![](//s1.studylibfr.com/store/data-gzf/deda3397cfe3e75962ff0a4bb5dfcfb6/1/000624820.htmlex.zip/bg1.jpg)
MM2, groupe 1M1ECO – DM 0
Correction.
N. Laillet
Systèmes linéaires, rang, pivot de Gauss
1 Correction de l’exercice entamé en TD
Il s’agissait de considérer le sous-espace vectoriel Vect(u, v, w)où u= (2,−3,1),v= (1,2,−3) et
w= (3,−1,−2).
— Déterminons d’abord le rang de ce système de vecteurs. Pour ce faire, résolvons le système
linéaire suivant, d’inconnues a, b et créelles.
2a+b+ 3c= 0
−3a+ 2b−c= 0
a−3b−2c= 0
On commence par échanger les lignes 1et 3puis on effectue une élimination du type "Pivot
de Gauss".
2a+b+ 3c= 0
−3a+ 2b−c= 0
a−3b−2c= 0
⇔
a−3b−2c= 0
−3a+ 2b−c= 0
2a+b+ 3c= 0
⇔
a−3b−2c= 0
−7b−7c= 0 L2←L2+ 3L1
7b+ 7c= 0 L3←L3−2L1
⇔
a−3b−2c= 0
−7b−7c= 0
0 = 0 L3←L3+L2
⇔
a−3b−2c= 0
−7b−7c= 0
c=s, s ∈R
⇔
a=−s
b=−s
c=s, s ∈R
L’ensemble des solutions du système est donc {s(−1,−1,1), s ∈R}. C’est un sous-espace
vectoriel de dimension 1de R3donc le rang du système de vecteurs est égal à 3−1=2.
Donc dim(Vect(u, v, w)) = 2.
— Ensuite il faut trouver une base de F=Vect(u, v, w)parmi u, v, w. Étant donné que F
est de dimension 2, la base que l’on trouvera sera de cardinal 2. Il suffit donc de trouver
un système libre de deux vecteurs, c’est-à-dire deux vecteurs non colinéaires parmi u, v, w.
Comme uet vne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre à deux éléments de F,
donc une base.
Trouvons maintenant un système d’équations minimal de Vect(u, v, w). Pour ce faire, soit
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/