TD 0 : révisions d`algèbre linéaire. 1 Systèmes linéaires - IMJ-PRG

MM2, groupe 1M1ECO – TD 0
Révisions.
N. Laillet
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TD 0 : révisions d’algèbre linéaire.
Dans tout le TD, n désignera un entier non nul.
1
Systèmes linéaires
Exercice 1 Résoudre les systèmes linéaires homogènes suivants (en appliquant l’algorithme de
Gauss), par rapport aux indéterminées x, y ∈ R :



 −x + y = 0
 −2x + 3y = 0
 3x + √3y = 0
,
(c)
.
(a)
,
(b)
 x − y=0
 x + 2y = 0

x + y=0
Exercice 2 Résoudre les systèmes linéaires homogènes suivants (en appliquant l’algorithme de
Gauss), par rapport aux indéterminées x, y, z ∈ R :





 −2x + y + z = 0
 −2x + 3y + z = 0
 −2x + 6y − 4z = 0
(a)
,
(b)
,
(c)
x − 2y = 0 ,

 x + 2y + 3z = 0
 3x − 9y + 6z = 0


3x + 2y + 4z = 0






−3x + z = 0



 x + 2y − 2z = 0
 x + y − 2z = 0

2x + y + 4z = 0 ,
(d)



x + 2y + 9z = 0
−3x + 2y + z = 0 ,
(e)



2x + 7y − 9z = 0
2x + 4y + z = 0 .
(f)



−x − 2y = 0
Exercice 3 Résoudre les systèmes linéaires homogènes suivants (en appliquant l’algorithme de
Gauss), par rapport aux indéterminées x1 , x2 , x3 , x4 ∈ R :



x1 + x2 − x3 − x4 = 0





 x1 − x2 + 2x4 = 0


2x1 + x2 + x3 − 4x4 = 0
.
(b)
(a) −3x1 + x3 + 2x4 = 0 ,


−x1 − 2x3 + 3x4 = 0





2x1 + x2 − x3 = 0

 5x + 2x + 4x − 11x = 0
1
2
3
4
Exercice 4 Résoudre les systèmes linéaires suivants (en appliquant l’algorithme de Gauss),
par rapport aux indéterminées x, y, z ∈ R :






x
+
y
+
z
=
8
2y
−
3z
=
5
2x + y − 3z = 7






(a) −3x + 2y + 8z = −1 ,
(b) 2x − y + 2z = −3 ,
(c)
4x + 5y + z = 4 .









2x + 5y − 3z = −5
6x + y = 1
−2x − 7y − 11z = 3
Exercice 5 Résoudre les systèmes linéaires suivants (en appliquant l’algorithme de Gauss),
par rapport aux indéterminées x1 , x2 , x3 , x4 ∈ R :
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(a)







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x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0
3x1 + x3 + 3x4 = −2 .
−4x1 + 3x2 − 6x3 − 3x4 = 2
Exercice 6
(b)


x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4 = 3




 −x + 5x + 2x + 2x = −2
1
2
3
4

2x1 + 4x2 + 7x3 − 2x4 = 13





3x2 + 4x3 − 5x4 = 9
.
Déterminer pour quels valeurs a, b, c ∈ R le système :

 x1 + x2 + x3 − 2x4 = a
2x1 − x2 + x4 = b

3x1 − 3x2 − x3 + 4x4 = c
(a) admet une solution unique ;
(b) admet une infinité de solutions ;
(c) n’a pas de solutions.
Expliciter les solutions pour a = b = c = 1.
Exercice 7
Déterminer pour quels valeurs de a, b ∈ R le système :

