1 Vocabulaire 2 Variable aléatoire

Cours Probabilités : rappels de première TS2
1 Vocabulaire
Définition:
Une ......................est une expérience qui peut conduire à plusieurs ......................, appelées encore ...................... ou ......................,
mais dont on ne peut pas prévoir le résultat avant que l’expérience soit réalisée.
Définition:
1. ...................... associé à une expérience aléatoire est l’ensemble Ωdes résultats ou éventualités possibles.
2. On appelle ...................... tout sous-ensemble de l’univers.
3. Un ...................... est un événement formé d’une ...................... éventualité.
4. Si, à l’issue d’une expérience aléatoire on obtient l’éventualité Ωou si un événement A contient ω, on dit que .......................
Incompatibilité, complémentarité
Définition:
1. Des événement A et B sont ...................... (ou ......................) sont des événements tels que .......................
2. Des événements A et B ...................... (ou ......................) sont des événements tels que A ∩B=...................... et A ∪B=
....................... On note alors .......................
3. A ∪B est l’événement .......................
4. A ∩B est l’événement ......................
2 Variable aléatoire
Définition:
Soit E l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. On définit une variable aléatoire X sur E quand on associe .......................
On dit que l’ensemble de ces réels est l’ensemble des .......................
Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer un dé équilibré.
1. L’ensemble des issues peut être modélisé par : E ={......................}.
2. On décide la règle du jeu suivante : on gagne 1esi la face du dé qui sort est
la face 1,2 ou 3, on gagne 3esi c’est la face 4, et on perd 2esi c’est la face 5
ou 6.
3. Cette règle du jeu définit la ...................... sur E qui associe 1 à l’issue « 1 », 1
à l’issue « 2 »,1 à l’issue « 3 »,3 à l’issue « 4 », —2 à l’issue « 5 » et à l’issue « 6
».
4. L’ensemble des valeurs prises par X est ici E0={......................}.
5. Une variable aléatoire est une fonction de E dans R, puisque l’on associe à
chaque issue de E un .......................
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Événements liés à une variable aléatoire
Définition:
Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers E. L’ensemble des valeurs prises par X est : E0={x1;x2; .....; xr} où les valeurs
sont des ...................... souvent rangées par ordre croissant. Le nombre xi, est associé à une ou plusieurs issues de E.
1. L’événement «X =xi» est ...................... auxquelles on associe le réel .......................
2. L’événement «X ≥xi» est ...................... auxquelles on associe un réel supérieur ou égal à .......................
Exemple 1
Dans l’exemple précédent.
1. l’événement « X =3 » est formé des issues ...................... : c’est l’événement ...................... de E.
2. L’événement « X >0» est formé des issues ...................... car on associe 1 aux issues « 1 »,« 2 » et « 3 », et on associe 3 à
l’issue « 4 » : c’est donc l’événement {......................}.
2.1 Savoir Faire
2.1.1 Définir une variable aléatoire
Méthode :
Pour déterminer l’événement associé à une valeur d’une variable aléatoire, on cherche les issues donnant cette valeur.
Un sac contient un jeton marqué 1 et un jeton marqué 2. On tire un jeton, on note son numéro, on le remet dans le sac, puis
on effectue de même un second tirage et on fait la somme des deux nombres obtenus. Cette somme définit une variable
aléatoire S.
1. Déterminer l’ensemble E des issues possibles de cette expérience, puis l’ensemble des valeurs prises par S.
2. Quel est l’événement de E associé à l’événement S =3 ?
3. Quel est l’événement de E associé à l’événement S >2 ?
Correction:
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3 Loi de probabilité
Définition:
La probabilité de l’événement « X =xi» est la probabilité de l’événement formé de .......................
Exemple 2
Si l’on reprend l’exemple du dé , le nombre −2 est associé aux issues « 5» et « 6 », donc la probabilité de l’événement « X =−2
» est celle de l’événement {5;6} de E. Par équiprobabilité dans E : P(X =−2) =...................... =...................... =......................
Définition:
Soit X une ...................... définie sur l’univers fini E et E’ l’ensemble des valeurs ....................... La loi de probabilité de la va-
riable aléatoire X est la donnée de ......................, où ...................... prend toutes les valeurs de .......................
On présente souvent ces données sous la forme d’un tableau :
xix1x2x3... ... xr
P(X =xi)p1p2p3... ... pr
On obtient alors un tableau similaire à celui présentant les fréquences pour une série statistique.
3.1 Savoir Faire
3.1.1 Déterminer la loi de probabilité d’une VA
Méthode :
Pour déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire X, on détermine d’abord les valeurs prises par X, puis les proba-
bilités de ces valeurs.
Un jeu comporte huit cartes marquées 7, 8, 9,10, V, D, R et As. On tire une carte au hasard : la variable aléatoire X prend la
valeur 10 si l’on tire 7,8,9 ou 10 ; la valeur 15 pour V,D ou R et la valeur 20 pour l’As. Présenter dans un tableau la loi de
probabilité de cette variable aléatoire.
Correction:
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3.1.2 Utiliser une loi de probabilité
Méthode :
P(N >a) peut être calculé directement, ou bien à l’aide de l’événement contraire ......................
On appelle N la variable aléatoire donnant le nombre de caisses en service à l’ouverture d’un supermarché. La loi de N est
donnée par le tableau ci-dessous.
n12345678910
P(N =n) 0,04 0,06 0,14 0,18 0,17 0,15 0,12 0,09 0,04 a
1. Déterminer le réel a.
2. Calculer P(N ≥8), puis P(N >2).
3. Quelle est la probabilité qu’il y ait moins de quatre caisses en service un jour donné ?
Correction:
4 Espérance mathématique
Propriété:
Somme des probabilités P(X =xi)
P(X =x1) +P(X =x2)+. .. +P(X =xr)=...................... ou p1+p2+. .. +pr=......................
En effet, les événements « X =xl», « X =x2»,....« X =xr» sont ...................... et leur réunion est .......................
Cela explique que la somme de leurs probabilités est égale à .......................
Cette propriété permet :
1. de ...................... trouvés lors de la recherche d’une loi de probabilité ;
2. de déterminer ......................à partir des autres sans avoir à calculer de probabilité.
Espérance mathématique d’une variable aléatoire L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X prenant les valeurs
x1,x2, ..., xravec les probabilités pl,p2, ...pr, est le nombre réel, noté E(X), donné par : E(X) =......................
On peut aussi l’écrire E(X) =.......................
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Interprétation
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X peut s’interpréter comme ......................des valeurs prises par X lorsque
l’expérience aléatoire est répétée .......................
Remarque:
1. Dans un jeu de hasard, l’espérance mathématique sera liée à ...................... du joueur (ou de l’organisateur du jeu).
2. La formule donnant E(X) est semblable à celle de la ...................... obtenue à partir des .......................
3. E(X) a ...................... que celle des valeurs xi.
Calculatrice ou Tableur
4.1 Savoir Faire
4.1.1 Calculer une espérance mathématique
Conseil :
Quand il y a peu de données, on peut utiliser la formule du cours. Sinon, l’usage de la calculatrice est recommandé.
On lance un dé équilibré : si la face supérieure est 1,2 ou 3, on perd 5e, si la face supérieure est 4 ou 5, on gagne 2e, sinon on
gagne 10e. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur.
1. Calculer E (X).
2. Ce jeu est-il équitable ?
3. Utiliser la calculatrice et le tableur pour calculer E (X).
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