Chapitre 5 Séries trigonométriques

Chapitre 5
Séries trigonométriques
I. Introduction et définitions
Dans ce chapitre, nous verrons une autre classe importante de séries de fonctions, les séries trigonométriques. La propriété essentielle de ces séries est la prise en compte, dans la
décomposition d’une fonction périodique en “somme infinie” de fonctions simples, du caractère de périodicité . Prenons par exemple la fonction x 7→ sin x. Son développement en
série entière est
∞ (−1)n x 2n+1
X
n=0 (2n + 1)!
et ses approximations à n’importe quel ordre n qui sont des fonctions polynomiales ne sont
pas périodiques et encore moins 2π-périodiques.
Dans un premier temps, nous étudierons le cas de fonctions 2π-périodiques. Parmi ces fonctions, les plus simples sont évidemment de la forme x 7→ cos(n x) et x 7→ sin(n x) où x ∈ R et
n ∈ N. Les premières sont paires et les secondes, impaires. Ensuite, nous passerons au cas
des fonctions T -périodiques où T est un nombre réel positif quelconque.
X
Définition 5.1. On appelle série trigonométrique une série de fonctions
u n (x) dont le
terme général u n (x) est de la forme
u 0 (x) =
a0
2
et
∀ n ∈ N∗ ,
u n (x) = a n cos(n x) + b n sin(n x).
(I.1)
Convention
On conviendra d’écrire les sommes partielles d’une série trigonométrique (I.1) sous la forme
n
X
a0
+
(a k cos(k x) + b k sin(k x)).
2
k=1
où l’on pose b 0 = 0.
Définition 5.2. Une fonction f : R → C, 2π-périodique, est développable en série trigonométrique si elle est limite simple (ou somme) d’une série trigonométrique.
Exemples
1
1. Les fonctions sin et cos sont développables en séries trigonométriques (déterminer les
coefficients a n et b n correspondants).
cos(n x)
2. La série de terme général
est trigonométrique.
n2
3. Représenter les graphes des fonctions 2π-périodiques f , g : R → R définies par
½
f (x) =
si
si
−x
x
x ∈ [−π, 0[,
x ∈ [0, π[,
½
g (x) =
x2
0
si
si
x ∈ [−π, 0[,
x ∈ [0, π[,
Autre écriture des séries trigonométriques
Après substitution
cos(n x) =
e i n x + e −i n x
,
2
e i n x − e −i n x
,
2i
sin(n x) =
an − i bn
an + i bn
et βn =
. La
2
2
le terme général (I.1) devient αn e i n x + βn e −i n x où αn =
somme partielle
p
X
a0
+
(a n cos(n x) + b n sin(n x))
2
n=1
s’écrit aussi (écriture exponentielle complexe )
p
X
cn e i n x ,
n=−p
où, pour n ∈ N∗ , les coefficients c n sont égaux à αn et les coefficients c −n à βn .
a0
.
Il s’ensuit que c 0 =
2
Comme dans le cas général des séries de fonctions, on rencontre la notation (limite)
∞
X
a0
+
(a n cos(n x) + b n sin(n x)) ,
2
n=1
ou
∞
X
cn e i n x
n=−∞
pour désigner les séries trigonométriques.
X
Convention : convenons de noter ces derniers objets
c n e i n x . Il s’agit de suites de fonctions de la forme p 7→
p
X
n∈Z
c n e i n x où p ∈ N.
n=−p
Exercices
X cos(n x)
X sin(n x)
n2
n2
p
X
ne i n x
2. Inversement, écrire les coefficients a n et b n des séries trigonométriques :
2
n=−p n + 1
p
X
ein x
et
.
n=−p n + 1
1. Écrire les coefficients c n des séries trigonométriques
et
II. Convergence des séries trigonométriques
La notion de convergence peut, bien-sûr, s’appliquer aux séries trigonométriques écrites selon la définition. Elle correspond, sous l’écriture exponentielle complexe, à la définition suivante :
