mp* 14-15 : révisions pour l`écrit

mp* 14-15 : révisions pour l’écrit - Algèbre
linéaire, réduction
I Chapitres
Al1, Al2, Al3
I.1 Questions de cours les plus classiques sur : Algèbre
linéaire
Théorème d’isomorphisme, théorème du rang.
Interpolation de Lagrange.
La trace d’un projecteur est égale à son rang.
II Questions de cours les plus classiques sur :
Déterminants
Déterminant de Vandermonde.
III Questions de cours les plus classiques sur :
Réduction
Théorème de décomposition des noyaux.
Si le polynôme caractéristique est scindé et à racines simples, l’endomor-
phisme (ou la matrice) est diagonalisable, et les sous-espaces propres sont
des droites.
Un endomorphisme (une matrice) est diagonalisable si et seulement si il existe
un polynôme annulateur scindé simple.
Si uest diagonalisable, il induit sur tout sous-espace stable un endomor-
phisme diagonalisable.
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Stabilité du noyau et de l’image d’un endomorphisme par un endomorphisme
qui commute avec lui.
IV Exercices
Exercice 1 (Noyaux itérés). Soit fun endomorphisme d’un espace de
dimension finie nnon nulle. On définit, pour tout entier naturel p:
Fp= ker(fp)et Gp= Im(fp)
(fpdésigne l’itérée d’ordre pde f:f0= Id et, fp+1 =f◦fp).
1. Démontrer que, des deux suites de s.e.v. (Fp)et (Gp), l’une est crois-
sante et l’autre décroissante (pour l’inclusion).
2. Démontrer qu’il existe un plus petit entier naturel rtel que Fr=Fr+1,
et démontrer qu’alors, pour tout entier naturel psupérieur ou égal à r,
Fp=Fp+1.
3. Démontrer qu’il existe un plus petit entier naturel stel que Gs=Gs+1,
et démontrer qu’alors, pour tout entier naturel psupérieur ou égal à s,
Gp=Gp+1. Y-a-t-il un lien entre ret s?
4. Démontrer que Gset Frsont supplémentaires dans E.
Exercice 2 (Table de mutiplication de la base canonique de Mn(K)).
On considère un entier naturel nnon nul. La matrice Ei,j est la matrice carrée
d’ordre ndont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient en i-ème ligne et
j-ième colonne, égal à 1. Calculer le produit Ei,j Ek,l (résultat au programme).
Exercice 3 (Utilisation de propriétés polynomiales du déterminant).
Le but de cet exercice est de démontrer le résultat suivant : Si deux matrices
Aet Bde Mn(R)sont semblables dans Mn(C), elles le sont aussi dans
Mn(R).
Pour cela, on considère une matrice Pde GLn(C)telle que B=P−1AP ,
condition que l’on écrira P B =AP . On note alors P1la matrice dont les
coefficients sont les parties réelles de ceux P,P2la matrice dont les coefficients
sont les parties imaginaires de ceux de P.
1. Démontrer que P1B=AP1et P2B=AP2.
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2. Démontrer que l’application x7→ det(P1+xP2)n’est pas constamment
nulle sur R, et en déduire le résultat.
Savoir utiliser les (nombreuses) propriétés simples du déterminant :
polynomial par rapport aux coefficients, affine par rapport à un
coefficient quelconque, continu. . .
Exercice 4 (Utilisation de la comatrice).A quelle condition nécessaire et
suffisante (portant sur son déterminant) une matrice inversible de Mn(Z)
a-t-elle son inverse dans Mn(Z)?
Exercice 5 (Utilisation du théorème de structures des formes n-linéaires
alternées sur un espace de dimension n). Soit Bune base d’un espace
Ede dimension n, et soit uun endomorphisme de E. Démontrer que, pour
toute famille (x1, . . . , xn)d’éléments de E,
n
X
k=1
det
B(x1, . . . , xk−1, u(xk), xk+1, . . . , xn) = tr(u) det B(x1, . . . , xn)
Exercice 6 (Diagonalisation). Diagonaliser la matrice suivante :
α β . . . β
β α ....
.
.
.
.
.......β
β . . . β α
(c’est-à-dire trouver une matrice diagonale semblable, la matrice de passage
et son inverse).
Savoir diagonaliser concrètement : trouver les valeurs propres,
mettre des vecteurs propres formant une base en colonnes dans
une matrice de passage.
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Exercice 7 (diagonalisabilité des matrices compagnes). Soit
A=
a1a2. . . . . . an
1 0 . . . . . . 0
0.......
.
.
.
.
...........
.
.
0. . . 0 1 0
Calculer le polynôme caractéristique de A, vérifier que Aest diagonalisable
si et seulement si Pest scindé simple (on vérifiera que le rang de A−λIn
vaut au moins n−1, pour tout λ).
Exercice 8 (Nilpotence : résultats classiques). Soit Kun corps com-
mutatif, Eun K−ev de dimension finie n,uun endomorphisme nilpotent
de E.
1. Démontrer que uest trigonalisable.
2. Déterminer le polynôme caractéristique de u.
3. De quelle forme est le polynôme minimal de u? démontrer que l’indice
de nilpotence de uest au plus égal à n.
Connaître les liens entre polynôme caractéristique et polynôme mi-
nimal : l’un divise l’autre (Cayley-Hamilton), ils ont les mêmes
racines, il y a des cns de trigonalisabilité avec le minimal, une cs
de diagonalisabilité avec le caractéristique et une cns avec le mini-
mal. . .
Exercice 9 (Sous-espaces caractéristiques et réduction de Dunford).
1. Soit uun endomorphisme nilpotent d’un espace de dimension finie non
nulle n. On appelle pl’indice de nilpotence de u, c’est-à-dire le plus petit
entier naturel pour lequel up= Θ. Démontrer que uest trigonalisable.
Quel est le polynôme minimal de u, son polynôme caractéristique ?
Démontrer que p≤n.upeut-il être diagonalisable ?
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2. Soit uun endomorphisme d’un espace Ede dimension finie non nulle
n. On suppose que le polynôme caractéristique de uest scindé. On note
λ1, . . . , λqses racines, de multiplicités respectives m1, . . . , mq.
On note, pour chaque ientre 1 et q:Fi= