TD 0 : révisions d`algèbre linéaire. 1 Systèmes linéaires - IMJ-PRG

MM2, groupe 1M1ECO – TD 0
Révisions.
N. Laillet
[email protected]
TD 0 : révisions d’algèbre linéaire.
Dans tout le TD, ndésignera un entier non nul.
1 Systèmes linéaires
Exercice 1 Résoudre les systèmes linéaires homogènes suivants (en appliquant l’algorithme de
Gauss), par rapport aux indéterminées x, y ∈R:
(a) 
−2x+ 3y= 0
x+ 2y= 0 , (b) 
3x+√3y= 0
x+y= 0 , (c) 
−x+y= 0
x−y= 0 .
Exercice 2 Résoudre les systèmes linéaires homogènes suivants (en appliquant l’algorithme de
Gauss), par rapport aux indéterminées x, y, z ∈R:
(a) 
−2x+ 3y+z= 0
x+ 2y+ 3z= 0 , (b) 
−2x+ 6y−4z= 0
3x−9y+ 6z= 0 , (c)
−2x+y+z= 0
x−2y= 0
3x+ 2y+ 4z= 0
,
(d)
−3x+z= 0
2x+y+ 4z= 0
x+ 2y+ 9z= 0
, (e)
x+y−2z= 0
−3x+ 2y+z= 0
2x+ 7y−9z= 0
, (f)
x+ 2y−2z= 0
2x+ 4y+z= 0
−x−2y= 0
.
Exercice 3 Résoudre les systèmes linéaires homogènes suivants (en appliquant l’algorithme de
Gauss), par rapport aux indéterminées x1, x2, x3, x4∈R:
(a)
x1−x2+ 2x4= 0
−3x1+x3+ 2x4= 0
2x1+x2−x3= 0
, (b)
x1+x2−x3−x4= 0
2x1+x2+x3−4x4= 0
−x1−2x3+ 3x4= 0
5x1+ 2x2+ 4x3−11x4= 0
.
Exercice 4 Résoudre les systèmes linéaires suivants (en appliquant l’algorithme de Gauss),
par rapport aux indéterminées x, y, z ∈R:
(a)
x+y+z= 8
−3x+ 2y+ 8z=−1
2x+ 5y−3z=−5
, (b)
2y−3z= 5
2x−y+ 2z=−3
6x+y= 1
, (c)
2x+y−3z= 7
4x+ 5y+z= 4
−2x−7y−11z= 3
.
Exercice 5 Résoudre les systèmes linéaires suivants (en appliquant l’algorithme de Gauss),
par rapport aux indéterminées x1, x2, x3, x4∈R:
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/

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(a)
x1−x2+ 2x3+x4= 0
3x1+x3+ 3x4=−2
−4x1+ 3x2−6x3−3x4= 2
. (b)
x1+ 2x2+ 4x3+ 3x4= 3
−x1+ 5x2+ 2x3+ 2x4=−2
2x1+ 4x2+ 7x3−2x4= 13
3x2+ 4x3−5x4= 9
.
Exercice 6 Déterminer pour quels valeurs a, b, c ∈Rle système :
x1+x2+x3−2x4=a
2x1−x2+x4=b
3x1−3x2−x3+ 4x4=c
(a) admet une solution unique ;
(b) admet une infinité de solutions ;
(c) n’a pas de solutions.
Expliciter les solutions pour a=b=c= 1.
Exercice 7 Déterminer pour quels valeurs de a, b ∈Rle système :
2x+ 3z= 0
2y+az =b
−x+ay + 3z=a
(a) admet une solution unique ;
(b) admet une infinité de solutions ;
(c) n’a pas de solutions.
Expliciter les solutions pour a=b= 2.
Exercice 8 Déterminer pour quels valeurs de a, b ∈Rle système :
ax +y+ 2z=b
2x+z= 1
2y+ 3az = 3
(a) admet une solution unique ;
(b) admet une infinité de solutions ;
(c) n’a pas de solutions.
Expliciter les solutions pour a=b= 0.
Exercice 9 Résoudre les systèmes linéaires suivants (en appliquant l’algorithme de Gauss),
par rapport aux indéterminées complexes x, y, z ∈C:
(a)
x+iy = 0
3x+ 2y+z= 4 + i
ix −y+ (1 + i)z= 2
, (b)
x+iy −3z= 1
ix −y−iz =−1
−x−iy −(3 + 4i)z=−3−2i
.
