TD 01 : ALGÈBRE LINÉAIRE I №1. Les ensembles suivants sont
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2014/2015
TD 01 : A LGÈBRE
LINÉAIRE
I
Il s’agit ici de revoir les notions de sous-espaces vectoriels , de familles de vecteurs et de dimension.
S OMMES ET INTERSECTION DE SOUS - ESPACES VECTORIELS
№1. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de R2 ?
{(x, y) ∈ R2 , x2 = y 2 }, {(x, y) ∈ R2 , x > y}, {(x, y) ∈ R2 , 2x = −3y},
le complémentaire d’une droite.
№2. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de RR ?
(a) L’ensemble des fonctions bornées par 1,
(b) L’ensemble des fonctions bornées,
(c) L’ensemble des fonctions monotones,
(d) L’ensemble des fonctions toujours positives ou toujours négatives (au sens large),
(e) Les polynômes P de degré 17,
(f) Les polynômes P qui vérifient P (1) = 0,
(g) Les polynômes P qui vérifient P (0) = 1,
(h) L’ensemble des fonctions qui tendent vers 2 en +∞,
(i) L’ensemble des fonctions qui tendent vers 0 en +∞.
(j) Les suites géométriques
№3. Dans R4 , on considère les trois familles de vecteurs suivantes
3
0
1
2 , 1 , 4 ,
F1 =
5
2
3
16
−1
4
3
2
0
1
2 1 1 4
,
,
,
F2 =
5
0
2
3
14
11
−1
4
4
2
1
0
1
1 , 1 , 0 , 1 , 3 .
F3 =
2
0
−2
2
1
1
−1
3
−1
1
Déterminer leur rang et extraire de chaque famille une base de l’espace qu’elle engendre.
№4. Déterminer une base des sous espaces de R4 suivants :
(a) E = vect {v~1 , v~2 , v~3 } et F = vect {v~4 , v~5 }, E + F, E ∩ F où
1
2
0
1
2
2
2
2
0
3
v~1 =
3 , v~2 = 2 , v~3 = 4 , v~4 = −1 , v~5 = 0 .
4
6
4
2
1
(b) G, H, G + H, G ∩ H où
G =
H
TD 01 : Algèbre linéaire
=
x
y ∈ R4 /x + y + z + t = 0 ,
z
t
x
y ∈ R4 /x + y = z + t .
z
t
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1
4
et G =
№5. Soit les deux sous-ev de R suivants : F = R
1
1
F ⊕ G = R4 .
x
y
, x + y + z + t = 0 . Montrer que
z
t
№6. Soient F, G des sous-espaces vectoriels du R- espace vectoriel E. Montrer les implications suivantes :
(a) Si F ∪ G = E, alors F = E ou G = E.
№7. Soient F, G et H trois sev de E. Comparer pour l’inclusion les ensembles suivants :
(a) F ∩ (G + H) et (F ∩ G) + (F ∩ H).
(b) F + (G ∩ H) et (F + G) ∩ (F + H).
№8. Même question avec les ensembles suivants, où A et B sont des parties de E :
(a) Vect A ∩ Vect B et Vect (A ∩ B).
(b) Vect A + Vect B et Vect (A ∪ B).
FAMILLES DE VECTEURS
№9. Dans l’espace Pn des polynômes de degré 6 n, on définit les sous-ensembles :
E1 = {P ∈ P5 | P (0) = 0}
E2 = {P ∈ P5 | P 0 (1) = 0}
E3 = {P ∈ P5 | x2 + 1 divise P }
E4 = {P ∈ P5 | x 7→ P (x) est une fonction paire}
E5 = {P ∈ P5 | ∀x, P (x) = xP 0 (x)}.
(a) Déterminer des bases de ces sous-espaces vectoriels.
(b) Déterminer dans Pn un sous-espace supplémentaire de E1 ∩ E3 .
№10. Soit n ∈ N et E = Rn [X], l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré 6 n.
№11. Montrer que les familles suivantes sont des bases de Rn [X], et donner pour tout P ∈ Rn [X], ses coordonnées dans chacune des bases.
(a) Pour tout a réel, (1, (X − a), (X − a)2 , . . . , (X − a)n ),
X(X + 1) . . . (X + n)
.
(b) Les polynômes L0 , L1 , . . . , Ln , où Li =
X +i
FAMILLES DE MATRICES
№12. Montrer que ces ensembles de matrices sont des sev de Mn (R) et donner leur dimension r :
(a) Tn+ (R).
(b) L’ensemble E des matrices dont la somme des éléments diagonaux est nulle. Montrer E ⊕ Vect (In ) =
Mn (R).
FAMILLES DE FONCTIONS
2
2
№13. Donner la dimension du sous-espace F de F(R, R) engendré
par f1 (x) = sin x, f2 (x) = cos x, f3 (x) =
sin 2x et f4 (x) = cos 2x, puis par sin, sin(x + 1), sin(x + 2) .
№14. Soient a1 , . . . , an n réels deux à deux distincts. Montrer que la famille des fonctions (f1 , . . . , fn ) est libre,
où fi : x ∈ R 7→ eai x .
n
o
№15. Même question pour FN = x ∈ R 7→ cosn (x) , n 6 N ,
1 si x > a
№16. Même question pour F = {fa , a ∈ R} où fa : x ∈ R 7→
,
0 si x < a
№17. (a) Soit T ∈ N. Montrer que l’ensemble des suites T −périodiques est un sous-espace vectoriel de RN de
dimension T .
(b) Montrer que l’ensemble des suites périodiques est un sous-espace vectoriel de RN , puis qu’il est de
dimension infinie.
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