1 Vocabulaire 2 Variable aléatoire

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Probabilités : rappels de première
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1 Vocabulaire
Définition:
Une ......................est une expérience qui peut conduire à plusieurs ......................, appelées encore ...................... ou ......................,
mais dont on ne peut pas prévoir le résultat avant que l’expérience soit réalisée.
Définition:
1. ...................... associé à une expérience aléatoire est l’ensemble Ω des résultats ou éventualités possibles.
2. On appelle ...................... tout sous-ensemble de l’univers.
3. Un ...................... est un événement formé d’une ...................... éventualité.
4. Si, à l’issue d’une expérience aléatoire on obtient l’éventualité Ω ou si un événement A contient ω, on dit que .......................
Incompatibilité, complémentarité
Définition:
1. Des événement A et B sont ...................... (ou ......................) sont des événements tels que .......................
2. Des événements A et B ...................... (ou ......................) sont des événements tels que A ∩ B = ...................... et A ∪ B =
....................... On note alors .......................
3. A ∪ B est l’événement .......................
4. A ∩ B est l’événement ......................
2 Variable aléatoire
Définition:
Soit E l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. On définit une variable aléatoire X sur E quand on associe .......................
On dit que l’ensemble de ces réels est l’ensemble des .......................
Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer un dé équilibré.
1. L’ensemble des issues peut être modélisé par : E = {......................}.
2. On décide la règle du jeu suivante : on gagne 1e si la face du dé qui sort est
la face 1, 2 ou 3, on gagne 3e si c’est la face 4, et on perd 2e si c’est la face 5
ou 6.
3. Cette règle du jeu définit la ...................... sur E qui associe 1 à l’issue « 1 », 1
à l’issue « 2 »,1 à l’issue « 3 »,3 à l’issue « 4 », —2 à l’issue « 5 » et à l’issue « 6
».
4. L’ensemble des valeurs prises par X est ici E0 = {......................}.
5. Une variable aléatoire est une fonction de E dans R, puisque l’on associe à
chaque issue de E un .......................
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Événements liés à une variable aléatoire
Définition:
Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers E. L’ensemble des valeurs prises par X est : E0 = {x 1 ; x 2 ; .....; x r } où les valeurs
sont des ...................... souvent rangées par ordre croissant. Le nombre x i , est associé à une ou plusieurs issues de E.
1. L’événement «X = x i » est ...................... auxquelles on associe le réel .......................
2. L’événement «X ≥ x i » est ...................... auxquelles on associe un réel supérieur ou égal à .......................
Exemple 1
Dans l’exemple précédent.
1. l’événement « X = 3 » est formé des issues ...................... : c’est l’événement ...................... de E.
2. L’événement « X > 0» est formé des issues ...................... car on associe 1 aux issues « 1 »,« 2 » et « 3 », et on associe 3 à
l’issue « 4 » : c’est donc l’événement {......................}.
2.1 Savoir Faire
2.1.1
Définir une variable aléatoire
Méthode :
Pour déterminer l’événement associé à une valeur d’une variable aléatoire, on cherche les issues donnant cette valeur.
Un sac contient un jeton marqué 1 et un jeton marqué 2. On tire un jeton, on note son numéro, on le remet dans le sac, puis
on effectue de même un second tirage et on fait la somme des deux nombres obtenus. Cette somme définit une variable
aléatoire S.
1. Déterminer l’ensemble E des issues possibles de cette expérience, puis l’ensemble des valeurs prises par S.
2. Quel est l’événement de E associé à l’événement S = 3 ?
3. Quel est l’événement de E associé à l’événement S > 2 ?
Correction:
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3 Loi de probabilité
Définition:
La probabilité de l’événement « X = x i » est la probabilité de l’événement formé de .......................
Exemple 2
Si l’on reprend l’exemple du dé , le nombre −2 est associé aux issues « 5» et « 6 », donc la probabilité de l’événement « X = −2
» est celle de l’événement {5; 6} de E. Par équiprobabilité dans E : P(X = −2) = ...................... = ...................... = ......................
Définition:
Soit X une ...................... définie sur l’univers fini E et E’ l’ensemble des valeurs ....................... La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la donnée de ......................, où ...................... prend toutes les valeurs de .......................
