MATHS SUP PTSI Colles Derivation 1 Soient / et g deux fonctions

MATHS SUP Lycée Laetitia-Bonaparte Ajaccio
PTSI Colles Derivation
1Soient fet gdeux fonctions dérivables en un point a.
a. Montrer que f+gdérivable en aet (f+g)0(a) = f0(a) + g0(a).
b. Montrer que fgdérivable en aet (fg)0(a) = f0(a)g(a) + f(a)g0(a).
c. Montrer que si f(a)6= 0 alors 1
fest dérivable en aet 1 f0(a) = f0(a)
(f(a))2.
2Préciser l’ensemble de dérivabilité de fet calculer f0:
a. f(x) = ax+b
c3;b. f(x) = (3 + 2x2)3;c. f(x) = 1 2cos x;d. f(x) = ln jx2+ 3x4j;e.
f(x) = sin3(x3);f. f(x) = ln3(2x1);
3Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes :
a. f(x) = p1+xp1x
xsi x6= 0 et f(0) = 1;
b. f(x) = xsin 1
xsi x6= 0 et f(0) = 0;
c. f(x) = xln xsi x6= 0 et f(0) = 0;
d. f(x) = 1xsi x0
exsi x > 0.
4 a. Démontrer que la dérivée d’une fonction paire est impaire et la dérivée d’une fonction
impaire est paire.
b. Démontrer que la dérivée d’une fonction périodique est périodique.
5Montrer que pour tout réel x > 0 : xx3
6<sin x<xet que : tan x>x+x3 3.
6Montrer que pour tout réel xde l’intervalle ]0;1[ on a :
xln x
x211 2.
7Etudier la fonction fdé…nie par f(x) = arcsin2px
1+x(préciser notamment l’ensemble de
continuité, de dérivabilité et les prolongement par continuité possible).
8Etudier la fonction fdé…nie par f(x) = arccos 1x2
1+x2(préciser notamment l’ensemble
de continuité, de dérivabilité et les prolongement par continuité possible).
9Trouver une relation simple entre les fonctions arcsin px
2et arccos (1 x).
10 Etudier la fonction fdé…nie par f(x) = arcsin x+ arcsin x
2.
Résoudre l’équation f(x) = 
4.
11 Soit fla restriction de la fonction x7! 1
sin(x)à l’intervalle 0; 2. Montrer que fadmet
une application réciproque f1. Donner des propriétés de f. Etudier la dérivabilité de f.
Calculer la dérivée de f1.
12 Montrer que l’équation ln x+1
x= 0 a une unique solution dans R.
1

Montrer que 23
2;2.
13 Soit fune fonction dérivable en a.
Montrer que la fonction 'dé…nie par : '(x) = xf (a)af(x)
xaa une limite …nie au point a.
14 Soit fune fonction de classe C1sur [a; b]telle que :
f(b)f(a)
ba=M
où Mest la borne supérieure de f0sur [a; b].
Montrer que fest une fonction a¢ ne
(indication : considérer la fonction 'dé…nie par '(x) = f(x)(Mx +b)avec un réel b
convenable).
15 a. Montrer que pour tout réel x > 0et tout entier naturel non a : xx2
2ln (1 + x)
x.
En déduire que :
8x2R+;8n2N;x
nx2 2n2ln 1 + x nx n.
b. Montrer que pour tout réel x > 0et tout entier naturel non a :
0ex1 + x
nnexx2 2n:
16 Calculer la dérivée n-ième des fonctions :
a. xn1ln x;b. 1x
1+x;c. sin2x: cos3x;d. x2(1 + x)n.
2