Correction - IMJ-PRG

MM2, groupe 1M1ECO – DM 0
Correction.
N. Laillet
[email protected]
Systèmes linéaires, rang, pivot de Gauss
1 Correction de l’exercice entamé en TD
Il s’agissait de considérer le sous-espace vectoriel Vect(u, v, w)où u= (2,−3,1),v= (1,2,−3) et
w= (3,−1,−2).
— Déterminons d’abord le rang de ce système de vecteurs. Pour ce faire, résolvons le système
linéaire suivant, d’inconnues a, b et créelles.
2a+b+ 3c= 0
−3a+ 2b−c= 0
a−3b−2c= 0
On commence par échanger les lignes 1et 3puis on effectue une élimination du type "Pivot
de Gauss".
2a+b+ 3c= 0
−3a+ 2b−c= 0
a−3b−2c= 0
⇔
a−3b−2c= 0
−3a+ 2b−c= 0
2a+b+ 3c= 0
⇔
a−3b−2c= 0
−7b−7c= 0 L2←L2+ 3L1
7b+ 7c= 0 L3←L3−2L1
⇔
a−3b−2c= 0
−7b−7c= 0
0 = 0 L3←L3+L2
⇔
a−3b−2c= 0
−7b−7c= 0
c=s, s ∈R
⇔
a=−s
b=−s
c=s, s ∈R
L’ensemble des solutions du système est donc {s(−1,−1,1), s ∈R}. C’est un sous-espace
vectoriel de dimension 1de R3donc le rang du système de vecteurs est égal à 3−1=2.
Donc dim(Vect(u, v, w)) = 2.
— Ensuite il faut trouver une base de F=Vect(u, v, w)parmi u, v, w. Étant donné que F
est de dimension 2, la base que l’on trouvera sera de cardinal 2. Il suffit donc de trouver
un système libre de deux vecteurs, c’est-à-dire deux vecteurs non colinéaires parmi u, v, w.
Comme uet vne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre à deux éléments de F,
donc une base.
Trouvons maintenant un système d’équations minimal de Vect(u, v, w). Pour ce faire, soit
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/

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(x, y, z)un élément de R3; résolvons le système linéaire suivant d’inconnues αet β.
2α+β=x
−3α+ 2β=y
α−3β=z
⇔
β+ 2α=x
2β−3α=y
−3β+α=z
⇔
β+ 2α=x
−5α=y−2x L2←L2−2L1
5α=z+ 3x L2←L2+ 3L3
⇔
β+ 2α=x
−5α=y−2x
0 = x+y+z L3←L3+L2
L’unique condition de compatibilité pour ce système est x+y+z= 0 : il s’agit de l’équation
de l’espace vectoriel F.
— Finalement, il nous fallait compléter la famille libre (u, v)en une base de R3. Comme la
famille de vecteurs est de rang 2, il suffit de trouver un vecteur qui n’appartienne pas à
F. Or, on remarque qu’aucun vecteur de la base canonique de R3n’appartient au plan
x+y+z= 0 : ainsi, si e1= (1,0,0),la famille (u, v, e1)est une base de R3.
2 Vers l’utilisation de matrices dans le pivot de Gauss
Vous avez vu en cours un théorème très important : le rang d’une matrice est le rang de la famille
de vecteurs qui la composent ! Ceci est très important, puisque le rang d’une matrice se calcule
facilement, grâce au pivot de Gauss : le rang est le plus grand nombre de termes non nuls sur la
diagonale lorsqu’on a réussi à échelonner la matrice. Exemples :
1 0 9
0−4 18
0 0 0
est de rang 2.
1 0 9
0−4 18
0 0 8
est de rang 3.
1 0 9
0−4 18
3 0 0
est de rang ? ? ? En effet la matrice n’est pas échelonnée !.
Ainsi, si on veut déterminer le rang de (u, v, w), on écrit la famille sous la forme d’une matrice
et on est ramenés à déterminer le rang de la matrice Mdéfinie ainsi :
M=
213
−3 2 −1
1−3−2
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Réduisons cette matrice par le pivot de Gauss. Attention les flèches →ne sont pas des implications
mais veulent simplement dire "je transforme ma matrice en cette matrice".
213
−3 2 −1
1−3−2
−−−−−−→
L1↔L3
1−3−2
−3 2 −1
213
−−−−−−−−−−−→
L3↔L3+ 3L1
1−3−2
0−7−7
2 1 3
−−−−−−−−−−−→
L2↔L2−2L1
1−3−2
0−7−7
0 7 7
−−−−−−−−−−→
L3↔L3+L2
1−3−2
0−7−7
0 0 0
La matrice possède deux pivots, son rang est donc de deux.
Mais ce n’est pas tout ! Il y a encore plus fort ! En effet, on peut aussi de la même manière
déterminer un système d’équations minimal de Vect(u, v, w), pour le même prix ! En effet, il
suffit de répéter exactement les mêmes opérations sur les lignes, mais en les répercutant sur le
vecteur 
x
y
z
. Retenez de manière générale que la puissance du pivot vient du fait qu’avec la
même méthode d’opérations sur les lignes, on peut aussi bien
— déterminer le rang d’une matrice.
— déterminer le rang d’un système de vecteurs.
— déterminer l’ensemble des vecteurs vtels que Mv = 0 (noyau d’une matrice).
— inverser une matrice.
— déterminer un système minimal d’équations d’un espace vectoriel défini par famille généra-
trice.
— etc.
Recopions exactement ce que l’on a fait comme opérations sur la matrice, mais en ajoutant à
côté le vecteur 
x
y
z
.
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213
−3 2 −1
1−3−2
x
y
z
−−−−−−→
L1↔L3
1−3−2
−3 2 −1
213
z
y
x
−−−−−−−−−−−→
L3↔L3+ 3L1
1−3−2
0−7−7
2 1 3
z
y+ 3z
x
−−−−−−−−−−−→
L2↔L2−2L1
1−3−2
0−7−7
0 7 7
z
y+ 3z
x−2z
−−−−−−−−−−→
L3↔L3+L2
1−3−2
0−7−7
0 0 0
| {z }
2pivots, le rang est donc 2
z
y+ 3z
x+y+z
| {z }
la condition de compatibilité est x+y+z=0
Ainsi le rang se détermine par le nombre de pivots et le(s) équation(s) du sous-espace vectoriel
sont les conditions de compatibilité, c’est-à-dire les équations à côté des lignes de 0. On a ainsi
répondu à deux questions en une.
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