On présente souvent ces données sous la forme d’un tableau :
xi
P(X = x i )
x1
p1
x2
p2
x3
p3
...
...
...
...
xr
pr
On obtient alors un tableau similaire à celui présentant les fréquences pour une série statistique.
3.1 Savoir Faire
3.1.1 Déterminer la loi de probabilité d’une VA
Méthode :
Pour déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire X, on détermine d’abord les valeurs prises par X, puis les probabilités de ces valeurs.
Un jeu comporte huit cartes marquées 7, 8, 9,10, V, D, R et As. On tire une carte au hasard : la variable aléatoire X prend la
valeur 10 si l’on tire 7, 8, 9 ou 10 ; la valeur 15 pour V, D ou R et la valeur 20 pour l’As. Présenter dans un tableau la loi de
probabilité de cette variable aléatoire.
Correction:
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3.1.2 Utiliser une loi de probabilité
Méthode :
P(N > a) peut être calculé directement, ou bien à l’aide de l’événement contraire ......................
On appelle N la variable aléatoire donnant le nombre de caisses en service à l’ouverture d’un supermarché. La loi de N est
donnée par le tableau ci-dessous.
n
P(N = n)
1
0,04
2
0,06
3
0,14
4
0,18
5
0,17
6
0,15
7
0,12
8
0,09
9
0,04
10
a
1. Déterminer le réel a.
2. Calculer P(N ≥ 8), puis P(N > 2).
3. Quelle est la probabilité qu’il y ait moins de quatre caisses en service un jour donné ?
Correction:
4 Espérance mathématique
Propriété:
Somme des probabilités P(X = x i )
P(X = x1) + P(X = x 2 ) + . . . + P(X = x r ) = ...................... ou p 1 + p 2 + . . . + p r = ......................
En effet, les événements « X = x l », « X = x 2 »,....« X = x r » sont ...................... et leur réunion est .......................
Cela explique que la somme de leurs probabilités est égale à .......................
Cette propriété permet :
1. de ...................... trouvés lors de la recherche d’une loi de probabilité ;
2. de déterminer ......................à partir des autres sans avoir à calculer de probabilité.
Espérance mathématique d’une variable aléatoire L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X prenant les valeurs
x 1 , x 2 , ..., x r avec les probabilités p l , p 2 , ...p r , est le nombre réel, noté E(X), donné par : E(X) = ......................
On peut aussi l’écrire E(X) = .......................
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Interprétation
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X peut s’interpréter comme ......................des valeurs prises par X lorsque
l’expérience aléatoire est répétée .......................
Remarque:
1. Dans un jeu de hasard, l’espérance mathématique sera liée à ...................... du joueur (ou de l’organisateur du jeu).
2. La formule donnant E(X) est semblable à celle de la ...................... obtenue à partir des .......................
3. E(X) a ...................... que celle des valeurs x i .
Calculatrice ou Tableur
4.1 Savoir Faire
4.1.1 Calculer une espérance mathématique
Conseil :
Quand il y a peu de données, on peut utiliser la formule du cours. Sinon, l’usage de la calculatrice est recommandé.
On lance un dé équilibré : si la face supérieure est 1, 2 ou 3, on perd 5e, si la face supérieure est 4 ou 5, on gagne 2e, sinon on
gagne 10e. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur.
1. Calculer E (X).
2. Ce jeu est-il équitable ?
3. Utiliser la calculatrice et le tableur pour calculer E (X).
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Correction:
5 Loi de Bernoulli et loi binomiale
5.1 Répétition d’expériences identiques
Modélisation d’une expérience aléatoire à deux ou trois issues
On peut modéliser une expérience aléatoire à deux ou trois issues à
l’aide d’un .......................
1. Les différentes issues de l’expérience sont représentées aux
...................... d’un arbre ;
2. la probabilité de chaque issue est inscrite sur la branche
...................... à cette issue.
3. La somme des probabilités affectées aux branches issues d’un
même point est .......................
4. A est l’événement ......................de A.
5.1.1 Expériences indépendantes
Définition:
Deux expériences sont dites ...................... si le résultat de l’une ...................... sur le résultat de l’autre.
