TD15 - CPGE Brizeux

Lycée Auguste Brizeux PCSI B
Feuille de TD 15. Dérivation
Exercice 1. Soit fune fonction dérivable sur R.
1. Montrer que fest paire si et seulement si f0est impaire.
2. Montrer que si fest impaire, f0est paire. Que dire de la réciproque ?
3. Montrer que si fest périodique, f0est périodique. Que dire de la réciproque ?
Exercice 2. Soient fet g:I→Rdérivables en a∈I. Déterminer les limites suivantes :
lim
x→0
f(x+a)−f(a−x)
2xet lim
x→a
f(x)g(a)−f(a)g(x)
x−a
Exercice 3. Donner le domaine de définition, le domaine de dérivabilité et calculer la
dérivée de chacune des fonctions fsuivantes :
a. f(x) = q(x+ 1)3b. f(x) = x
√2−x
c. f(x) = arccos(x) + arccos(−x)d. f(x) = arctan x
a+ ln sx−a x+aoù a∈R∗
Exercice 4. Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction fdéfinie sur [0,3] par :
f(x) = 
−x2
2si x∈[0,1[
1
2−xsi x∈[1,2]
x2−5x+9
2si x∈]2,3]
Exercice 5. Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = e−x
1+e−x.
1. Montrer que fréalise une bijection de Rsur un intervalle Ique l’on précisera.
2. Etudier la dérivabilité de sa réciproque.
Exercice 6. Soit hla fonction définie par h(x) = ln (1 + e−x).
1. Déterminer le domaine de définition de h.
2. La fonction hest-elle de classe C∞sur son domaine de définition ?
3. Démontrer que hadmet un unique point fixe α, et que α∈[0,1].
4. Montrer que, pour tout x∈[0,+∞[,|h(x)−α|61
2|x−α|.
Exercice 7. Soit fla fonction sinus cardinal : pour x6= 0,f(x) = sin x
x, et f(0) = 0.
Étudier la continuité et la dérivabilité de f.
Exercice 8 (Fonction cotangente).On considère la fonction
f: ]0, π[−→ R
x7−→ cos x
sin x
1. Montrer que fest une bijection de classe C∞.
2. Etudier la dérivabilité de la réciproque gde f, et donner une expression de g0(x), pour
tout réel x∈Ren lequel gest dérivable.
1

3. Calculer alors la fonction dérivée de arctan +g.
Que peut-on en conclure ?
Exercice 9. Quel est le rectangle de plus grande surface pour un périmètre donné ?
Exercice 10. Soit fune fonction dérivable sur Rdont la dérivée ne s’annule jamais.
Montrer que fne peut être périodique.
Exercice 11. Soient aet bdeux réels tels que a<b. Montrer que, si fest une fonction
de classe C1sur [a, b], alors fest lipschitzienne sur [a, b].
Exercice 12. Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = (1 + xsi x>0
exsi x < 0.
Démontrer que fest de classe C1sur R, et n’est pas de classe C2sur R.
Exercice 13. Soit n∈N∗.
1. Calculer, si elle existe, la dérivée n-ième de la fonction fdéfinie par f(x) = x2(1+x)n.
2. Calculer, si elle existe, la dérivée n-ième de la fonction gdéfinie par g(x) = x2e−2x.
Exercice 14. Etant donnés deux nombres réels aet btels que a < b et n∈N∗, on
considère une fonction fdéfinie sur [a, b],nfois dérivable et possédant n+ 1 points
d’annulation distincts.
1. Montrer que f0admet au moins npoints d’annulation distincts sur [a, b].
2. Montrer qu’il existe c∈]a, b[tel que f(n)(c)=0.
Exercice 15. Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = x2sin 1
xsi x6= 0 et f(0) = 0.
1. fest-elle de classe C0sur R?
2. fest-elle dérivable sur R?
3. fest-elle de classe C1sur R?
Exercice 16 (Théorème de Darboux).Soit f: [a, b]→Rdérivable. On souhaite montrer
que f0vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.
1. Supposons f0(a)≥0et f0(b)≤0, montrer qu’il existe c∈[a, b]tel que f0(c)=0.
2. Reprendre la question précédente si f0(a)≤0et f0(b)≥0.
3. Montrer que pour tout γ∈]f0(a), f0(b)[, il existe c∈]a, b[tel que f0(c) = γ.
4. Montrer qu’il existe des fonctions non continues vérifiant la propriété des valeurs in-
termédiaires.
Exercice 17 (Série harmonique). 1. Démontrer que, pour tout x > 0,1
x+ 1 6ln(x+
1) −ln x61
x.
On pourra utiliser les accroissements finis.
2. En déduire que la suite de terme général un=
n
X
k=1
1
kdiverge vers +∞.
3. On note, pour tout n∈N∗,un=
n
X
k=1
1
k.
Montrer que, pour tout n∈N∗,ln(n+1) 6un61+ln(n), et en déduire un équivalent
simple de la suite (un).
2

Exercice 18. On considère l’application définie sur ]0,e−1[∪]e−1,+∞[par f(x) =
x
ln(x)+1.
1. a. Montrer que fest prolongeable par continuité en 0. Ce prolongement est-il déri-
vable ?
b. Etudier les variations de fet tracer l’allure de sa représentation graphique.
2. Résoudre l’équation f(x) = x.
3. Soit (xn)n∈Nla suite définie par son premier terme x0= 2 et par la relation de récur-
rence xn+1 =f(xn)(pour tout n∈N).
a. Etudier sur [0,+∞[la fonction g:x7−→ x
(x+ 1)2. En déduire que, pour tout
x∈]1,+∞[,06f0(x)61
4.
b. Montrer que, pour tout n∈N,|xn+1 −1|61
4|xn−1|.
c. En déduire que, pour tout n∈N,|xn−1|61
4n
.
Vérifier que (xn)n∈Nconverge et donner sa limite.
3