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2 Sous-espaces vectoriels
Exercice 10 Retour sur la définition d’un espace vectoriel.
a. Rappeler la définition d’un espace vectoriel de Rn.
b. La réunion de deux sous-espaces vectoriels de Rnest-elle un sous-espace vectoriel de Rn?
Prouver ou donner un contre-exemple.
c. La réunion de deux sous-espaces vectoriels de Rnest-elle un sous-espace vectoriel de Rn?
Prouver ou donner un contre-exemple.
d. Parmi tous ces sous-ensembles de R2et R3, lesquels sont des sous-espaces vectoriels ?
E={(α, 0,2α+β); αet β∈R}.
F={(α+ 1, α, −α); α∈R}.
G={(x, y, z)∈R3;x+ 2y+ 2z= 0}.
H={(x, y, z)∈R3;x+y+z= 1}.
J={(x, y, z)∈R3;x+y+z≥0}.
K={(x, y, z)∈R3;x=y= 2z}.
L={(x, y)∈R2;x+y≤1}.
M={(x, y)∈R2, x2+y2= 1}.
N={(x, y)∈R2, x2=y2}.
Exercice 11 On considère les vecteurs v1= (1,−1) et v2= (1,1). Montrer que tout vecteur
de R2est combinaison linéaire de v1et v2.
Exercice 12 On considère les vecteurs u1= (2,−3,4),u2= (1,−2,2),v1= (2,1,−1),
v2= (2,−1,2) et v3= (3,0,1)}.
a. On considère le vecteur u= (1,1,2). Déterminer deux réels aet btel que u=a u1+b u2.
b. Soit le vecteur v= (0,−1,1).vest-il combinaison linéaire de u1et u2?
c. Soit le vecteur w= (4,7,−9). Exprimer wcomme combinaison linéaire de v1,v2et v3.
Exercice 13 On considère les vecteurs v1= (−1,2,1),v2= (2,3,−3) et v3= (−3,−1, m), où
mest un réel.
a. À quelle condition sur le paramètre mle vecteur v3est-il combinaison linéaire de v1et v2?
b. On suppose que cette condition est vérifiée. Montrer que v1est combinaison linéaire de v2
et v3et que v2est combinaison linéaire de v1et v3.
c. On suppose que cette condition n’est pas vérifiée. Montrer que tout vecteur de R3est com-
binaison linéaire de v1,v2et v3.
Exercice 14 Etudier l’indépendance de chacune des familles de vecteurs suivantes et dire si
cette famille est génératrice de l’ensemble Rnla contenant.
S1={(2,−3,4),(1,−2,2)}.
S2={(2,1,−1),(2,−1,2),(3,0,1)}.
S2={(−1,2,−3),(2,−3,5),(1,−1,2)}.
S3={(2,−1,2),(−1,2,−3),(4,1,0)}.
S4={(2,−1
2,−3 2),(−2,1,3),(−3,3 2,9 2)}.
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S5={(2,−3,−1,1),(3,−2,1,−1); (2,3,5,−1),(1,−1,0,1)}.
S6={(−1,2,1),(1,−1,0),(1, m, −1)}.
Exercice 15 Les familles suivantes sont-elles des bases de R3?
A={(1,−2,3),(3,2,1)}.
B={(2,−2,3),(2,1,0); (1,2,3)}.
C={(−1,1,−1),(2,−3,1); (−1,0,−2)}.
Exercice 16 Montrer que u1= (−3,2,−1),u2= (2,0,2) et u3= (−1,1,1) forment une base
de R3. Donner les coordonnées de u= (1,4,3) dans cette base.
Exercice 17 Déterminer une base et la dimension des sous-espaces vectoriels suivants :
E={(x, y, z)∈R3;−x+y+z= 0}
F={(x, y, z)∈R3;x−y+z= 0 et x+y+ 3z= 0}
G={(x, y, z, t)∈R4;x+y−z−t= 0}
H={(x, y, z, t)∈R4;−x+y+ 2z= 0 et x+y−2t= 0}
K={(x, y, z, t)∈R4;−2x+ 2y+z+t= 0 et x−y+ 3z−2t= 0 et x+y+ 4z+t= 0}
J={(x−y, 2x, y); x, y ∈R}
Exercice 18 Soit Ele sous-espace vectoriel engendré par u1= (−1,2,−2),u2= (3,−1,2) et
u3= (1,3,−2).