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Exemple 3
Le fait de lancer deux fois de suite une pièce de monnaie constitue la répétition de deux épreuves identiques (lancer une
pièce) et indépendantes, car le résultat du second lancer.......................
5.1.2 Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes
1. On représente la ...................... par un .......................
2. Dans un arbre pondéré représentant la répétition d’expériences identiques et indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le
......................de chaque résultat.
3. La probabilité d’obtenir la liste de résultats AA est égale ...................... des
probabilités inscrites sur les branches conduisant à .......................
4. De même, la probabilité d’obtenir ......................est .......................
Exemple 4
On lance lancer deux fois de suite une pièce de monnaie.
–
–
–
–
–
On note A l’issue « obtenir PILE » et donc A l’issue « obtenir FACE ».
On a ici : p = P(A) = ...................... et q = P(A) = ......................
La liste AA correspond à l’événement « obtenir ...................... » : P(AA) = ...................... = ......................
La liste A A correspond à l’événement « obtenir ......................» : P(A A) = ...................... = ......................
L’événement « obtenir une fois PILE et une fois FACE » est formé des deux issues ...................... et ....................... Sa probabilité est : P(AA) + P(AA) = ...................... = .......................
5.2 Loi de Bernoulli
Soit une expérience aléatoire présentant deux issues : l’une, S, que l’on appelle ............................ et l’autre appelée .............................
On note .... la probabilité de succès et .... celle d’échec, avec donc ......... Cette expérience aléatoire s’appelle une épreuve de
Bernoulli de paramètre .....
Définition et propriété: 1
1. La variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec
est appelée variable aléatoire de Bernoulli.
2. La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli de paramètre p.
3. Si X suit une loi de Bernoulli alors ............................
xi
P(X = x i )
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....
....
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....
....
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5.2.1 Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définition et propriété: 2
1. L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante
une épreuve de Bernoulli de paramètre p s’appelle un ............................ de paramètres .........
2. La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale ............................ au cours de ces n épreuves se nomme la .............................
On la note .........
Exemple 5
On lance un dé équilibré dix fois de suite et on s’intéresse au nombre X de fois où l’on obtient la face numéro 3 . La même
expérience, qui consiste à lancer un dé et à noter le numéro de la face obtenue, se répète dix fois de façon indépendante : la
variable aléatoire X qui compte le nombre de succès (c’est-à-dire le nombre de fois où l’on obtient la face numéro 3) suit la
loi binomiale de paramètres .............................
5.2.2 Quelques lois binomiales simples
Dans le cas où n = 2 ou n = 3, on peut modéliser la répétition de ces expériences à l’aide d’un arbre pondéré qu’on peut
construire intégralement :
La probabilité d’avoir un seul succès est P(X = 1). Les
issues formées d’un succès sont : SS et SS. Or
P(SS) = P(SS) = pq, donc P(X = 1) = .........
La probabilité d’avoir un seul succès est P(X = 1). Les
issues formées d’un succès sont : SSS et SSS et SSS. Or
P(SSS) = P(SSS) = P(SSS) = pq 2 , donc P(X = 1) = .........
5.3 Coefficients binomiaux et loi binomiale
5.3.1 Coefficients binomiaux
Lorsque X suit une loi binomiale, on a vu dans les cas n= 2 et n = 3, que, pour calculer la probabilité d’avoir k succès, on
commence par noter toutes les issues formées de k succès et de n - k échecs . D’après une propriété des arbres pondérés ,
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ces issues ont toutes la même probabilité ............................. Il est donc nécessaire d’en connaître le nombre. On s’intéresse
ainsi ............................ de l’arbre formé de k succès exactement (et donc de n - k échecs).
Définition:
µ ¶
n
(se lisant "k parmi n") est le
k
nombre de chemins réalisant k succès pour n répétitions dans l’arbre d’un schéma de Bernoulli.
Soit n un entier naturel non nul et k un entier compris entre 0 et n. Le coefficient binomial
Exemple :
µ ¶
2
= 2, car, lors de deux répétitions, il y a deux chemins avec un succès, ceux associés à SS et à SS.
