approximation polynomiale

Approximation Polynômiale
Sidi Mohamed BAHRI
1 Préambule
Dans plusieurs applications des mathématiques, on rencontre des fonctions qui
soient plus compliquées dans leurs expressions et ne peuvent pas s’exprimer en
termes de fonctions standards de l’analyse classique. Au fait, ces fonctions ne
sont connues que sous forme implicite ou données par un graphe, à savoir un
signal.
De…nition 1 Un signal est la manifestation d’un phénomène physique en terme
d’une fonction fou une suite de nombres (xn)n.
En général, la fonction fdérivant d’un certain nombre de mesures est dif-
…cile à analyser. C’est à dire qu’il est di¢ cile ou parfois impossible d’extraire
l’information exacte du signal à partir de la fonction fqui le décrit.
Dans ces cas, il est important de voir s’il est possible d’approximer fpar
une fonction beaucoup plus simple, c’est à dire trouver une fonction gtelle que
:
les calculs soient performés sur g;
la fonction g est proche de fdans le sens où les calculs performés sur
gdonnent de l’information utile du signal décrit par f.
Dans cette section, nous allons nous focaliser sur l’approximation polynômi-
ale. Dans sa version la plus simple, cette idée apparaît dans le context de la
recherche de la droite tangente pour une fonction di¤érentiable fen un point
x0. En e¤et, la tangente en x0est une fonction simple, à savoir un polynôme
de degré 1;qui approche parfaitement la fonction f dans un voisinage proche de
x0.
Problem 2 Comment de bonnes approximations peuvent être obtenues en util-
isant les polynômes de degrés supérieurs?
Notre stratégie, pour se faire, est la suivante :
introduction générale de l’idée de l’approximation polynômiale;
approxiamation au sens de Weierstrauss "toute fonction continue sur un
intervalle fermé borné peut être approchée par un polynôme".
approxiamation au sens de Taylor "approximation plus concrète".
1

2 Approximation d’une fonction sur un inter-
valle
Commençons par préciser la signi…cation de l’approximation d’une fonc-
tion fpar une autre g. Au fait, il existe plusieurs manières pour dé…nir
l’approximation et donc la dé…nition correcte dépend de la situation du
problème posé. En e¤et, donnons un exemple pour lequel on a besoin d’une
théorie d’approximation.
Example 3 Supposons que l’on veut calculer l’intégrale :
1
Z
0
exp x2dx (1)
Il est bien connu qu’il n’existe pas une expression pour l’intégrale (1) en ter-
mes de fonctions élémentaires; c’est à dire, on ne peut pas calculer (1) en in-
tégrant exp x2entre 0et 1:Donc, on a besoin d’une autre manière pour
estimer (1). C’est donc à partir de ce moment qu’une théorie d’approximation
s’impose. Pour ce cas concret, le programme d’approximation du préambule
s’établit comme suit : chercher une fonction gtelle que
1
R0
g(x)dx peut être calculer, et
g(x)est proche de exp x2pour x2[0;1] ;dans le sens où nous pouvons
contrôler comment
1
R0
g(x)dx dévit de
1
R0
exp x2dx.
Une manière de faire est donc de trouver une fonction positive gintégrable
telle que, pour un certain  > 0,
exp x2g(x); 8x2[0;1] ;
ou bien
+g(x)exp x2+g(x);8x2[0;1] :
Ceci implique
1
R0
(+g(x)) dx 
1
R0
exp x2dx 
1
R0
(+g(x)) dx; 8x2[0;1] ;
et par conséquent
+
1
Z
0
g(x)dx 
1
Z
0
exp x2dx +
1
Z
0
g(x)dx:
2

Ainsi,
1
R0
g(x)dx dé…nie une valeur approximative pour l’intégrale donnée.
Problem 4 Comment choisir g?
Nous allons maintenant généraliser l’argument évoqué dans l’exemple3. En
e¤et, les mêmes considérations nous amènent à
Proposition 5 Soient fet gdeux fonctions dé…nies sur IRun intervalle
…ni de longueur L. Supposons que pour un certain  > 0,
jf(x)g(x)j  8x2I: (2)
alors
L +Z
I
g(x)dx Z
I
f(x)dx L +Z
I
g(x)dx:
Donc, si l’on désire approcher une intégrale d’une fonction compliquée f,
l’inégalité (2) décrit une propriété de la fonction gqui rend possible l’estimation
de l’intégrale de f(si biensûr, l’intégrale de gexiste!).
Dans cette section, nous allons considérer l’approximation au sens de la
formule (2), c’est à dire, nous dirons que gest une bonne approximation de f
si (2) est satisfaite avec une valeur su¢ sament petite de .
Souvent, le terme approximation uniforme est associé à la condition
particulère (2). C’est donc une dé…nition d’approximation convenable pour
plusieurs cas pratiques. Cependant, il existe des cas où le fait que gap-
proche f, dans le sens uniforme, ne permet pas d’extraire l’information
désirée. Par exemple, la condition (2) ne conduit à aucune information de la
di¤érence entre les dérivées f0et g0.
Example 6 Soit f(x) = cos xet considérons pour k2Nles fonctions :
gk(x) = cos x+1
ksin k2x:
Alors
jf(x)gk(x)j  1
k8x2R:
Donc, il su¢ t de choisir kassez grand pour que gkapproche fau sens uniforme.
D’autre part, comme
f0(x) = sin x; g0
k(x) = sin x+kcos k2x
on trouve
jf0(x)g0
k(x)j=kcos k2x:
ceci implique que
sup
x2Rjf0(x)g0
k(x)j=jf0(0) g0 k(0)j=k:
A partir de cette dernière égalité, il est tout à fait clair que toute les fois que gk
converge vers fau sens uniforme, la distance entre f0et g0
kcroit.
3

