Semaine 17

PCSI1 PROGRAMME DE COLLE n˚17 2016-2017
Semaine n˚17 du 30 janvier au 04 février 2017
Dérivation
∙Dérivabilité, nombre dérivé. Liens avec la continuité, l’existence d’un développement limité
d’ordre un. Dérivabilité à droite, à gauche. Dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée.
Opérations (combinaison linéaire, produit, quotient, composée, réciproque).
∙Extremum local : condition nécessaire si dérivabilité. Théorème de Rolle, égalité des accroisse-
ments finis, inégalité des accroissements finis.
∙Caractérisation de la monotonie d’une fonction dérivable sur un intervalle.
∙Théorème de la limite de la dérivée :
« si 𝑓est continue sur 𝐼, dérivable sur 𝐼∖{𝑎}, si 𝑓′(𝑥)−→
𝑥→𝑎ℓ∈ℝalors 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎−→
𝑥→𝑎ℓ∈ℝ».
Conséquence : « si 𝑓est 𝐶0sur 𝐼,𝐶1sur 𝐼∖ {𝑎}, si 𝑓′(𝑥)−→
𝑥→𝑎ℓ∈ℝ(finie) alors 𝑓est 𝐶1sur
𝐼et 𝑓′(𝑎) = ℓ»
∙Fonctions de classe 𝐶𝑘,𝐶∞. Opérations. Formule de Leibniz (dérivée 𝑛ième d’un produit de
deux fonctions 𝐷𝑛ou 𝐶𝑛).
∙Brève extension aux fonctions 𝑓:𝐼⊂ℝ→ℂ.
Les entiers naturels - Récurrences - Sommes doubles
∙Multiples et diviseurs d’un entier naturel. Théorème de la division euclidienne dans ℕ.
∙PGCD de deux entiers naturels non nuls. PPCM.
∙Nombres premiers. Existence et unicité de la décomposition d’un entier 𝑛≥2en produit de
facteurs premiers.
∙Principes de récurrence : simple, double, forte.
∙Relation d’équivalence. Classe d’équivalence.
∙Calculs de sommes doubles (sur un rectangle, sur un triangle).
Exercices
Exercice 1 Montrer : ∀(𝑥, 𝑦)∈ℝ2,∣sin(𝑥)−sin(𝑦)∣≤∣𝑥−𝑦∣et ∣1−cos(𝑥)∣ ≤ ∣𝑥∣.
Exercice 2 Montrer, pour tout 𝑥∈]0,+∞[, sh(𝑥)> 𝑥.
Exercice 3 Pour tout 𝑥 > 0:1
𝑥+ 1 ≤ln(𝑥+1)−ln(𝑥)≤1 𝑥. Déduire : 𝐻𝑛=
𝑛
𝑘=1
1
𝑘∼
𝑛→+∞ln(𝑛).
Exercice 4 Soit 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥/2,𝑢0= 0 et pour tout 𝑛∈ℕ,𝑢𝑛+1 =𝑓(𝑢𝑛) = 𝑒−𝑢𝑛/2. Montrer
que 𝑓possède un et un seul point fixe ℓ, et ℓ∈[0,1]. Montrer ∣𝑓′(𝑥)∣ ≤ 1
2pour tout 𝑥∈[0,1].
Montrer : pour tout 𝑛∈ℕ,∣𝑢𝑛+1 −ℓ∣ ≤ 1
2∣𝑢𝑛−ℓ∣, puis ∣𝑢𝑛−ℓ∣ ≤ 1 2𝑛. Comment obtenir une valeur
approchée de ℓà10−3près ?
Exercice 5 Calcul de la dérivée 𝑛ième de 𝑓avec 𝑓(𝑥) = (𝑥2−𝑥+ 1)𝑒−3𝑥.
Exercice 6 Preuve de l’existence du quotient et du reste dans la division euclidienne dans ℕ.
Exercice 7 Preuve de l’unicité du quotient et du reste dans la division euclidienne dans ℕ.
Exercice 8 Sur ℳ𝑛(ℝ), on définit la relation «𝐴𝑠𝐵» s’il existe une matrice 𝑃inversible (i.e
𝑃∈GL𝑛(ℝ)) telle que 𝐴=𝑃 𝐵𝑃 −1. Montrer que cela crée une relation d’équivalence sur ℳ𝑛(ℝ).
Exercice 9 Calcul de la somme double 𝑆=
1≤𝑖≤𝑗≤𝑛
𝑖
𝑗(avec 𝑛∈ℕ∗).
–1/1– Lycée Faidherbe, Lille