1
Triangle de Pascal
5.3.2 Calcul pratique des coefficients binomiaux
Note :
1. Sur une calculatrice, il peut y avoir dépassement de capacité à partir de n = 330.
µ ¶
µ ¶
µ ¶
µ ¶
n
n
n
0
2.
= 1,
= n,
= 1 et par convention
=1
0
1
n
0
5.3.3 Formule générale de la loi binomiale
Si la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p , alors pour tout entier k compris entre 0 et n :
P(X = k) = ............................
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5.3.4 Calcul pratique de P(X = k) et P(X ≤ k)
Pour Casio, on saisit d’abord le nombre k de succès puis les paramètres n, p. Pour Texas Instruments, on saisit d’abord les
paramètres n, p puis le nombre de succès k.
Exemple : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n = 6 et p = 0, 5. Pour trouver P(X = 4), on
utilise la calculatrice en remplaçant n par 6, k par 4 et p par 0,5 : on trouve environ 0, 234.
Exploiter la loi binomiale
Méthode:
Quand une expérience se répète plusieurs fois de façon identique et indépendante, on introduit une variable aléatoire comptant le nombre de succès.
Dans une librairie, 30 % des livres sont primés, c’est-à-dire distingués par un prix littéraire. Un client achète cinq livres. On
suppose que les choix de ces livres sont indépendants. Quelle est la probabilité pour qu’exactement trois d’entre eux soient
des livres primés ?
Correction:
5.4 Représentation graphique de la loi binomiale et espérance
5.4.1 Représentation graphique de la loi binomiale
Représentation graphique de la loi binomiale
On représente la loi binomiale à l’aide d’un diagramme en bâtons. Le tableau ci-dessous montre des exemples de représentation pour n = 6 et trois valeurs différentes de p.
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Calculatrice
Pour les calculatrices en mode statistique, il faut d’abord remplir les listes en mettant dans la liste 1 (L1) les entiers de 0
jusqu’à n et dans la liste 2 (L2) les valeurs P(X = k) :
1. Casio : Menu STAT, saisir 0, 1, ..., n en liste 1 puis choisir DIST , puis BINM , Bpd et List ;
2. Texas : Touche stats puis choisir Edite, saisir 0, 1, n dans la colonne L1 puis se placer sur L2 et entrer : bi nomFd p(n, p, L1)
5.4.2 Espérance mathématique
Définition et propriété: 3
1. L’............................ de la loi binomiale de paramètres n et p est E(B(n, p)) =
.........
2. La ............................ de la loi binomiale de paramètres n et p est V(B(n, p)) = ........)
6 Savoir faire
6.1 Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes
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Méthode :
Pour construire un arbre pondéré, on construit d’abord les branches de la première épreuve, puis celles de la seconde épreuve.
Un avion possède deux moteurs identiques : la probabilité que chacun d’eux tombe en panne est 0, 001. On suppose que la
panne d’un moteur n’a aucune influence sur la panne de l’autre moteur.
Construire un arbre pondéré permettant de déterminer :
1. la probabilité que les deux moteurs tombent en panne ;
2. la probabilité qu’aucun moteur ne tombe en panne.
Correction:
6.2 Utiliser un arbre pondéré
Conseil :
On peut utiliser un arbre pondéré quand l’énoncé présente une expérience qui se répète de façon identique.
Un supermarché délivre une carte à gratter à chacun des passages de ses clients à la caisse : la probabilité de découvrir «
gagné » est 0, 05. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de « gagné» après deux passages en caisse. Déterminer la loi
de probabilité de X.
Correction:
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6.3 Loi binomiale
6.3.1 Reconnaître une situation de loi binomiale
Méthode:
Pour savoir si l’on est dans une situation de loi binomiale, on étudie si une expérience se répète de manière .............................
On considère un jeu de 32 cartes et on tire deux cartes de ce jeu. On s’intéresse à la variable aléatoire X associée au nombre
de trèfles obtenus.
1. La variable aléatoire X suit-elle une loi binomiale lorsque la première carte tirée n’est pas remise dans le jeu ? Si oui,
donner ses paramètres.
2. La variable aléatoire X suit-elle une loi binomiale lorsque la première carte tirée est remise dans le jeu ? Si oui, donner
ses paramètres.
