Semaine 17

PCSI1
PROGRAMME DE COLLE n˚17
2016-2017
Semaine n˚17 du 30 janvier au 04 février 2017
Dérivation
∙ Dérivabilité, nombre dérivé. Liens avec la continuité, l’existence d’un développement limité
d’ordre un. Dérivabilité à droite, à gauche. Dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée.
Opérations (combinaison linéaire, produit, quotient, composée, réciproque).
∙ Extremum local : condition nécessaire si dérivabilité. Théorème de Rolle, égalité des accroissements finis, inégalité des accroissements finis.
∙ Caractérisation de la monotonie d’une fonction dérivable sur un intervalle.
∙ Théorème de la limite de la dérivée :
𝑓 (𝑥) − 𝑓 (𝑎)
« si 𝑓 est continue sur 𝐼, dérivable sur 𝐼 ∖ {𝑎}, si 𝑓 ′ (𝑥) −→ ℓ ∈ ℝ alors
−→ ℓ ∈ ℝ».
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥−𝑎
Conséquence : « si 𝑓 est 𝐶 0 sur 𝐼, 𝐶 1 sur 𝐼 ∖ {𝑎}, si 𝑓 ′ (𝑥) −→ ℓ ∈ ℝ (finie) alors 𝑓 est 𝐶 1 sur
𝑥→𝑎
𝐼 et 𝑓 ′ (𝑎) = ℓ »
∙ Fonctions de classe 𝐶 𝑘 , 𝐶 ∞ . Opérations. Formule de Leibniz (dérivée 𝑛ième d’un produit de
deux fonctions 𝐷𝑛 ou 𝐶 𝑛 ).
∙ Brève extension aux fonctions 𝑓 : 𝐼 ⊂ ℝ → ℂ.
Les entiers naturels - Récurrences - Sommes doubles
∙ Multiples et diviseurs d’un entier naturel. Théorème de la division euclidienne dans ℕ.
∙ PGCD de deux entiers naturels non nuls. PPCM.
∙ Nombres premiers. Existence et unicité de la décomposition d’un entier 𝑛 ≥ 2 en produit de
facteurs premiers.
∙ Principes de récurrence : simple, double, forte.
∙ Relation d’équivalence. Classe d’équivalence.
∙ Calculs de sommes doubles (sur un rectangle, sur un triangle).
Exercices
Exercice 1
Montrer : ∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 , ∣ sin(𝑥) − sin(𝑦)∣ ≤ ∣𝑥 − 𝑦∣ et ∣1 − cos(𝑥)∣ ≤ ∣𝑥∣.
Exercice 2
Montrer, pour tout 𝑥 ∈]0, +∞[, sh(𝑥) > 𝑥.
Exercice 3
1
1
Pour tout 𝑥 > 0 :
≤ ln(𝑥+1)−ln(𝑥) ≤ . Déduire :
𝑥+1
𝑥
(
𝐻𝑛 =
𝑛
∑
1
𝑘=1
𝑘
)
∼
𝑛→+∞
ln(𝑛).
Exercice 4 Soit 𝑓 (𝑥) = 𝑒−𝑥/2 , 𝑢0 = 0 et pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛+1 = 𝑓 (𝑢𝑛 ) = 𝑒−𝑢𝑛 /2 . Montrer
que 𝑓 possède un et un seul point fixe ℓ, et ℓ ∈ [0, 1]. Montrer(∣𝑓)′ (𝑥)∣ ≤ 21 pour tout 𝑥 ∈ [0, 1].
𝑛
Montrer : pour tout 𝑛 ∈ ℕ, ∣𝑢𝑛+1 − ℓ∣ ≤ 21 ∣𝑢𝑛 − ℓ∣, puis ∣𝑢𝑛 − ℓ∣ ≤ 21 . Comment obtenir une valeur
approchée de ℓ à 10−3 près ?
Exercice 5
Calcul de la dérivée 𝑛ième de 𝑓 avec 𝑓 (𝑥) = (𝑥2 − 𝑥 + 1)𝑒−3𝑥 .
Exercice 6
Preuve de l’existence du quotient et du reste dans la division euclidienne dans ℕ.
Exercice 7
Preuve de l’unicité du quotient et du reste dans la division euclidienne dans ℕ.
Exercice 8 Sur ℳ𝑛 (ℝ), on définit la relation «𝐴𝑠𝐵» s’il existe une matrice 𝑃 inversible (i.e
𝑃 ∈ GL𝑛 (ℝ)) telle que 𝐴 = 𝑃 𝐵𝑃 −1 . Montrer que cela crée une relation d’équivalence sur ℳ𝑛 (ℝ).
∑ 𝑖
Exercice 9 Calcul de la somme double 𝑆 =
(avec 𝑛 ∈ ℕ∗ ).
𝑗
1≤𝑖≤𝑗≤𝑛
–1/1–
Lycée Faidherbe, Lille