Soit u= (1,8,−6),v= (2,1,−3) et w= (−3,−4,2) . Donner, parmi ces vecteurs, ceux qui sont
dans E.
Exercice 19 Pour chacun des s e v suivants, donner le rang, une base parmi la famille gé-
nératrice donnée, la dimension et un système d’équations minimal. Compléter la base de chaque
s-e-v, s’il y a lieu, en une base de Rn.
E=V ect( (−1,1,1); (−1,1,2) )
F=V ect( (2,−3,1); (1,2,−3); (3,−1,−2) )
G=V ect(1,1,−2)
H=V ect( (2,−1,2,1); (−1,3,0,1); (1,2,2,2) )
K=V ect( (−3,1,2,−1),(−3,1,2,0) )
Exercice 20 Mêmes questions que l’éxercice précédent.
E=V ect( (−1,−2,1); (1,3,−1); (−1,0,1) )
F=V ect( (1,1,−1); (−1,1,1); (1,−1,0) )
G=V ect( (1,2,1,2); (1,4,2,4); (1,1,2,2); (1,3,2,4) )
H=V ect( (2,−1,2,1); (1,3,1,−1); (1,−1,2,2); (2,3,1,−2) )
K=V ect( (−1,−2,1,1,−1); (2,1,−1,1,1); (1,3,1,−1,1); (2,2,1,1,1); (1,0,2,2,0) )
Exercice 21 Pour chacun des s e v suivants, donner une base, la dimension et un système
d’équations minimal.
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E={(2x−y, x +y, −x+y); x, y ∈R}.
F={(x+ 2y, y −2x, y −x); x, y ∈R).
Exercice 22 Déterminer un système d’équations cartésiennes pour chacun des sous-espaces
vectoriels suivants de R3.
a. A={(3α+ 2β, β + 2α, α −β); α, β ∈R}.
b. B=V ect(b)où b= (3,2,1).
Exercice 23 Montrer que les vecteurs u1= (2,−1,1) et u2= (−3,1,−2) engendrent le même
sous-espace vectoriel que v1= (1,−1,0) et v2= (3,−2,1).
Exercice 24 Dans R4on considère a1= (2,−2,3,1) et a2= (−1,4,−6,−2).
a) Trouver des vecteurs a3et a4tels que (a1, a2, a3, a4)est une base de R4.
b) Déterminer un système d’équations pour le sous-espace vectoriel de R4engendré par a1et
a2.
Exercice 25
Soient les sous-ensembles de R3:
F={(x, y, z)∈R3;x+y+ 2z= 0 }et G={(x, y, z)∈R3;x+y=x+z= 0 }
a. Montrer que Fet Gsont des sous-espaces vectoriels de R3.
Soient les vecteurs : u= (2,0,−1),v= (0,2,−1) et w= (−1,1,0).
b. Montrer que {u, v}engendre F. Vérifier que wappartient à F; déterminer des réels aet b
tels que w=au +bv. Les vecteurs u,v,wsont-ils linéairement indépendants ?
c. Déterminer F∩G.
d. Pour (x, y, z)dans R3, montrer qu’il existe un réel rtel que s= (x+r, y−r, z−r)appartienne
àF; exprimer ce vecteur scomme combinaison linéaire de uet de v.
e. Montrer que F+G=R3.
Exercice 26 On considère les deux s-e-v Eet Fde R3définies par :
E={(x, y, z)∈R3;x−y+z= 0}et F={(x, y, z)∈R3;x+y+z= 0 et x−y−z= 0}.
a. Donner une base pour chacun des s e v E,F,E∩Fet E+F.
b. Montrer que E+F=R3.
Exercice 27 On considère les vecteurs suivants de R4:
u1= (1,2,3,4), u2= (2,2,2,6), u3= (0,2,4,4), v1= (1,0,−1,2), v2= (2,3,0,1).
On pose : F=V ect(u1, u2, u3)et G=V ect(v1, v2).
Donner une base, la dimension, et un système d’équations caractérisant les s e v
F,G,F∩Get F+G.
Exercice 28 On considère les deux s-e-v Eet Fde R4définies par :
E={(x, y, z, t)∈R4;−x+z= 0 et x−y+t= 0}et F={(x, y, z, t)∈R4;y+z−t= 0}.
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