mp* 14-15 : révisions pour l`écrit

mp* 14-15 : révisions pour l’écrit - Algèbre
linéaire, réduction
I
Chapitres
Al1, Al2, Al3
I.1
Questions de cours les plus classiques sur : Algèbre
linéaire
Théorème d’isomorphisme, théorème du rang.
Interpolation de Lagrange.
La trace d’un projecteur est égale à son rang.
II
Questions de cours les plus classiques sur :
Déterminants
Déterminant de Vandermonde.
III
Questions de cours les plus classiques sur :
Réduction
Théorème de décomposition des noyaux.
Si le polynôme caractéristique est scindé et à racines simples, l’endomorphisme (ou la matrice) est diagonalisable, et les sous-espaces propres sont
des droites.
Un endomorphisme (une matrice) est diagonalisable si et seulement si il existe
un polynôme annulateur scindé simple.
Si u est diagonalisable, il induit sur tout sous-espace stable un endomorphisme diagonalisable.
1
Stabilité du noyau et de l’image d’un endomorphisme par un endomorphisme
qui commute avec lui.
IV
Exercices
Exercice 1 (Noyaux itérés). Soit f un endomorphisme d’un espace de
dimension finie n non nulle. On définit, pour tout entier naturel p :
Fp = ker(f p ) et Gp = Im(f p )
(f p désigne l’itérée d’ordre p de f : f 0 = Id et, f p+1 = f ◦ f p ).
1. Démontrer que, des deux suites de s.e.v. (Fp ) et (Gp ), l’une est croissante et l’autre décroissante (pour l’inclusion).
2. Démontrer qu’il existe un plus petit entier naturel r tel que Fr = Fr+1 ,
et démontrer qu’alors, pour tout entier naturel p supérieur ou égal à r,
Fp = Fp+1 .
3. Démontrer qu’il existe un plus petit entier naturel s tel que Gs = Gs+1 ,
et démontrer qu’alors, pour tout entier naturel p supérieur ou égal à s,
Gp = Gp+1 . Y-a-t-il un lien entre r et s ?
4. Démontrer que Gs et Fr sont supplémentaires dans E.
Exercice 2 (Table de mutiplication de la base canonique de Mn (K)).
On considère un entier naturel n non nul. La matrice Ei,j est la matrice carrée
d’ordre n dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient en i-ème ligne et
j-ième colonne, égal à 1. Calculer le produit Ei,j Ek,l (résultat au programme).
Exercice 3 (Utilisation de propriétés polynomiales du déterminant).
Le but de cet exercice est de démontrer le résultat suivant : Si deux matrices
A et B de Mn (R) sont semblables dans Mn (C), elles le sont aussi dans
Mn (R).
Pour cela, on considère une matrice P de GLn (C) telle que B = P −1 AP ,
condition que l’on écrira P B = AP . On note alors P1 la matrice dont les
coefficients sont les parties réelles de ceux P , P2 la matrice dont les coefficients
sont les parties imaginaires de ceux de P .
1. Démontrer que P1 B = AP1 et P2 B = AP2 .
2
2. Démontrer que l’application x 7→ det(P1 + xP2 ) n’est pas constamment
nulle sur R, et en déduire le résultat.
Savoir utiliser les (nombreuses) propriétés simples du déterminant :
polynomial par rapport aux coefficients, affine par rapport à un
coefficient quelconque, continu. . .
Exercice 4 (Utilisation de la comatrice). A quelle condition nécessaire et
suffisante (portant sur son déterminant) une matrice inversible de Mn (Z)
a-t-elle son inverse dans Mn (Z) ?
Exercice 5 (Utilisation du théorème de structures des formes n-linéaires
alternées sur un espace de dimension n). Soit B une base d’un espace
E de dimension n, et soit u un endomorphisme de E. Démontrer que, pour
toute famille (x1 , . . . , xn ) d’éléments de E,
n
X
k=1
det(x1 , . . . , xk−1 , u(xk ), xk+1 , . . . , xn ) = tr(u) det(x1 , . . . , xn )
B
Exercice 6 (Diagonalisation).

α

β
.
 ..
β
B
Diagonaliser la matrice suivante :

β ... β
. . . .. 
α
.

.. ..
.
. β
... β α
(c’est-à-dire trouver une matrice diagonale semblable, la matrice de passage
et son inverse).
Savoir diagonaliser concrètement : trouver les valeurs propres,
mettre des vecteurs propres formant une base en colonnes dans
une matrice de passage.
3
Exercice 7 (diagonalisabilité des matrices compagnes). Soit

a1
1


A = 0
.
 ..
0

. . . . . . an
... ... 0 
.. 
..