2x + 3z = 0

2y + az = b

−x + ay + 3z = a
(a) admet une solution unique ;
(b) admet une infinité de solutions ;
(c) n’a pas de solutions.
Expliciter les solutions pour a = b = 2.
Exercice 8
Déterminer pour quels valeurs de a, b ∈ R le système :

 ax + y + 2z = b
2x + z = 1

2y + 3az = 3
(a) admet une solution unique ;
(b) admet une infinité de solutions ;
(c) n’a pas de solutions.
Expliciter les solutions pour a = b = 0.
Exercice 9 Résoudre les systèmes linéaires suivants (en appliquant l’algorithme de Gauss),
par rapport aux indéterminées complexes x, y, z ∈ C :




x + iy = 0
x + iy − 3z = 1




(a)
(b)
.
3x + 2y + z = 4 + i ,
ix − y − iz = −1






ix − y + (1 + i)z = 2
−x − iy − (3 + 4i)z = −3 − 2i
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2
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Sous-espaces vectoriels
Exercice 10 Retour sur la définition d’un espace vectoriel.
a. Rappeler la définition d’un espace vectoriel de Rn .
b. La réunion de deux sous-espaces vectoriels de Rn est-elle un sous-espace vectoriel de Rn ?
Prouver ou donner un contre-exemple.
c. La réunion de deux sous-espaces vectoriels de Rn est-elle un sous-espace vectoriel de Rn ?
Prouver ou donner un contre-exemple.
d. Parmi tous ces sous-ensembles de R2 et R3 , lesquels sont des sous-espaces vectoriels ?
E = {(α, 0, 2α + β); α et β ∈ R}.
F = {(α + 1, α, −α); α ∈ R}.
G = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + 2y + 2z = 0}.
H = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z = 1}.
J = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z ≥ 0}.
K = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = y = 2z}.
L = {(x, y) ∈ R2 ; x + y ≤ 1}.
M = {(x, y) ∈ R2 , x2 + y 2 = 1}.
N = {(x, y) ∈ R2 , x2 = y 2 }.
Exercice 11 On considère les vecteurs v1 = (1, −1) et v2 = (1, 1). Montrer que tout vecteur
de R2 est combinaison linéaire de v1 et v2 .
Exercice 12 On considère les vecteurs u1 = (2, −3, 4), u2 = (1, −2, 2), v1 = (2, 1, −1),
v2 = (2, −1, 2) et v3 = (3, 0, 1)} .
a. On considère le vecteur u = (1, 1, 2). Déterminer deux réels a et b tel que u = a u1 + b u2 .
b. Soit le vecteur v = (0, −1, 1). v est-il combinaison linéaire de u1 et u2 ?
c. Soit le vecteur w = (4, 7, −9). Exprimer w comme combinaison linéaire de v1 , v2 et v3 .
Exercice 13 On considère les vecteurs v1 = (−1, 2, 1), v2 = (2, 3, −3) et v3 = (−3, −1, m), où
m est un réel.
a. À quelle condition sur le paramètre m le vecteur v3 est-il combinaison linéaire de v1 et v2 ?
b. On suppose que cette condition est vérifiée. Montrer que v1 est combinaison linéaire de v2
et v3 et que v2 est combinaison linéaire de v1 et v3 .
c. On suppose que cette condition n’est pas vérifiée. Montrer que tout vecteur de R3 est combinaison linéaire de v1 , v2 et v3 .
Exercice 14 Etudier l’indépendance de chacune des familles de vecteurs suivantes et dire si
cette famille est génératrice de l’ensemble Rn la contenant.
S1 = {(2, −3, 4), (1, −2, 2)}.
S2 = {(2, 1, −1), (2, −1, 2), (3, 0, 1)}.
S2 = {(−1, 2, −3), (2, −3, 5), (1, −1, 2)}.
S3 = {(2, −1, 2), (−1, 2, −3), (4, 1, 0)}.
3 9
S4 = {(2, − 21 , −3
2 ), (−2, 1, 3), (−3, 2 , 2 )}.
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S5 = {(2, −3, −1, 1), (3, −2, 1, −1); (2, 3, 5, −1), (1, −1, 0, 1)}.
