1S2 : DM3 - Pour le lundi 24 novembre 2014

1S2 : DM3 - Pour le lundi 24 novembre 2014
EXERCICE 1
On considère la fonction fdéfinie par : f:x7→| x2−4|
a) Démontrer que la fonction fn’est pas dérivable en 2.
b) Tracer la courbe représentative Cfde la fonction fsur l’intervalle [−3;3].
c) L’observation de Cfde la fonction faurait-elle permis de prévoir que fn’est pas dérivable en 2 ?
d) Quelle propriété de symétrie la courbe Cfpossède-t-elle ? En quel réel différent de 2 peut-on déduire que
la fonction fn’est pas dérivable ? Retrouver ce résultat par le calcul.
EXERCICE 2 Quand la courbe de la fonction dérivée est connue...
Soit une fonction numérique fdéfinie sur [−1;5]et sa fonction
dérivée f0, dont la courbe représentative dans le repère (O,I,J)est
tracée ci-contre.
1. a. A l’aide du graphique, déterminer la signe de f0(x) suivant
les valeurs de x.
b. En déduire les variations de fsur [−1;5].
2. On veut tracer une représentation graphique Cpossible de la
fonction f. On sait que :
f(0)= −1 ; f(1)=1
3;f(2)= − 1 3;f(3)= −1 et f(4)=1 3.
a. Placer, dans le repère (O,I,J)les points de Cd’abscisses 1,
2, 3 et 4.
b. Tracer la tangente à Caux points d’abscisses 1, 2, 3 et 4.
c. Proposer un tracé de la courbe C.
3. On veut déterminer l’expression de f(x).
On suppose que, pour tout réel x:f(x)=1
3x3+ax2+bx +c.
Déterminer les valeurs de a,b,c, et donner l’expression de f(x).
4. Peut-on trouver d’autres fonctions admettant f0pour fonction dérivée ?
EXERCICE 3.... Un R.O.C
Partie A
On suppose connus les résultats suivants :
(1) Si uet vsont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors la fonction produit (uv)est dérivable sur
Iet on a, pour tout x∈I:
(uv)0(x)=u0(x)v(x)+u(x)v0(x)
.
(2) Si vest une fonction dérivable sur un intervalle Ine s’annulant pas sur I, alors la fonction 1
vest dérivable
sur Iet on a, pour tout x∈I:µ1
v¶0
(x)=−v0(x)
v(x)2.
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Démontrer que si uet vsont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et si vne s’annule pas sur I,
alors la fonction ³u
v´est dérivable sur Iet, pour tout x∈I:³u v´0(x)=u0(x)v(x)−u(x)v0(x)
v(x)2
Partie B
Soit fla fonction définie sur I=]−1;+∞[par :
f(x)=x3−2
x+1
.
(1) Démontrer que fest dérivable sur Iet calculer f0(x)pour tout x> −1.
(2) Soit gla fonction définie sur Ipar : g(x)=2x3+3x2+2.
a. Démontrer que gest dérivable sur Iet calculer g0(x)pour tout x> −1.
b. Étudier le signe de g0(x)pour x∈I, et en déduire les variations de la fonction gsur I.
c. Démontrer que g(x)>0 pour tout x> −1.
(3) En déduire que f0(x)>0 pour tout x> −1, puis que la fonction fest strictement croissante sur I.
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1S2 : DM3 - Correction
EXERCICE 1
a. Pour étudier la dérivabilité , calculons la limite du taux d’accroissement de f,t(h) en a=2, avec h6= 0 :
t(h)=f(2+h)−f(2)
h=|(2+h)2−4|−|0| h=|4+4h+h2−4| h=|h(4+h)| h.
Étude du signe de h(h+4):cette expression a deux racines 0 et −4. L’expression est négative entre 0 et −4,
et positive à l’extérieur.
Donc, pour hse rapprochant de 0par valeur négative : h(4+h)<0. Soit :|h(4+h)|= h(−4−h) ;
Et pour hse rapprochant de 0par valeur positive : h(4 +h)>0. Soit :|h(4+h)|= h(4+h).
Limite à gauche, pour h<0: lim
h→0−t(h)) =lim h→0−
|h(4+h)|
h=lim
h→0−
h(−4−h)
h=lim
h→0−(−4−h)= −4
Limite à droite, pour h>0: lim
h→0+t(h)=lim h→0+
|h(4+h)|
h=lim
h→0+
h(4+h)
h=lim
h→0+(4+h)=4
Donc,en a=2, la limite à gauche et la limite à droite ne sont pas égales ; on en déduit que la fonction |x2−4|
n’est pas dérivable en a=2.
b.
c. En x=2, on constate graphiquement une "cassure" de la courbe. Il
n’y a donc pas de tangente unique. On parle de demi-tangente, une
à droite et une à gauche. Ce qui est une des illustrations graphiques
de la non-dérivabilité.
d. Graphiquement, on constate une symétrie axiale de la courbe, l’axe
étant ¡O y¢. On observe le même phénomène de "cassure" en x= −2.