X
Définition 5.3. Une série trigonométrique
c n e i n x est convergente sur une partie D de R
n∈Z
s’il existe une fonction f : D → C qui vérifie l’assertion :
∀ x ∈ D,
On posera f (x) =
, ∀ ε > 0,
∞
X
∃N (ε, x) ∈ N;
¯
¯
p
¯ X
¯
¯
¯
in x
p > N (ε, x) =⇒ ¯
cn e
− f (x)¯ < ε.
¯n=−p
¯
cn e i n x
−∞
Exercice. Écrire de façon analogue les définitions de convergence uniforme, absolue et nor∞
X
male d’une série trigonométrique
cn e i n x .
n=−∞
Une série trigonométrique est une série de fonctions particulières définies sur tout R. Par
conséquent, tous les théorèmes et propositions vus dans le chapitre des séries de fonctions
restent vrais. Il en résulte la proposition suivante.
Proposition 1. Si les séries numériques [|a n |] et [|b n |] convergent, alors la série trigonométrique [a n cos(n x) + b n sin(n x)] converge normalement (donc uniformément) et sa somme est
une fonction continue.
D ÉMONSTRATION- Exercice.
Exemple
cos(n x) + sin(n x)
La “somme” de la série [
] existe et est continue.
n2
En fait, grâce au théorème d’Abel (appliqué à la série trigonométrique en écriture complexe)
et à la majoration du reste, nous avons respectivement les théorèmes suivants.
Théorème 2. Si les suites de nombres réelles (a n ) et (b n ) sont positives, décroissantes et
convergentes vers 0, alors la série trigonométrique de terme général (a n cos(n x) + b n sin(n x))
converge sur l’ensemble R \ {2kπ ; k ∈ Z}.
D ÉMONSTRATION- Appliquer le corollaire du théorème d’Abel.
Théorème 3. Si les suites de nombres réels positifs (a n ) et (b n ) sont décroissantes et convergent
vers 0, alors, la série trigonométrique de terme général (a n cos(n x) + b n sin(n x)) converge uniformément sur tout intervalle de type [2kπ + δ, 2(k + 1)π − δ] où k ∈ Z.
D ÉMONSTRATION- Admis
II.1 Propriétés de la fonction “somme”
De la convergence uniforme établie dans le théorème précédent, on déduit le théorème suivant.
Théorème 4. La “somme” d’une série trigonométrique est 2π- périodique et continue sur
R \ {2kπ ; k ∈ Z}.
D ÉMONSTRATION- Admis
Théorème 5. Si la série [a n cos(n x) + b n sin(n x)] converge vers une fonction f sur un intervalle I et si la série dérivée [na n cos(n x) − nb n sin(n x)] est uniformément convergente sur I ,
alors cette dernière converge vers une fonction g telle que f 0 = g .
D ÉMONSTRATION- Admis
Exercice
Trouver la somme de la série trigonométrique de terme général
exponentielle complexe)
n cos(n x)
(utiliser l’écriture
2n
II.2 Dérivation et intégration d’une série trigonométrique
+∞
X
Théorème 6. Si la série
n (|c n |+|c −n |) est convergente, alors la série f (x) = c 0 +
n=0
+∞
X
(c n e i n x +
n=1
c −n e −i n x ) est convergente. Sa somme f (x) est continument dérivable et sa dérivée f 0 s’obtient
par dérivation terme à terme :
f 0 (x) =
+∞
X
(c n e i n x + c −n e −i n x )0 =
n=1
+∞
X
i n(c n e i n x − c −n e −i n x ).
n=1
D ÉMONSTRATION- En cours
Corollaire 7. Si la série
+∞
X
(|c n | + |c −n |) est convergente, alors la fonction f (x) =
n=0
c −n e
−i n x
+∞
X
(c n e i n x +
n=0
) est continue, et la série
c 0 x + (−c 1 i e i x + c −1 i e −i x ) + ... + (−
+∞
X c n i n x c −n −i n x
c n i n x c −n −i n x
