f (x) = x − 2x 2 + 3x + k admet sur R f 0 (x) comme fonction dérivée. k pouvant prendre un nombre
3
infini de valeurs sur R, il existe un nombre infini de fonctions f admettant f 0 (x) comme fonction dérivée.
EXERCICE
3 Partie A
Chaque fonction u et v étant dérivables sur I , avec v ne s’annulant pas sur I :
u(x)
1
= u(x) ×
v(x)
v(x)
Donc,
appliquant
les
·
¸0résultats (1) et (2) :
µ ¶0
¸en
·
0
u(x)
1
1
−v 0 (x) u 0 (x)v(x) u(x)v 0 (x)
1
u 0 (x)
0
+ u(x) × 2
=
−
= u(x) × (x) = u (x) × (x) + u(x) ×
(x) =
v(x)
v
v
v
v(x)
v (x)
v 2 (x)
v 2 (x)
·
¸0
u(x)
u 0 (x)v(x) − u(x)v 0 (x)
Donc :
=
v(x)
v 2 (x)
Partie B : sur ]1; +∞[, f (x) =
x3 − 2
x +1
1) f est une fonction rationnelle et est donc dérivable sur D f (I ) : f 0 (x) =
3x 2 (x + 1) − (x 3 − 2)(1)
2x 3 + 3x 2 + 2
=
(x + 1)2
(x + 1)2
2) Soit g (x) = 2x 3 + 3x 2 + 2
x
a) g est une fonction polynôme et est donc dérivable sur R, soit
I (I ⊂ R) :g 0 (x) = 6x 2 = 6x(x + 1).
g 0 (x)
b) Étude du signe de g 0 (x) sur I : les racines sont 0 et 1. Donc le
signe de g 0 (x) est négatif entre les racines, positif à l’extérieur.
g (x)
−
0
2
Voir tableau de signes et variations ci-contre.
a) La fonction g a donc un minimum sur I : 2. Donc : g 0 (x) ≥ 2 ⇒ g 0 (x) > 0(x ∈ I )
g (x)
et (x + 1)2 > 0 sur I . Donc, f 0 (x) est du signe de g (x).Soit : f 0 (x) > 0 sur I .
2
(x + 1)
La fonction f est donc strictement croissante sur I .
3) Or : f 0 (x) =
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+∞
0
−1
+