.
.
.
.. ..
.
. .. 
0 1 0
a2
0
..
.
..
.
...
Calculer le polynôme caractéristique de A, vérifier que A est diagonalisable
si et seulement si P est scindé simple (on vérifiera que le rang de A − λIn
vaut au moins n − 1, pour tout λ).
Exercice 8 (Nilpotence : résultats classiques). Soit K un corps commutatif, E un K − ev de dimension finie n, u un endomorphisme nilpotent
de E.
1. Démontrer que u est trigonalisable.
2. Déterminer le polynôme caractéristique de u.
3. De quelle forme est le polynôme minimal de u ? démontrer que l’indice
de nilpotence de u est au plus égal à n.
Connaître les liens entre polynôme caractéristique et polynôme minimal : l’un divise l’autre (Cayley-Hamilton), ils ont les mêmes
racines, il y a des cns de trigonalisabilité avec le minimal, une cs
de diagonalisabilité avec le caractéristique et une cns avec le minimal. . .
Exercice 9 (Sous-espaces caractéristiques et réduction de Dunford).
1. Soit u un endomorphisme nilpotent d’un espace de dimension finie non
nulle n. On appelle p l’indice de nilpotence de u, c’est-à-dire le plus petit
entier naturel pour lequel up = Θ. Démontrer que u est trigonalisable.
Quel est le polynôme minimal de u, son polynôme caractéristique ?
Démontrer que p ≤ n. u peut-il être diagonalisable ?
4
2. Soit u un endomorphisme d’un espace E de dimension finie non nulle
n. On suppose que le polynôme caractéristique de u est scindé. On note
λ1 , . . . , λq ses racines, de multiplicités respectives m1 , . . . , mq .
On note, pour chaque i entre 1 et q : Fi = Ker (λi Id − u)mi . Fi est
appelé sous-espace caractéristique associé à la valeur propre λi .
(a) Démontrer que Fi est stable par u et contient le sous-espace propre
Ei associé à la valeur propre λi .
(b) Démontrer que E est somme directe des Fi (1 ≤ i ≤ q).
(c) Démontrer que u est diagonalisable si et seulement si Fi = Ei pour
tout i.
Savoir utiliser la combinaison classique : Cayley-Hamilton + théorème de décomposition des noyaux.
Exercice 10 (Réduction par blocs).
Soit A, B deux matrices carrées d’ordre p et q respectivement. On définit par
blocs la matrice
A 0
M =
0 B
1. Démontrer que M est diagonalisable si et seulement si A et B le sont.
2. Démontrer que M est trigonalisable si et seulement si A et B le sont.
Savoir travailler avec des matrices par blocs. Savoir montrer que
P (M ) a une certaine forme en commençant par P = X k (récurrence), puis combinaison linéaire.
Exercice 11 (Réduction simultanée).
1. Soit u, v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie,
diagonalisables. Démontrer que u et v commutent si et seulement si ils
sont diagonalisables dans une même base, c’est-à-dire si et seulement
s’il existe une base formée de vecteurs propres à la fois pour u et pour
v (on pourra utiliser la stabilité des sous-espaces propres de u par v ou
réciproquement). Enoncer ce résultat en termes de matrices.
5
2. Dans cette question, le corps de base est C. On suppose que u et v commutent, mais on ne les suppose plus diagonalisables. Démontrer qu’ils
ont au moins un vecteur propre commun (on pourra utiliser la stabilité des sous-espaces propres de u par v ou réciproquement). Utiliser ce
résultat pour démontrer que u et v sont simultanément trigonalisables.
Exercice 12 (Utilisation des polynômes annulateurs). Soit A une matrice diagonalisable ; montrer que, pour tout p entier naturel, Ap est diagonalisable.
Réciproquement, soit p ≥ 2 et A ∈ GLn (C) tels que Ap soit diagonalisable.
Démontrer que A est diagonalisable. Donner un exemple montrant que ce
résultat est en général faux si on ne suppose pas la matrice inversible, ou si
on la suppose inversible mais que l’on est sur R.
Si Ap est diagonale, A est-elle diagonale ?
Exercice 13 (Topologie matricielle classique).
1. En considérant par exemple, pour toute matrice A, les matrices A−λIn
(λ ∈ K), démontrer que GLn (K) est dense dans Mn (K) (K = R ou
K = C).
2. En « perturbant » les coefficients diagonaux, démontrer que l’ensemble
des matrices triangulaires diagonalisables est dense dans l’ensemble des
matrices triangulaires (K = R ou K = C). En déduire que l’ensemble
des matrices diagonalisables est dense dans Mn (C).
Exercice 14 (Sous-espaces stables par un endomorphisme). Déterminer tous les sous-espaces stables par l’endomorphisme canoniquement associé
à la matrice