(− i e
ie
+
ie
) + ... =
+
ie
)
n
n
n
n
n=0
est une primitive de f (x).
D ÉMONSTRATION- Il suffit d’appliquer le théorème précédent à la série
+∞
X
n=0
(−
c n i n x c −n −i n x
ie
+
ie
).
n
n
III. Coefficients et série de Fourier
Jusqu’à présent, nous nous sommes intéressés à l’étude des séries trigonométriques dont on
connait au départ leurs coefficients.
Dans ce paragraphe, nous nous interesserons au problème inverse.
On se donne une fonction f : R → C, 2π- périodique. Sous quelles conditions supplémentaires admet-elle, dans un domaine D de R (à préciser), un développement en série trigonométrique et dans le cas où un tel développement existe, comment déterminer D ainsi que
les coefficients a n et b n correspondants ?
III.1 Cas des séries trigonométrique
L’origine des séries trigonométriques est la résolution de ce problème inverse (voir la note
historique) et, plus précisémment, dans la décomposition d’une solution de l’équation des
cordes vibrantes en “somme infinie” de fonctions périodiques.
Plusieurs réponses ont été données. La plus complète (dans le cadre de notre unité d’enseignement) est celle qui est contenue dans le théorème de Dirichlet-Jordan.
Avant d’énoncer ce théorème, nous avons besoin de quelques définitions et notations.
Définition 5.4. On dit qu’une fonction f : R → C est continue par morceaux si, sur tout intervalle borné, elle ne possède qu’un nombre fini de points de discontinuité (et elle est continue
ailleurs).
Définition 5.5. On dit qu’une fonction f : R → C est continûment dérivable par morceaux
si sur tout intervalle borné, à l’exception d’un nombre fini de points, elle est dérivable et sa
dérivée est continue.
Exemple
La fonction u : R → R définie par u(x) = x − bxc est continûment dérivable par morceaux
puisqu’elle l’est sur R \ Z et que l’intersection de Z avec tout intervalle borné est fini.
Notations
1. On note E l’espace vectoriel (à vérifier) des fonctions définies sur R, 2π-périodiques,
continûment dérivables par morceaux et possédant en tout point de discontinuité a,
des limites à gauche et à droite.
2. On note f (a + ) et f (a − ) les limites à droite et à gauche de f en a. Il est clair qu’une
fonction est continue si, et seulement si, ses limites à gauche et à droite en tout point
sont égales.
Exemples
1. La fonction v : R → R, 2π-périodique, définie sur [−π, π[ par v(x) = |x| est un élément
de E .
1
2. La fonction w : R → R, 2π-périodique, définie sur [0, 2π[ par f (0) = 0 et f (x) = sin si
x
x ∈ ]0, 2π[ est continûment dérivable par morceaux, mais n’appartient pas a E .
Pour i , j ∈ N, posons δi , j = 0 si i 6= j et δi ,i = 1 (c’est le symbole de Kronecker).
Pour tous i , j ∈ N, un petit calcul montre que l’on a :
Z
1 2π
cos(i x) sin( j x) d x = 0,
π 0
Z
Z
1 2π
1 2π
cos(i x) cos( j x) d x = δi , j ,
sin(i x) sin( j x) d x = δi , j .
π 0
π 0
Si l’on avait une relation du type
f (x) =
∞
X
a0
+
(a n cos(n x) + b n sin(n x))
2
n=1
alors les relations ci-dessus donnent une idée de comment calculer les coefficients a n et b n
(« sous de bonnes hypothèses »).
Définition 5.6. On appelle coefficients de Fourier d’une fonction f ∈ E , les nombres réels a n
et b n définis par
1
an =
π