Vérifions par le calcul :
calculons la limite du taux d’accroissement de f,t(h) en a= −2,
avec h6= 0 :
t(h)=f(−2+h)−f(−2)
h=|4−4h+h2−4| h=|h(h−4) | h.
Étude du signe de h(h−4):cette expression a deux racines 0 et 4. L’expression est négative entre 0 et 4, et
positive à l’extérieur.
Donc, pour hse rapprochant de 0par valeur négative : h(h−4) >0. Soit :|h(h−4) |= h(h−4) ;
Et pour hse rapprochant de 0par valeur positive : h(h−4) <0. Soit :|h(h−4) |= h(4−h).
Limite à gauche, pour h<0: lim
h→0−t(h)) =lim h→0−
|h(h−4)|
h=lim
h→0−
h(h−4)
h=lim
h→0−(h−4)= −4
Limite à droite, pour h>0: lim
h→0+t(h)=lim h→0+
|h(h−4)|
h=lim
h→0+
h(4−h)
h=lim
h→0+(4−h)=4
On obtient donc une limité à droite de −2 différente de celle de gauche, ce qui confirme que fn’est pas
dérivable en −2.
EXERCICE 2
x
f0(x)
f(x)
−1 1 3 5
+0−0+
1
3
1
3
−1−1
1. a. voir ci-contre
b. voir ci-contre
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2. Voir sur graphique ci-contre :
a. voir ci-contre
b. voir ci-contre pour les constructions des tangentes.
D’après la lecture sur le graphique de départ : f0(1) =0 ;
f0(2) = −1 ; f0(3) =0 et f0(4) =4. J’ai rajouté : f0(0) =3.
Donc, en 1 et 3, on construit des tangentes horizontales.
c. Voir ci-contre pour une proposition de tracé.
3. La fonction fest de degré 3, donc sa dérivée (fest une fonction
polynôme, elle est donc dérivable sur R) est de degré 2.
La fonction dérivée est donc d’expression :f0(x)=a(x−α)2+β.
Le sommet de la parabole, représentation graphique d’une fonc-
tion de degré 2, est de coordonnées (2;−1). Soit : α=2 et β= −1.
Donc :f0(x)=a(x−2)2−1. Et f0(0) =3⇔3=a(4)−1⇔a=1.
Donc : f0x)=(x−2)2−1=x2−4x+3.
Dérivons f(x) et comparons ce résultat avec l’expression de f0(x)
déterminée ci-dessus :
µ1
3x3+ax2+bx +c¶0
=x2+2ax +b=x2−4x+3. Comparons les termes en x:2ax = −4x⇔a= −2
Comparons les termes constants : b=3 . De plus :f(0) = −1. Donc : c= −1. Donc : f(x)=1
3x3−2x2+3x−1
4. Cherchons f(x) telle que : f0(x)=x2−4x+3 :
Considérons : x2=(1
3x3)0;−4x=(−2x2)0; 3 =(3x)0et 0 =(k)0,k∈R.
Donc : f(x)=1
3x3−2x2+3x+kadmet sur Rf0(x) comme fonction dérivée. kpouvant prendre un nombre
infini de valeurs sur R, il existe un nombre infini de fonctions fadmettant f0(x) comme fonction dérivée.
EXERCICE 3 Partie A
Chaque fonction uet vétant dérivables sur I, avec vne s’annulant pas sur I:u(x)
v(x)=u(x)×1 v(x)
Donc, en appliquant les résultats (1) et (2) :
·u(x)
v(x)¸0
=·u(x)×1
v(x)¸0
=u0(x)×1
v(x)+u(x)×µ1 v¶0
(x)=u0(x)
v(x)+u(x)×−v0(x) v2(x)=u0(x)v(x) v2(x)−u(x)v0(x) v2(x)
Donc : ·u(x)
v(x)¸0
=u0(x)v(x)−u(x)v0(x)
v2(x)
Partie B : sur ]1;+∞[,f(x)=x3−2
x+1
1) fest une fonction rationnelle et est donc dérivable sur Df(I) : f0(x)=3x2(x+1)−(x3−2)(1)
(x+1)2=2x3+3x2+2 (x+1)2
2) Soit g(x)=2x3+3x2+2
a) gest une fonction polynôme et est donc dérivable sur R, soit
I(I⊂R) :g0(x)=6x2=6x(x+1).
b) Étude du signe de g0(x) sur I: les racines sont 0 et 1. Donc le
signe de g0(x) est négatif entre les racines, positif à l’extérieur.
x
g0(x)
g(x)
−10+∞
−0+
22
Voir tableau de signes et variations ci-contre.
a) La fonction ga donc un minimum sur I: 2. Donc : g0(x)≥2⇒g0(x)>0(x∈I)
3) Or : f0(x)=g(x)
(x+1)2et (x+1)2>0 sur I. Donc, f0(x) est du signe de g(x).Soit : f0(x)>0 sur I.
La fonction fest donc strictement croissante sur I.
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