TD 01 : ALGÈBRE LINÉAIRE I №1. Les ensembles suivants sont

2014/2015
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TD 01 : ALGÈBRE LINÉAIRE I
Il s’agit ici de revoir les notions de sous-espaces vectoriels , de familles de vecteurs et de dimension.
SOMMES ET INTERSECTION DE SOUS-ESPACES VECTORIELS
№1. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de R2?
{(x, y)∈R2, x2=y2},{(x, y)∈R2, x >y},{(x, y)∈R2,2x=−3y},
le complémentaire d’une droite.
№2. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de RR?
(a) L’ensemble des fonctions bornées par 1,
(b) L’ensemble des fonctions bornées,
(c) L’ensemble des fonctions monotones,
(d) L’ensemble des fonctions toujours positives ou toujours négatives (au sens large),
(e) Les polynômes Pde degré 17,
(f) Les polynômes Pqui vérifient P(1) = 0,
(g) Les polynômes Pqui vérifient P(0) = 1,
(h) L’ensemble des fonctions qui tendent vers 2en +∞,
(i) L’ensemble des fonctions qui tendent vers 0en +∞.
(j) Les suites géométriques
№3. Dans R4, on considère les trois familles de vecteurs suivantes
F1=
1
2
3
4
,
0
1
2
−1
,
3
4
5
16
,
F2=
1
2
3
4
,
0
1
2
−1
,
2
1
0
11
,
3
4
5
14
F3=
1
1
1
1
,
0
1
2
−1
,
1
0
−2
3
,
2
1
0
−1
,
4
3
2
1
.
Déterminer leur rang et extraire de chaque famille une base de l’espace qu’elle engendre.
№4. Déterminer une base des sous espaces de R4suivants :
(a) E=vect {~v1, ~v2, ~v3}et F=vect {~v4, ~v5}, E +F, E ∩Foù
~v1=
1
2
3
4
, ~v2=
2
2
2
6
, ~v3=
0
2
4
4
, ~v4=
1
0
−1
2
, ~v5=
2
3
0
1
.
(b) G, H, G +H, G ∩Hoù
G=
x
y
z
t
∈R4/x +y+z+t= 0 ,
H=
x
y
z
t
∈R4/x +y=z+t .
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№5. Soit les deux sous-ev de R4suivants : F=R
1
1
1
1
et G=
x
y
z
t
, x +y+z+t= 0 . Montrer que
F⊕G=R4.
№6. Soient F, G des sous-espaces vectoriels du R- espace vectoriel E. Montrer les implications suivantes :
(a) Si F∪G=E, alors F=Eou G=E.
№7. Soient F, G et Htrois sev de E. Comparer pour l’inclusion les ensembles suivants :
(a) F∩(G+H)et (F∩G)+(F∩H).
(b) F+ (G∩H)et (F+G)∩(F+H).
№8. Même question avec les ensembles suivants, où Aet Bsont des parties de E:
(a) Vect A∩Vect Bet Vect (A∩B).
(b) Vect A+Vect Bet Vect (A∪B).
FAMILLES DE VECTEURS
№9. Dans l’espace Pndes polynômes de degré 6n, on définit les sous-ensembles :
E1={P∈ P5|P(0) = 0}
E2={P∈ P5|P0(1) = 0}
E3={P∈ P5|x2+ 1 divise P}
E4={P∈ P5|x7→ P(x)est une fonction paire}
E5={P∈ P5| ∀x, P (x) = xP 0(x)}.
(a) Déterminer des bases de ces sous-espaces vectoriels.
(b) Déterminer dans Pnun sous-espace supplémentaire de E1∩E3.
№10. Soit n∈Net E=Rn[X], l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré 6n.
№11. Montrer que les familles suivantes sont des bases de Rn[X], et donner pour tout P∈Rn[X], ses coordon-
nées dans chacune des bases.
(a) Pour tout aréel, (1,(X−a),(X−a)2,...,(X−a)n),
(b) Les polynômes L0, L1, . . . , Ln, où Li=X(X+ 1) . . . (X+n)
X+i.
FAMILLES DE MATRICES
№12. Montrer que ces ensembles de matrices sont des sev de Mn(R)et donner leur dimension r:
(a) T+
n(R).
(b) L’ensemble Edes matrices dont la somme des éléments diagonaux est nulle. Montrer E⊕Vect (In) =
Mn(R).
FAMILLES DE FONCTIONS
№13. Donner la dimension du sous-espace Fde F(R,R)engendré par f1(x) = sin2x, f2(x) = cos2x, f3(x) =
sin 2xet f4(x) = cos 2x, puis par sin,sin(x+ 1),sin(x+ 2).
№14. Soient a1, . . . , annréels deux à deux distincts. Montrer que la famille des fonctions (f1, . . . , fn)est libre,
où fi:x∈R7→ eaix.
№15. Même question pour FN=nx∈R7→ cosn(x), n 6No,
№16. Même question pour F={fa, a ∈R}où fa:x∈R7→ 1si x>a
0si x<a ,
№17. (a) Soit T∈N. Montrer que l’ensemble des suites T−périodiques est un sous-espace vectoriel de RNde
dimension T.
(b) Montrer que l’ensemble des suites périodiques est un sous-espace vectoriel de RN, puis qu’il est de
dimension infinie.
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