2π
Z
f (x) cos(n x) d x,
0
1
bn =
π
Z
2π
f (x) sin(n x) d x.
0
La série trigonométrique définie par les sommes partielles
Sp ( f ) =
p
X
a0
+
(a n cos(n x) + b n sin(n x))
2
n=1
est appelée série de Fourier de f .
Exercices
1. Soit u un élément de E . Montrer que pour tout nombre réel α, on a :
Z 2π
Z α + 2π
u(x) d x =
u(x) d x
α
0
et en particulier,
Z
0
2π
Z
u(x) d x =
π
u(x) d x.
−π
2. Montrer que les coefficients c n de la série de Fourier (deuxième écriture
associée à la fonction 2π-périodique f ont pour expressions :
Z 2π
1
f (x)e −i n x d x
cn =
2π 0
X
n∈Z
cn e i n x )
Le lien entre la fonction f et sa série de Fourier est établi par le théorème suivant.
Théorème 8. (théorème de Dirichlet-Jordan) Soit f ∈ E . Alors, la série de Fourier associée
à f converge ponctuellement vers la fonction g , définie sur R par
f (x + ) + f (x − )
g (x) =
.
2
D ÉMONSTRATION- Admis
Corollaire 9. Si la fonction f ∈ E est continue en a, sa série de Fourier converge ponctuellement en a vers f (a).
Grâce à ce théorème, on peut voir que si f est paire, tous les coefficients b n sont nuls et si f
est impaire, les coefficients a n , à sont nuls (la fonction de départ f peut ne pas s’annuler en
0).
Exemples
1. Soit f la fonction 2π-périodique définie par f (x) = α si x ∈ [0, π[ et f (x) = β si x ∈
[−π, 0[. La série de Fourier [u n ] associée à f est définie par
a 0 = α + β,
et
∀ n ∈ N,
a n = 0,
b 2n = 0,
b 2n+1 = 2
α−β
.
(2n + 1)π
Que devient cette série lorsque α = −β ?
2. Soit g la fonction 2π-périodique définie par f (x) = αx si x ∈ [0, π[ et f (x) = βx si
x ∈ [−π, 0[. La série de Fourier [v n ] associée à g est définie par
a0 =
β−α
α−β
π+2
,
2
(2n + 1)2 π
et
∀ n ∈ N∗ ,
a 2n = 0,
a 2n+1 = 2
β−α
,
(2n + 1)2 π
bn =
(−1)n−1 (α + β)
.
n
III.2 Le cas complexe
Théorème 10. Soit f une fonction complexe, périodique de période 2π. Si
f (x) = c 0 +
+∞
X
(c n e i n x + c −n e −i n x )
n=0
est la somme d’une série trigonométrique, et si cette série converge uniformément, on a pour
tout k ∈ Z,
Z
1 2π
ck =
f (x) e −i kx d x.
2π 0
On note parfois fˆ(k) = c k ce k-ième coefficient de Fourier.
D ÉMONSTRATION- Admis
On a la correspondance suivante pour les coefficients de Fourier dans l’écriture réelle ou
complexe :