3. La chaîne de production d’une usine fabrique 10 000 chemises par jour. La probabilité pour qu’une chemise soit jugée
sans défaut est 0,9.0n extrait de cette production un échantillon de taille 10. Le nombre de chemises de la production
est suffisamment grand pour que l’on puisse assimiler ce tirage à un « tirage avec remise ». On appelle Y la variable
aléatoire comptant le nombre de chemises sans défaut dans cet échantillon. Y suit-elle une loi binomiale ?Justifier.
Correction:
6.3.2 Utiliser la loi binomiale
Un sac contient 6 boules bleues et 4 boules rouges. On tire successivement et avec remise trois boules du sac. Soit X la variable
aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées.Quelle est la loi suivie par X ?
Remarque:
Ne pas confondre l’événement "X = 1" avec la liste de résultats "SSS" par exemple, il faut prendre en compte toutes les listes
qui contiennent un seul succès...il y en a 3 ici !
Correction:
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6.3.3 Exploiter la loi binomiale
Méthode : Quand une expérience se répète plusieurs fois de façon identique et indépendante, on introduit une variable
aléatoire comptant le nombre de succès.
Dans une librairie, 30 % des livres sont primés, c’est-à-dire distingués par un prix littéraire. Un client achète cinq livres. On
suppose que les choix de ces livres sont indépendants. Quelle est la probabilité pour qu’exactement trois d’entre eux soient
des livres primés ?
Correction:
6.4 Calculer
6.4.1 Calculer des probabilités
Calculer des probabilités
Méthode:
Pour déterminer P(a ≤ X ≤ b), on calcule P(X ≤ b) − P(X ≤ (a − 1)).
La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,3.
1. Déterminer, à 10−4 près :P(X = 25), P(X ≤ 22), P(X > 14).
2. Déterminer, à 10−4 près : P(10 ≤ X ≤ 20).
3. Déterminer, à 10−4 près : P(10 < X ≤ 20).
Correction:
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6.4.2 Construire un tableau de probabilité
Construire un tableau de probabilité
Conseil : Utiliser la calculatrice en mode TABLE permet d’obtenir toutes les probabilités en ne tapant qu’une seule fois la
syntaxe pour obtenir P(X = k).
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0, 7.
1. Déterminer la probabilité de l’événement "X = 3".
2. – Construire le tableau donnant la loi de X.
– En déduire l’espérance mathématique de X.
3. Représenter graphiquement cette loi.
Correction:
6.4.3 Calculer l’espérance mathématique d’une loi binomiale
Calculer l’espérance mathématique d’une loi binomiale
Il est inutile de revenir à la formule définissant l’espérance mathématique quand on a une loi binomiale.
Une entreprise est spécialisée dans la fabrication en série d’un article. Un contrôle de qualité a montré qu’un article produit par cette entreprise était défectueux avec une probabilité égale à 0,05. Une grande surface reçoit 800 articles de cette
entreprise. Soit X la variable aléatoire qui, à cette livraison, associe le nombre d’articles défectueux et donc invendables. Le
nombre d’articles est suffisamment grand pour que l’on puisse assimiler cette épreuve à un tirage avec remise.
1. Définir la loi de X.
2. Calculer l’espérance mathématique de X. Quel est le sens de ce nombre ?
Correction:
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7 Intervalle de fluctuation
Intervalle de fluctuation d’une fréquence
On a vu en Seconde que si p est la proportion d’un caractère dans une population (avec 0, 2 ≤ p ≤ 0, 8),
# alors pour un échan"
1
1
tillon de taille n (avec n ≥ 25), la fréquence f du caractère dans l’échantillon appartient à l’intervalle p − p , p + p
avec
n
n
une probabilité d’au moins 0,95.
On verra dans les chapitres qui suivent la précision de cet intervalle peut être améliorée en utilisant la loi binomiale et plus
généralement la loi normale. On établira en, particulier le résultat suivant
Propriété:
L’intervalle de fluctuation au coefficient 95 % de la fréquence correspondant
à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de
"
#
a b
;
, où a est le plus petit entier tel que P(X < a) > 0, 025 ,
taille n, d’une variable aléatoire X suivant une loi binomiale, est
n n
et b le plus petit entier tel que P(X ≤ b) ≥ 0, 975.
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