Correction - IMJ-PRG

MM2, groupe 1M1ECO – DM 0
Correction.
N. Laillet
[email protected]
Systèmes linéaires, rang, pivot de Gauss
1
Correction de l’exercice entamé en TD
Il s’agissait de considérer le sous-espace vectoriel Vect(u, v, w) où u = (2, −3, 1), v = (1, 2, −3) et
w = (3, −1, −2).
— Déterminons d’abord le rang de ce système de vecteurs. Pour ce faire, résolvons le système
linéaire suivant, d’inconnues a, b et c réelles.

 2a + b + 3c = 0
−3a + 2b − c = 0

a − 3b − 2c = 0
On commence par échanger les lignes 1 et 3 puis on effectue une élimination du type "Pivot
de Gauss".


 a − 3b − 2c = 0
 2a + b + 3c = 0
−3a + 2b − c = 0 ⇔ −3a + 2b − c = 0


a − 3b − 2c = 0
2a + b + 3c = 0

 a − 3b − 2c = 0
−7b − 7c = 0 L2 ← L2 + 3L1
⇔

7b + 7c = 0 L3 ← L3 − 2L1

 a − 3b − 2c = 0
−7b − 7c = 0
⇔

0 = 0 L3 ← L3 + L2

 a − 3b − 2c = 0
−7b − 7c = 0
⇔

c = s, s ∈ R

 a = −s
⇔ b = −s

c = s,
s∈R
L’ensemble des solutions du système est donc {s(−1, −1, 1), s ∈ R}. C’est un sous-espace
vectoriel de dimension 1 de R3 donc le rang du système de vecteurs est égal à 3 − 1 = 2.
Donc dim(Vect(u, v, w)) = 2.
— Ensuite il faut trouver une base de F = Vect(u, v, w) parmi u, v, w. Étant donné que F
est de dimension 2, la base que l’on trouvera sera de cardinal 2. Il suffit donc de trouver
un système libre de deux vecteurs, c’est-à-dire deux vecteurs non colinéaires parmi u, v, w.
Comme u et v ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre à deux éléments de F ,
donc une base.
Trouvons maintenant un système d’équations minimal de Vect(u, v, w). Pour ce faire, soit
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/
MM2, groupe 1M1ECO – DM 0
Correction.
N. Laillet
[email protected]
(x, y, z) un élément de R3 ; résolvons le système linéaire suivant d’inconnues α et β.


 2α + β = x
 β + 2α = x
−3α + 2β = y ⇔
2β − 3α = y


α − 3β = z
−3β + α = z

 β + 2α = x
−5α = y − 2x L2 ← L2 − 2L1
⇔

5α = z + 3x L2 ← L2 + 3L3

 β + 2α = x
−5α = y − 2x
⇔

0 = x + y + z L3 ← L3 + L2
L’unique condition de compatibilité pour ce système est x+y +z = 0 : il s’agit de l’équation
de l’espace vectoriel F .
— Finalement, il nous fallait compléter la famille libre (u, v) en une base de R3 . Comme la
famille de vecteurs est de rang 2, il suffit de trouver un vecteur qui n’appartienne pas à
F . Or, on remarque qu’aucun vecteur de la base canonique de R3 n’appartient au plan
x + y + z = 0 : ainsi, si e1 = (1, 0, 0),la famille (u, v, e1 ) est une base de R3 .
2
Vers l’utilisation de matrices dans le pivot de Gauss
Vous avez vu en cours un théorème très important : le rang d’une matrice est le rang de la famille
de vecteurs qui la composent ! Ceci est très important, puisque le rang d’une matrice se calcule
facilement, grâce au pivot de Gauss : le rang est le plus grand nombre de termes non nuls sur la
diagonale lorsqu’on a réussi à échelonner la matrice. Exemples :


1
0
9
0
−4 18 est de rang 2.
0
0
0

1

0
0

1
0
3
0
−4
0
0
−4
0

9

18  est de rang 3.
8

9
18 est de rang ? ? ? En effet la matrice n’est pas échelonnée !.
0
Ainsi, si on veut déterminer le rang de (u, v, w), on écrit la famille sous la forme d’une matrice
et on est ramenés à déterminer le rang de la matrice M définie ainsi :


2
1
3
M = −3 2 −1
1 −3 −2
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/
MM2, groupe 1M1ECO – DM 0
Correction.
N. Laillet
[email protected]
Réduisons cette matrice par le pivot de Gauss. Attention les flèches → ne sont pas des implications
mais veulent simplement dire "je transforme ma matrice en cette matrice".




2
1
3
1 −3 −2
−−−−−→
−3 2 −1−
L1 ↔ L3 −3 2 −1
1 −3 −2
2
1
3


1 −3 −2
−−−−−−−−−−−→ 
L3 ↔ L3 + 3L1 0 −7 −7
2 1
3


1 −3 −2
−−−−−−−−−−−→ 
L2 ↔ L2 − 2L1 0 −7 −7
0 7
7


1
−3 −2
−−−−−−−−−−→ 
L3 ↔ L3 + L2 0
−7 −7
0
0
0
La matrice possède deux pivots, son rang est donc de deux.
Mais ce n’est pas tout ! Il y a encore plus fort ! En effet, on peut aussi de la même manière
déterminer un système d’équations minimal de Vect(u, v, w), pour le même prix ! En effet, il
suffit de 
répéter
exactement les mêmes opérations sur les lignes, mais en les répercutant sur le

x
vecteur y . Retenez de manière générale que la puissance du pivot vient du fait qu’avec la
z
même méthode d’opérations sur les lignes, on peut aussi bien
— déterminer le rang d’une matrice.
— déterminer le rang d’un système de vecteurs.
— déterminer l’ensemble des vecteurs v tels que M v = 0 (noyau d’une matrice).
— inverser une matrice.
— déterminer un système minimal d’équations d’un espace vectoriel défini par famille génératrice.
— etc.
Recopions exactement
  ce que l’on a fait comme opérations sur la matrice, mais en ajoutant à
x
côté le vecteur y .
z
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/
MM2, groupe 1M1ECO – DM 0
Correction.

2
−3
1
1
2
−3


3
x
1
−
−
−
−
−
−
→
−1 y L1 ↔ L3 −3
z
−2
2
N. Laillet
[email protected]
−3
2
1

1
−−−−−−−−−−−→ 
L3 ↔ L3 + 3L1 0
2

1
−−−−−−−−−−−→ 
L2 ↔ L2 − 2L1 0
0

1
−−−−−−−−−−→ 
L3 ↔ L3 + L2
0
0
|

−2
z
−1 y
x
3

z
−3 −2
−7 −7 y + 3z
x
1
3

−3 −2
z
−7 −7 y + 3z
x − 2z
7
7

−3 −2
−7 −7
0
{z
0
}
2 pivots, le rang est donc 2
z
y + 3z
x+y+z
|
{z
}
la condition de compatibilité est x+y+z=0
Ainsi le rang se détermine par le nombre de pivots et le(s) équation(s) du sous-espace vectoriel
sont les conditions de compatibilité, c’est-à-dire les équations à côté des lignes de 0. On a ainsi
répondu à deux questions en une.
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/