Exercice. 1. Calculer l`espérance et la variance des variables

ENS de Lyon TD 0 : un exercice de probabilités 12 septembre 2014
Prépa agrég
Exercice.
1. Calculer l’espérance et la variance des variables aléatoires que vous connaissez.
Dans les questions qui suivent, Xest une variable aléatoire réelle L2.
2. Montrer que Xest de variance nulle si et seulement si sa loi est une masse de Dirac
(elle est concentrée sur un singleton).
3. Prouver que Var(X) = E[X2]−E[X]2. Cette formule est à connaître.
4. Regarder la formule Var(X) = E[(X−E[X])2]droit dans les yeux jusqu’à voir
les variables muettes qui devraient apparaître si on écrivait les intégrales et les variables
d’intégration.
5. Montrer que a7→ E[(X−a)2]est minimisée en E[X].
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ENS de Lyon Exercices de probabilités 26 septembre 2014
Prépa agrég
Rappelons-le : ce n’est pas parce que des résultats sont proposés en exercice qu’il ne
faut pas les connaître. En l’occurrence, à l’exception des quatre derniers, tous les exercices
de cette fournée doivent être faits et les résultats qui y sont démontrés retenus.
Exercice fil rouge. Dressez, sur une feuille à part que vous conserverez, un tableau à
double entrée qui contiendra toutes les informations que vous aurez accumulées sur les lois
usuelles (définition, espérance, variance, fonction génératrice, propriétés particulières. . .).
Calculez les espérances et variances de toutes les lois usuelles.
Définition. Soit p∈[0,1[. La loi géométrique de paramètre pest la probabilité sur N
donnant masse pk×(1 −p)au point k.
Exercice 1 Soit (Xn)une suite infinie de variables aléatoires indépendantes de loi de
Bernoulli de paramètre p∈[0,1[.
1. Vérifier que l’application associant à ω∈Ωle plus petit indice ntel que Xn(ω) = 0
est une variable aléatoire (à valeurs dans N∪ {∞}).
2. Prouver que sa loi est une géométrique de paramètre p.
Définition. La loi binomiale de paramètres n∈Net p∈[0,1] est la mesure sur
{0, . . . , n}donnant masse n
kpk(1 −p)n−kau point k.
Exercice 2 Soient X1, . . . , Xndes variables aléatoires L2définies sur un même espace
probabilisé.
1. On sait que E[PiXi] = PiE[Xi]. Montrer qu’on n’a pas systématiquement une telle
égalité pour la variance.
2. Prouver que, si les Xisont indépendantes, on a
X
i
Var(Xi) = Var X
i
Xi!
3. Montrer que si X1, . . . , Xnsont des variables aléatoires indépendantes de Bernoulli
de paramètre p, alors leur somme suit une loi binomiale de paramètres net p.
4. Utiliser les questions précédentes pour calculer sans peine l’espérance et la variance
d’une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres net p.
5. Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes, de loi respective Binom(n, p)
et Binom(m, p). Calculer, en utilisant une question précédente, la loi de X+Y.
6. Retrouver ce dernier résultat par les fonctions génératrices.
Définition. Une variable aléatoire réelle est dite exponentielle de paramètre λ∈R∗
+
si sa loi est λe−λx1x>0dx.
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Exercice 3 Soit Xune variable aléatoire exponentielle de paramètre 1.
1. Calculer l’espérance et la variance de X.
2. Soit α > 0. Calculer la loi de αX. En déduire l’espérance et la variance d’une
variable aléatoire exponentielle de paramètre quelconque.
Dans ce qui suit, Yest une variable aléatoire exponentielle de paramètre λ > 0.
3. Calculer la fonction de répartition de Y. Utiliser cela pour redémontrer que αX est
une variable aléatoire de loi exponentielle dès que α > 0.
4. Montrer que P[Y > s +t|Y > s] = P[Y > t]. On dit que Ya la propriété de perte
de mémoire. Montrer, réciproquement, que si une variable aléatoire à valeurs dans R∗
+a
la propriété de perte de mémoire, alors c’est une variable aléatoire exponentielle
5. Soit Zune variable aléatoire exponentielle de paramètre µ > 0. On la suppose
définie sur le même espace probabilisé que Y. On suppose de plus ces deux variables
aléatoires indépendantes. Calculer la loi de la variable aléatoire min(Y, Z).
Définition. On appelle loi de Poisson de paramètre λ > 0la probabilité sur Ndonnant
masse e−λ·λk
k!àk.
Exercice 4 Soit Xune variable aléatoire de Poisson de paramètre λ.
1. Calculer l’espérance et la variance de X.
2. Calculer sa fonction génératrice. Retrouver de la sorte les résultats de la première
question.
3. Soit Yune variable aléatoire de Poisson de paramètre µ, indépendante de X. Cal-
culer la loi de X+Y.(On pourra s’aider de la question précédente.)
