Le potentiel au point M est :

22
Exercice 18: Dans le plan xOy deux charges –q et +q sont placées dans le vide aux points A(-a/2, 0)
et B(a/2, 0). Le moment du dipôle ainsi formé est
 AB q. p
. Un point M éloigné des charges est
repéré par ses coordonnées polaires
)OM ,Ox( et OM r 
.
1/ Calculer le champ électrique
)(ME
créé au point M par le dipôle et conclure sur l'angle 
( =(
r
e ,E
)).
2/ En déduire le potentiel V(M).
Solution : 1°)
Le champ au point M est :
BM
BM
BM
1
4q
E
AM
AM
AM
1
4q
- E
2
0
B
2
0
A
BM
BM
BM
1
AM
AM
AM
1
4q
E 22
0
Posons OM = r ;
OMBO BM
d’où :
 cosrar
4
a
BM 2
2
2
OMAO AM
d’où
 cosrar
4
a
AM 2
2
2
2
3
2
2
3
2
3
2
2
3r4
a
cos
r
a
1
r
1
cosrar
4
a
BM
1
 cos
r
a
2
3
1
r
1
3
cos
r
a
2
3
1
r
1
cosrar
4
a
AM
13
2
3
2
2
3
BMcos
r
a
2
3
1AMcos
r
a
2
3
1
r4 q
E 3
0
BMAMcos
r
a
2
3
BMAM
r4 q
E 3
0
BO2BAOMBOOMAOBMAM

23
OM2OMBOOMAOBMAM
OMcos
r
a
2
3
BO
r4 2q
E 3
0
avec
 esinecos
2
a
BO r
et
r
erOM  
donc
 sin
2
a
ecos
2
a
cosa
2
3
e
r4 2q
E r
3
0
soit :
 e
2
sin
cose
r42qa
E r
3
0
;
 tan
2
1
E
E
tan
r
2) Le potentiel est:
,rVgrad,rE
;
ctedrEVdrEdV rr  
soit :
cte
r
dr
cos
4
2qa
V 3
0
, d’où :
cte
r
1
4cosqa
V 2
0
on peut également écrire :
cterdEVrdEdV  
soit :
ctedsin
r4 qa
V 2
0
, d’où :
ctecos
r
1
4qa
V 2
0
Exercice 19 Dans le plan xOy, sont placées en A(-a/2,0) et B(a/2,0) deux fils infinis respectivement de
densité linéique de charge – et + , parallèles à l'axe (z'Oz). Calculer au point M(r,) le potentiel
électrostatique sachant que V(r = 0) = 0.
En déduire le champ électrostatique et conclure sur l'angle  ( =(
r
e ,E
)). :
Solution : Théorème de Gauss :
r2
E
h
hr2E
00 
ctedrEVdrEdV  
cte
r
1
ln
2
V
0
Le potentiel au point M est :
MVMVV BA 
cte
BM
1
ln
AM
1
ln
2
V
0
BM
AM
ln
2
V
0
. (cte = 0 car on a choisi V(O) = 0) Posons OM = r ;
OMBO BM
d’où :
 cosrar
4
a
BM 2
2
2
;
2
1
2
2cosrar
4
a
BM 
OMAO AM
d’où
 cosrar
4
a
AM 2
2
2
;
2
1
2
2cosrar
4
a
AM 