Remark 7 L’exemple6 montre bien que si l’on désire approcher la dérivée d’une
fonction, on a besoin d’introduire une autre dé…nition de la notion d’approximation
car l’approximation uniforme n’est plus appropriée dans ce cas.
3 Théorème de Weierstrass
Nous allons maintenant considéré l’approximation au sens (2) avec la condition
que gsoit un polynôme.
Problem 8 Etant donnée une fonction fdé…nie sur un intervalle Iet un réel
positif  > 0;peut-on trouver un polynôme
P(x) =
N
X
n=0
anxn(aN6= 0)
tel que
jf(x)P(x)j  pour tout x2I:
Il se pourer bien que la réponse à cette question soit négative.
Example 9 Considérons la fonction f: ]1;1[ !Rdé…nie par
f(x) = 1si x 2]1;0[ ;
0si x 2[0;1[ ;
et soit = 0:1:
Alors il n’existe pas de polynôme Ppour lequel
jf(x)P(x)j  0:1pour tout x2]1;1[ :(3)
En e¤et, si un tel polynôme Pexiste, alors pour tout x2]1;0[
P(x)f(x)0:10:9:
Maintenant, comme tout polynôme est continu, il s’en suit que
P(0) = lim
x!0P(x)0:9:
Mais f(0) = 0;ce qui implique
jf(0) P(0)j=jP(0)j  0:9:
Et ceci contredit (3) donc il n’existe pas de polynôme Pqui satisfait (3).
Remark 10 D’une manière précise, le même argument de l’exemple9 montre
qu’on ne peut pas approcher une fonction discontinue par un polynôme. En
e¤et, un seul point de discontinuité est su¢ sant pour rendre cette approximation
impossible. Pour cette raison, nous ne considérons, dans ce qui suit, que des
fonctions continues.
Theorem 11 Soit IRun intervalle fermé borné et fune fonction continue
dé…nie sur I. Alors, pour tout  > 0;il existe un polynôme Ptel que
jf(x)P(x)j  pour tout x2I: (4)
4

Interprétation Géométrique Commençons par donner une interprétation
graphique du théorème11. Au fait, si on entoure le graphe de la fonction favec
une bande d’épaisseur 2pour un certain  > 0(voir …g.1), alors il existe un
polynôme qui soit entièrement contenu dans cette bande.
La chose la plus intéressante du théorème11 est que cela est possible quelle
que soit la façon dont on choisit plus petit, c’est à dire, quel que soit l’étroitesse
de la bande.
Imaginons, par exemple, comment ça doit être si = 1010!
Les fonctions continues peuvent facilement «se comporter sauvagement"
(signaux provenant d’un sismo-graphe instruments médicaux,), donc c’est vrai-
ment une forte a¢ rmation. Voir, par exemple, le signal parole à la …g.2, in-
tuitivement, il est di¢ cile d’imaginer un polynôme qui est proche de ce signal
sur tout l’intervalle, mais théorème de Weierstrass a¢ rme qu’un tel polynôme
existe.
Le polynôme d0approximation Pdans (4) dépend en général d’au moins trois
facteurs, à savoir,
la façon dont nous voulons estimer f, c’est à dire, comment avoir assez
petit;
le comportement de f: les fortes oscillations dans I; habituellement, force
Pà avoir un haut degré;
la longueur de l’intervalle I: l’élargissement de l’intervalle, en général,
nous oblige à choisir des polynômes de degré plus élevé si une certaine
approximation doit être obtenue.
Par exemple, il se peut que pour = 1 on peut approximer fpar un polynôme
du second degré
P(x) = a2x2+a1x+a0;
tandis que pour = 0;1nous pourrions avoir besoin de choisir un polynôme de
degré 10,
P(x) = a10x10 +a9x9+ +a1x+a0:
En principe pour le théorème de Weierstrass, il est possible de remplacer les
fonctions compliquées par des polynômes dans de nombreuses situations. Dans
la pratique, cependant, il n’est qu’un théorème d’existence: il ne dit pas com-
ment on peut choisir le polynôme qui approche une fonction donnée. La preuve
compense en partie pour cela, mais le théorème est encore di¢ cile à utiliser en
pratique. Sous des hypothèses supplémentaires, nous pouvons parvenir à un
résultat beaucoup plus utile, à savoir le théorème de Taylor.
4 Théorème de Taylor
A…n de parler de la tangente d’une fonction fen un point x0nous devons
supposer que la fonction fsoit di¤érentiable en x0. La tangente approche
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