Exercice 5 (convolée et somme indépendante)
1. Se rappeler la définition de la convolée de deux mesures sur R.
2. Vérifier que si Xet Ysont indépendantes, de lois respectives µet ν, alors X+Ya
pour loi la convolée µ∗ν.
3. Si vous avez peur, écrivez la formule dans le cas discret où les lois de Xet Ysont
des combinaisons linéaires finies de masses de Dirac.
Exercice 6 (calcul de l’intégrale de Gauss et lois normales)
1. En effectuant un changement de variables polaire, calculer RR2e−x2+y2
2dλ2.(On dé-
signe par λ2la mesure de Lebesgue sur R2.)
2. En déduire la valeur de RRe−x2/2dx.
3. En déduire que, si m∈Ret σ > 0, alors la mesure e−(x−m)2/2σ2
√2πσ2dxsur Rest
de probabilité. C’est la loi normale ou gaussienne de moyenne met de variance σ2.
Vérifier qu’elle porte bien son nom, à savoir que sa moyenne vaut met sa variance σ2.
4. Vérifier que la somme de deux variables aléatoires gaussiennes indépendantes est
aussi gaussienne (de paramètres que vous pouvez deviner à l’avance).
5. Soit (α, β)∈R2. Soit Xune variable aléatoire gaussienne centrée réduite, i.e.
de paramètres m= 0 et σ2= 1. Calculer la loi de αX +β. Faire le rapprochement avec
la question 3.
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Exercice 7 (formule de Bayes) Soit Ω = FN
i=1 Aiune partition finie de l’univers en
événements de mesure strictement positive. Soit Bun événement lui aussi de mesure
strictement positive. Exprimer les P[Ai|B]en fonction des P[B|Aj]et P[Aj].
Exercice 8 (formule de la baignoire) 1Soit Xune variable aléatoire à valeurs positives.
Montrer que E[X] = RR+P[X≥x]dx, et que, dans le cas où les valeurs de Xsont entières,
on peut écrire E[X] = Pn≥1P[X≥n].
Exercice 9 Soit µune mesure de probabilité sur Net fla fonction génératrice de µ
restreinte à l’intervalle ]−1,1[. Soit Xune variable aléatoire de loi µ. Soit enfin f(k)la
dérivée kème de f. Démontrer que
f(k)(1 −)−→
n→∞
E[X(X−1) . . . (X−k+ 1)] ∈[0,+∞]
Ceci montre que les moments E[Xk]de la loi µse calculent assez facilement à partir de sa
fonction génératrice.
Exercice 10 Montrer que toute variable aléatoire réelle à densité est sans atome, mais
que la réciproque est fausse.
Exercice 11 Soit (Xi)1≤i≤∞ une suite indépendante de variables aléatoires uniformé-
ment tirées dans Z/2Z.
1. Montrer que X1et X2+X3sont indépendantes.
2. Montrer que X1et X1+X2sont indépendantes.
3. Notons T(ω)l’infimum des n∈Ntel que Xn(ω) = 0. Montrer que
XT:ω7→ XT(ω)+1(ω)
est une variable aléatoire, et qu’elle est indépendante de T.
Exercice 12 On considère le jeu des chaises musicales à njoueurs. A combien de tours
en moyenne un joueur participe-t-il ? Précisez votre modélisation du problème et le sens
que vous attribuez à « en moyenne ».
Exercice 13 (ruine du joueur, pas évident) Soit (Xi)une suite de v.a.i.i.d. de loi δ−1+δ1
2.
Soit (M, N)∈N2. Posons Sn:= M+Pn
i=1 Xi. Notons Tle premier instant où Sn6∈
{1, . . . , M +N−1}. Montrer que Test presque sûrement fini et calculer P[ST= 0].
(Ce problème revient à calculer la probabilité de ruine d’un joueur au jeu qui suit. Le joueur
a initialement Mjetons et la banque N. À chaque étape, si le jeu n’est pas terminé, on tire à
pile ou face pour déterminer qui prendra un jeton à l’autre. Le jeu s’arrête quand le joueur ou
la banque a tous les jetons ; l’autre est ruiné.)
1. appellation non-standard
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Exercice 14 (plus difficile) 2Soient X1, . . . , Xndes variables aléatoires réelles indépen-
dantes identiquement distribuées, de loi sans atome. On pose
Ak:= {ω:∀i < k, Xk(ω)> Xi(ω)}
On pourra penser les données du problème de la sorte : un athlète dont la valeur in-
trinsèque est constante fait nsauts en longueurs ; les Xicorrespondent à leur longueur.
L’événement Aks’interprète alors comme « l’athlète, au kème essai, a battu son record ».
Montrer que les Aksont indépendants.
2. La correction est dans le livre de Durrett ; il s’agit de l’exemple 6.2, page 51, dans la troisième
édition.
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