−11 −9 9
 12 10 −12
−3 −3 1
(Savoir utiliser la propriété : un endomorphisme diagonalisable induit sur tout sev stable un endomorphisme lui aussi diagonalisable)
6
On trouve une matrice diagonalisable, avec pour sous-espaces propres un
plan P et une droite D. Les droites stables sont les droites engendrées par
un vecteur propre. Ce sont donc les droites incluses dans P , et la droite D.
Si Π est un plan stable, l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice
induit sur Π un endomorphisme diagonalisable. Donc Π a une base constituée
de deux vecteurs propres. Donc, si Π 6= P , Π est engendré par un vecteur
de D et un vecteur de P . Donc, la réciproque étant claire, Π est un plan
qui contient D et un vecteur non nul de P . Mais tout plan contenant D
contient un vecteur non nul de P . Donc les plans stables sont P et les plans
qui contiennent D.
Exercice 15 (Quelques questions classiques sur la topologie matricielle). Ici, lorsque l’on parle de Mn (K), K = R ou K = C.
1. Démontrer que GLn (K) est un ouvert dense de Mn (K).
2. Démontrer que l’application A 7→ A−1 est continue sur GLn (K).
3. Ici, K = R. Démontrer que le groupe des matrices orthogonales est
compact.
4. L’ensemble des matrices symétriques est-il ouvert ? fermé ? ni l’un ni
l’autre ? (dans Mn (K)).
5. L’ensemble des matrices nilpotentes est-il ouvert ? fermé ? ni l’un ni
l’autre ? (dans Mn (K)).
6. Démontrer que l’ensemble des matrices de rang 1 n’est ni ouvert ni
fermé.
7. Démontrer que l’ensemble des matrices de rang supérieur ou égal à k
est ouvert.
1. GLn (K) est l’image réciproque par l’application continue det de l’ouvert
1
K \ {0}. Donc il est ouvert. Si A ∈ Mn (K), A − In −−−−→ A, et au
p→+∞
p
1
moins à partir d’un certain rang A − In ∈ GLn (K) (ceci étant dû au
p
fait que Sp(A) est un ensemble fini).
1 t
2. La formule A−1 =
(com(A)) montrer que les coefficients de
det(A)
A−1 sont des fonctions polynomiales de ceux de A, ce qui montre la
continuité cherchée.
7
3. On est en dimension finie, O(n) est fermé et borné. L’erreur à ne pas
commettre est bien sûr de dire que O(n) est l’image réciproque par
l’application continue det du fermé {−1, 1}.
4. L’application A 7→ t A − A est continue car linéaire sur un espace de
dimension finie. L’image réciproque du fermé {(0)}, qui est l’ensemble
des matrices symétriques, est donc aussi un fermé.
5. Il faut se souvenir que les matrices nilpotentes dans Mn (K) sont les
matrices qui vérifient N n = (0). Or l’application A 7→ An est continue
(les coefficients de An sont fonctions polynomiales de ceux de A), on
conclut donc comme précédemment.
Si on dit seulement que N est nilpotente si et seulement s’il existe p tel
que N p = (0), on arrive, en notant φp : M 7→ M p , à l’ensemble des
matrices nilpotentes comme
+∞
[
φ−1
p ({(0)}
n=1
mais une réunion infinie de fermés n’est pas, en général, fermée.
6. Si on note J la matrice dont tous les coefficients valent 1, alors
1
1
J −−−−→ (0), les J sont de rang 1 mais (0) est de rang 0, donc
p p→+∞
p
l’ensemble
des
matrices
de
rang 1 n’est pas fermé. La suite des matrices

1 0 ... ...0
.. 

.
0 1/p . .
. 
. .
.. 
.
.
 ..
..
.. ..
. 
 est une suite de matrices de rang n qui tend


.
..
..
 ..
.
.
0 
0 . . . . . . 0 1/p
vers une matrice de rang 1, donc l’ensemble des matrices de rang 1 n’est
pas ouvert (son complémentaire n’est pas fermé).
7. Soit A une matrice de rang supérieur ou égal à k. Il existe alors une matrice carrée k × k extraite de A et inversible. Plus précisément, il existe
I et J parties de J1, nK, chacune de cardinal k, telles que (ai,j )(i,j)∈I×J
soit inversible. L’application
M 7−→ (ai,j )(i,j)∈I×J
est continue sur Mn (K) (linéaire en dimension finie. . .), l’image réciproque de GLk (K) par cette application est un ouvert, contenant A, et
ne contenant que des matrices de rang au moins k. Ce qui conclut.
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