24
2
2
2
2
0r4
a
cos
r
a
1ln
r4
a
cos
r
a
1ln
4
V
1
r
a
ra 
;
 ~1ln
cos
ra2 4
V
0
(1er ordre en a/r) ; donc :
cos
r
a
2
V
0
Le champ résultant est :
  eEeEE r
r
;
,rVgrad,rE
La composante radiale du champ est:
 cos
ra 2r
V
E2
0
r
La composante orthoradiale du champ est :
sin
ra 2
V
r
1
E2
0
;
2
0
22
rra
2
EEE 
;
 tan
E
E
tan
r
Exercice 20 : Soit un ensemble de trois charges alignées sur un axe x’Ox :
(-2q) à l’origine, (+q) au point A d’abscisse x =+a et (+q) au point B d’abscisse x = -a (a >0).
1°) Calculer le potentiel V(M) en un point M(r,) de l’espace en supposant a très petit devant r.
2°) En déduire les composantes et le module du champ électrique en M(r,).
Solution :
Le potentiel au point M est :
BM
1
OM
2
AM
1
4q
V
0
Posons OM = r ;
OMBO BM
d’où :
 cosra2ra BM 222
OMAO AM
d’où
 cosra2ra AM 222
2
1
2
2
2
1
22 r
a
cos
ra2
1
r
1
cosra2ra
BM
1
;
2
111 2
 2
2
2
2
2cos
r
a
2
3
r2
a
cos
r
a
1
r
1
 2
2
2
2
2cos
r
a
2
3
r2
a
cos
r
a
-1
r
1
AM
1
 2
2
2
2
2cos
r
a
3
r
a
-2
r
1
AM
1
BM
1
donc
2
3
2
0
cos31
r
a
4q
V
2) La composante radiale du champ est:
r
2
4
0
2
r
recos31
r4 aq3
e
r
V
E 
soit :
r
2
4
0
2
re1cos3
r4 aq3
E 

25
La composante orthoradiale du champ est :
 e
V
r
1
E
;
3
0
2
r4 sincosaq6V
Exercice 21 : Un dipôle électrique (-q, +q) de moment électrique
p
est placé dans un milieu où règne
un champ électrique
0
E
homogène dont la direction est Oy.
Le milieu du dipôle coïncide avec l’origine des axes,
p
et
0
E
sont parallèles et de même sens.
1) Montrer que le potentiel créé par le dipôle au point M à la distance r de l’origine O peut se mettre
sous la forme :
2
0
Dr4 cosp
V
où  est l’angle entre
OM
et
p
.
2) Quel est le potentiel total V(r) au point M résultant de la superposition du dipôle et du champ
homogène
0
E
?
3) Déterminer l’équipotentielle zéro ; montrer que c’est une sphère de rayon a que l’on précisera;
exprimer V(r) en fonction de a, E0,  et r.
4) Déduire du potentiel résultant l’expression du champ électrostatique
ME
Solution : 1°) Le potentiel au point M(r,) à grande distance est :
V=V0+VD (principe de superposition).
Calcul de V0 :
0
0
0
0V
r
1r
V
gradVgradE
;
  esinEecosEE 0
r
0
0
; on en déduit :
0
0
0
0
V
r
1
sinE
ou r
V
cosE
soit :
KcosrEV
ou
KcosrEV
00
00
Ce qui conduit au même V0.
Calcul de VD :
BM
q
AM
q
41
V
0
OMAO AM
d’où
2
2
2
2
2
rcosr
2
a
2
4
a
rOMAO2
4
a
AM 
2
1
2
2
2
1
2
21cos
r
a
r4
a
rrcosr
2
a
2
4
a
AM 
r  a d’où :
 r2
cosa
1rAM
 esincos
r4 aq6
E4
0
2

26
OMBO BM
d’où
2
2
2
2
2
rcosr
2
a
2
4
a
rOMBO2
4
a
BM 
 r2
cosa
1rBM
r2
cosa
1
r2
cosa
1
r
1
4q
r2
cosa
1
1
r2
cosa
1
1
r
1
4q
V
00
D
2
0
Dr
cosa
4q
V
soit :
3
0
Drrp
41
V
avec p = qa
2°) Calcul du potentiel :
2
0
0r4 cosp
KcosrEV 
soit :
KcosrE
r4 p
V0
2
0
V =f ().g(r)
3°) Rayon de l’équipotentielle sphérique :  V est indépendant de  :
0
V
00
3
0
2
0E4 p
r0rE
r4 p
d’où
3
1
00E4 p
r
4°) Champ
E
en M :
MVgradMVgradMVgradMEMEME DO
D0
sinE
r4 pV r
1
cosE
r2 p r
V
E
0
3
0
0
3
0
;
22
rEEE 
;
r
E
E
tan 