Z
1 2π


f (x) d x
a
=
c
=

0
0


2π 0






Z
Z

1 2π
1 2π
−i n x
in x

a n = c n + c −n =
f (x) (e
+e )dx =
f (x) cos(n x) d x

2π 0
π 0






Z
Z



1 2π
1 2π

−i n x
in x
 b n = i (c n − c −n ) =
f (x) (e
−e )dx =
f (x) sin(n x) d x.
2π 0
π 0
III.3 Cas des fonctions T -périodiques
Comme pour les fonctions 2π-périodiques, les fonctions T -périodiques de base sont x 7→
2πx
2πx
) et x 7→ sin(
). Elles sont indéfiniment dérivables. La première est paire et la secos(
T
T
conde est impaire.
Tous les résultats et propriétés établis jusqu’ici peuvent s’appliquer aux fonctions T -périodiques.
Les coefficients de Fourier deviennent dans ce cas :
Z
Z
2 T
2nπ
2 T
2nπ
an =
f (x) cos(
x) d x, b n =
f (x) sin(
x) d x,
T 0
T
T 0
T

Z
−2nπi
1 T
f (x) e T x d x.
cn =
T 0
Exercice Montrer que les fonctions définies sur R par :
x 7→ (−1)bxc
x 7→ x − bxc;
sont périodiques, de périodes respectivement égales à 1 et 2. Calculer leurs coefficients de
Fourier.
Exemple : Considérons la fonction, définie sur R, périodique de période 2π, définie par
 π
π π

pour x ∈] − , [;



4
2 2

 π
π 3π
f (x) = −
pour x ∈] ,
[;

