2001-2005

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UNIVERSITE DE LIEGE
Facult´e des Sciences Appliqu´ees
QUESTIONS POSEES
AUX
EXAMENS D’ADMISSION
2001 - 2005

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Examens de 2001 3
EXAMENS DE 2001
JUILLET 2001
ALGEBRE
1. Discuter et r´esoudre le syst`eme
ax +y+z=a
x+ay +az = 1
x−y+ 2z=a
o`u aest un param`etre r´eel.
2. R´esoudre l’in´equation
rx
x2−1≤1
√1−x(x∈R).
3. Si z1, z2, z3d´esignent les trois racines du polynˆome
24z3−26z2+ 9z−1,
calculer 1
z2
1
+1
z2
2
+1
z2
3
.
Suggestion : identifier le polynˆome et sa d´ecomposition en facteurs pour obtenir
la somme, le produit et la somme des produits 2 `a 2 des racines.

4Examens de 2001
ANALYSE
1. Un commer¸cant d´esire r´ealiser un emballage sans couvercle (avec fond) ayant la
forme d’un cylindre droit `a base elliptique. Les designers lui conseillent d’utiliser
une base elliptique d´ecrite par
4x2+y2≤a2
o`u a > 0 est un param`etre `a d´eterminer. Soit hla hauteur du cylindre droit.
a) Exprimer la surface Sde la base elliptique sous forme d’une int´egrale et
montrer qu’elle vaut πa2
2.
b) D´eterminer les param`etres aet hcorrespondant `a l’emballage de volume
Vfix´e pr´esentant la surface ext´erieure (surface lat´erale + fond) minimale.
Justifier que le minimum obtenu est absolu.
Le p´erim`etre de la base elliptique est donn´e par
P= 4aZπ/2
0r1−3
4sin2θ dθ = 4απ2a
o`u αest approximativement ´egal `a 0.49.
2. D´eterminer les limites suivantes en discutant les cas o`u le param`etre αest n´egatif,
nul, positif :
a) lim
x→0+
eα/x sin αx
x2,
b) lim
x→0−
eα/x sin αx
x2,
c) lim
x→0
eα/x sin αx
x2,
d) lim
x→+∞
eα/x sin αx
x2,
e) lim
x→−∞
eα/x sin αx
x2.

Examens de 2001 5
TRIGONOMETRIE ET CALCUL NUMERIQUE
1. V´erifier les identit´es suivantes :
tg 45o−a
2=1−sin a cos a=cos a 1 + sin a.
2. Soient
m2= cos2β+ sin2αsin2β
n2= cos2α
p2= sin2β+ sin2αcos2β
et les ´equations
4m2=n2=p2.
On demande de calculer les valeurs des angles αet βet de les repr´esenter sur le
cercle trigonom´etrique.
3. Un pentagone volontairement d´eform´e est d´efini comme sur la figure ci-dessous.
γ
α
β
µ
δ
Donn´ees :
a= 10m
b= 30m
c= 40m
d= 50m
α= 45o
β= 60o
µ= 90o
Calculer γ,δ, (α+β+γ+δ), le p´erim`etre et la surface du pentagone.