S6 = {(−1, 2, 1), (1, −1, 0), (1, m, −1)}.
Exercice 15
Les familles suivantes sont-elles des bases de R3 ?
A = {(1, −2, 3), (3, 2, 1)}.
B = {(2, −2, 3), (2, 1, 0); (1, 2, 3)}.
C = {(−1, 1, −1), (2, −3, 1); (−1, 0, −2)}.
Exercice 16 Montrer que u1 = (−3, 2, −1), u2 = (2, 0, 2) et u3 = (−1, 1, 1) forment une base
de R3 . Donner les coordonnées de u = (1, 4, 3) dans cette base.
Exercice 17
Déterminer une base et la dimension des sous-espaces vectoriels suivants :
E = {(x, y, z) ∈ R3 ; −x + y + z = 0}
F = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − y + z = 0 et x + y + 3z = 0}
G = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x + y − z − t = 0}
H = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; −x + y + 2z = 0 et x + y − 2t = 0}
K = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; −2x + 2y + z + t = 0 et x − y + 3z − 2t = 0 et x + y + 4z + t = 0}
J = {(x − y, 2x, y); x, y ∈ R}
Exercice 18 Soit E le sous-espace vectoriel engendré par u1 = (−1, 2, −2), u2 = (3, −1, 2) et
u3 = (1, 3, −2).
Soit u = (1, 8, −6), v = (2, 1, −3) et w = (−3, −4, 2) . Donner, parmi ces vecteurs, ceux qui sont
dans E.
Exercice 19 Pour chacun des s e v suivants, donner le rang, une base parmi la famille génératrice donnée, la dimension et un système d’équations minimal. Compléter la base de chaque
s-e-v, s’il y a lieu, en une base de Rn .
E = V ect( (−1, 1, 1); (−1, 1, 2) )
F = V ect( (2, −3, 1); (1, 2, −3); (3, −1, −2) )
G = V ect(1, 1, −2)
H = V ect( (2, −1, 2, 1); (−1, 3, 0, 1); (1, 2, 2, 2) )
K = V ect( (−3, 1, 2, −1), (−3, 1, 2, 0) )
Exercice 20
Mêmes questions que l’éxercice précédent.
E = V ect( (−1, −2, 1); (1, 3, −1); (−1, 0, 1) )
F = V ect( (1, 1, −1); (−1, 1, 1); (1, −1, 0) )
G = V ect( (1, 2, 1, 2); (1, 4, 2, 4); (1, 1, 2, 2); (1, 3, 2, 4) )
H = V ect( (2, −1, 2, 1); (1, 3, 1, −1); (1, −1, 2, 2); (2, 3, 1, −2) )
K = V ect( (−1, −2, 1, 1, −1); (2, 1, −1, 1, 1); (1, 3, 1, −1, 1); (2, 2, 1, 1, 1); (1, 0, 2, 2, 0) )
Exercice 21 Pour chacun des s e v suivants, donner une base, la dimension et un système
d’équations minimal.
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E = {(2x − y, x + y, −x + y); x, y ∈ R}.
F = {(x + 2y, y − 2x, y − x); x, y ∈ R ).
Exercice 22 Déterminer un système d’équations cartésiennes pour chacun des sous-espaces
vectoriels suivants de R3 .
a. A = {(3α + 2β, β + 2α, α − β); α, β ∈ R}.
b. B = V ect(b) où b = (3, 2, 1).
Exercice 23 Montrer que les vecteurs u1 = (2, −1, 1) et u2 = (−3, 1, −2) engendrent le même
sous-espace vectoriel que v1 = (1, −1, 0) et v2 = (3, −2, 1).
Exercice 24
Dans R4 on considère a1 = (2, −2, 3, 1) et a2 = (−1, 4, −6, −2).
a) Trouver des vecteurs a3 et a4 tels que (a1 , a2 , a3 , a4 ) est une base de R4 .
b) Déterminer un système d’équations pour le sous-espace vectoriel de R4 engendré par a1 et
a2 .
Exercice 25
Soient les sous-ensembles de R3 :
F = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y + 2z = 0 } et G = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y = x + z = 0 }
a. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R3 .
Soient les vecteurs : u = (2, 0, −1), v = (0, 2, −1) et w = (−1, 1, 0).
b. Montrer que {u, v} engendre F . Vérifier que w appartient à F ; déterminer des réels a et b