4
2 2




 0 pour x = − π ou x = π .
2
2
Etudions la série de Fourier de f . Cette fonction vérifie les condition du théorème et pour
tout x ∈ R,
f (x+) + f (x−)
f (x) =
.
2
Donc, on a pour tout x ∈ R,
f (x) =
+∞
X
(c n e i n x + c −n e −i n x ).
n=0
Calculons les coefficients de Fourier de f . On a
2
cn =
π
Z
3π
2
− π2
f (x) e
−i n x
1
dx =
8
Z
π
2
− π2
e
−i n x
3π
2
1
dx −
8
Z
3π
−π
2
π
2
e −i n x d x.
Pour n = 0, on a c 0 = 0. Pour n 6= 0, on a par intégration
π
π
1 e −i n 2 − e i n 2 1 e −i n 2 − e i n
cn =
−
8
−i n
8
−i n
et donc
π
π
π
−8i nc n = 2e −i n 2 − 2e i n 2 = −2(2i sin(n ).
2
Il s’ensuit que
cn =
π
1
sin(n ).
2n
2
Si n est pair, on a c n = 0 et si n = 2k + 1 est impair, on a c n =
Comme f est paire , on obtient, pour tout x ∈ R,
f (x) =
+∞
X
n=0
En posant x = 0, on obtient
(−1)n
1
(−1)k .
2n
cos(2n + 1)x
.
2n + 1
X (−1)n
π +∞
=
.
4 n=0 2n + 1
IV. Interprétation géométrique
IV.1 Produit scalaire sur un espace vectoriel E
On sait que dans l’espace euclidien R3 , la notion de produit scalaire sert à définir l’orthogonalité de deux vecteurs et à établir des relations métriques dans l’espace comme
- le théorème de Pythagore,
- et l’expression des coordonnées d’un vecteur v par rapport à une base
(e 1 , e 2 , e 3 ) comme produits scalaires de v et des éléments e i .
En fait, ces relations métriques peuvent se retrouver dans n’importe quel espace vectoriel
(même de dimension infinie) pourvu que l’on puisse y définir “un produit scalaire”.
Rappelons qu’une application ϕ : E × E → C définit un produit scalaire dans le C- espace
vectoriel E si c’est est une forme bilinéaire, symétrique et définie positive :
1. ∀ x 1 , x 2 , y ∈ E ,
∀ x, y 1 , y 2 ∈ E ,
2. ∀ x, y ∈ E ,
∀ λ, µ ∈ C, ϕ(λx 1 + µx 2 , y) = λϕ(x 1 , y) + µϕ(x 2 , y) ;
x∀ λ, µ ∈ C, ϕ(x, λy 1 + µy 2 ) = λϕ(x, y 1 ) + µϕ(x, y 2 ),
ϕ(x, y) = ϕ(y, x),
3. ∀ x, ∈ E \ {0},
ϕ(x, x) > 0.
On note souvent le produit scalaire ⟨·, ·⟩. Le nombre
de x.
p
⟨x, x⟩ = ||x|| est la longueur (norme)
Exercice
Montrer que si le produit scalaire de deux vecteurs u et v est nul, alors ||u + v|| = ||u|| + ||v||
(théorème de Pythagore).
Produits scalaires
1. La forme bilinéaire dans R3 , définie par (x, y) 7→ x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 définit le produit
scalaire euclidien classique.
Z 2π
2. la forme bilinéaire ( f , g ) 7→
f (x)g (x) d x définit un produit scalaire sur le C-espace
0
vectoriel E .
Ce deuxième exemple est fondamental pour la suite.
IV.2 Égalité de Parseval
Pour p, q ∈ N, posons δp,q = 0 si p 6= q et δp,p = 1 (c’est le symbole de Kronecker).
Pour tous p, q ∈ N, rappelons les relations d’orthogonalité vues plus haut :
Z 2π
cos(p x) sin(q x) d x = 0,
0
Z
1 2π
1
cos(p x) cos(q x) d x = δp,q ,
sin(p x) sin(q x) d x = δp,q .
π 0
π 0
Ces relations montrent que la famille de fonctions { sin(p x), cos(p x); p ∈ N} est orthonormale. Est-elle une base de E ? Nous détaillerons la réponse en cours.
Au sens du produit scalaire défini sur E , la norme (ou longueur) d’un élément f de E est
égale à
s
Z 2π
f (x) f (x) d x.
|| f || =
Z
2π
0
Théorème 11 (Égalité de Parseval). Soit f ∈ E . Notons S n ( f ) la somme partielle d’ordre n de
la série de Fourier (en exponentielle) :
n
X
Sn ( f ) =
c k e −i kx .
k=−n
1. La suite (S n ( f )) converge en moyenne quadratique vers f, c’est à dire :
Z
lim
n→∞
∞
X
1
|c k | =
2.
2π
k=−∞
2
Z
0
2π
0
2π
| f (t ) − S n f (t )|2 d t = 0.
| f (t )|2 d t = || f ||2 .
Si le développement en série de Fourier vient de la décomposition d’un signal, les coefficients c k sont les contributions des harmoniques. L’égalité de Parseval s’interprète donc en
disant que l’énergie totale du signal s’obtient en sommant les contributions des différentes
harmoniques.
Dans le cas d’un développement réel, l’égalité de Parseval devient
X 2
1
1 +∞
(a n + b n2 ).
|| f ||2 = a 02 +
4
2 n=1
V. Note historique
Le point de départ était l’équation aux cordes vibrantes (cas idéal)
2
∂2 u
2∂ u
=
c
∂t 2
∂t 2
pour laquelle D’Alembert (1717-1783) trouva des solutions (en 1747) de la forme u(x, t ) =
f (ct + x) − f (c t − x) où f est une fonction quelconque périodique, de période 2l (l est la
longueur de la corde et c, la vitesse de la la propagation de l’onde).
u(x,t)
corde
x
La courbe ci-dessus représente graphiquement la position initiale de la corde à l’instant t =
0. Pour un x donné, u(x, .) est une fonction périodique en temps t .
En 1753, Daniel Bernouilli (1700-1782) entreprit de considérer des fonctions f de la forme
2 sin
ou encore
³ nπx ´
l
³ nπct ´
l
³ nπ(ct − x) ´
.
l
l
Sachant que les fonctions sin et cos sont les fonctions périodiques les plus simples, il eut
l’idée d’exprimer la fonction f de la solution de D’Alembert sous forme d’une série trigonométrique
sin
f (u) =
³ nπ(ct + x) ´
cos
− sin
³ nπu ´
³ nπu ´i a
∞ h
∞
X
X
nπ(u − β)
a0
0
+
a n cos
+ b n sin
=
+
αn sin
.
2
l
l
2
l
n=1
n=1
Les termes de cette denière série désignent les harmoniques.
En prenant cette fonction comme solution de D’Alembert et ensuite en substituant t = 0,
on obtient la condition initiale qui doit être une fonction périodique en x. Se pose alors la
question : comment écrire une fonction quelconque comme “somme infinie” de fonctions
sinus d’arcs multiples ?
Cette question fut résolue par J. Fourier (1772-1837) en 1807, en étudiant l’équation de la
chaleur.
Les séries trigonométriques sont aussi utilisées en astronomie, acoustique, optique et bien
d’autres domaines.