tels que w = au + bv. Les vecteurs u, v, w sont-ils linéairement indépendants ?
c. Déterminer F ∩ G.
d. Pour (x, y, z) dans R3 , montrer qu’il existe un réel r tel que s = (x+r, y−r, z −r) appartienne
à F ; exprimer ce vecteur s comme combinaison linéaire de u et de v.
e. Montrer que F + G = R3 .
Exercice 26 On considère les deux s-e-v E et F de R3 définies par :
E = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − y + z = 0} et F = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z = 0 et x − y − z = 0}.
a. Donner une base pour chacun des s e v E, F , E ∩ F et E + F .
b. Montrer que E + F = R3 .
Exercice 27
On considère les vecteurs suivants de R4 :
u1 = (1, 2, 3, 4), u2 = (2, 2, 2, 6), u3 = (0, 2, 4, 4), v1 = (1, 0, −1, 2), v2 = (2, 3, 0, 1).
On pose : F = V ect(u1 , u2 , u3 ) et G = V ect(v1 , v2 ).
Donner une base, la dimension, et un système d’équations caractérisant les s e v
F , G, F ∩ G et F + G.
Exercice 28 On considère les deux s-e-v E et F de R4 définies par :
E = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; −x + z = 0 et x − y + t = 0} et F = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; y + z − t = 0}.
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a. Donner une base pour chacun des s e v E, F , E ∩ F et E + F .
b. A-t-on E + F = R4 ?
Exercice 29
On considère les vecteurs suivants de R4 :
u1 = (1, −3, 1, 1),
v1 = (1, −2, 2, −1),
u2 = (1, −7, 1, 6),
v2 = (−3, 7, −6, 2),
u3 = (3, −1, 3, −7),
v3 = (−5, 8, −9, 7).
Soit F le s-e-v engendré par les vecteurs u1 , u2 et u3 . soit G le s-e-v engendré par v1 , v2 et v3 .
a. Donner une base, la dimension, et un système d’équations pour chacun des s-e-v F et G.
b. Donner une base et la dimension pour les s-e-v F ∩ G et F + G.
Exercice 30
On considère les deux familles de vecteurs dans R4 :
S1 = {(1, −4, −2, 2); (−4, −2, 5, 4); (6, −6, −9, 0)}
et
S2 = {(−1, −2, 1, 2); (2, 1, −3, 1); (−1, 1, 1, 3)}
Soit E1 et E2 les sous-espaces vectoriels de R4 , engendrés par S1 et S2 .
a. Montrer que E1 ⊂ E2 .
b. E1 = E2 ? Si non, donner un vecteur de E2 qui n’est pas dans E1 .
Exercice 31 Dans R4 on considère l’ensemble E des (x, y, z, t) tels que x + y + z + t = 0 et
l’ensemble F des (x, y, z, t) tels que x = y = z = t.
a. Montrer que E et F sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans R4 .
b. Déterminer des bases de E et de F .
Exercice 32 Soit E1 le sous-espace vectoriel de R4 engendré par {(1, 3, 0, 4), (2, 0, 1, 2)} et E2
le sous-espace vectoriel engendré par {(1, 1, 2, 3), (4, −1, 0, 2)}.
Les sous-espaces E1 et E2 sont-ils supplémentaires dans R4 ?
Exercice 33 dans R3 , on considère les sous-espaces vectoriels E1 = V ect(v1 , v2 ) et E2 =
V ect(w1 , w2 ) avec v1 = (2, 1, 1) et v2 = (2, 2, 1), w1 = (1, 2, −1) et w2 = (2, 1, 2).
a. Déterminer la dimension de E1 ∩ E2 .
b. Déterminer la dimension de E1 + E2 .
c. A-t-on : R3 = E1 + E2 ? R3 = E1 ⊕ E2 ?
Exercice 34 Dans R4 , on considère les sous-espaces vectoriels E1 = V ect(v1 , v2 ) et E2 =
V ect(w1 , w2 ) avec v1 = (1, −1, 0, 1) et v2 = (0, 2, 1, 0), w1 = (0, 6, −1, 4) et w2 = (3, 3, 1, 5).
a. Donner une base de E1 ∩ E2 .
b. Donner une base de E1 + E2 .
c. Déterminer un supplémentaire de E1 + E2 dans R4 .
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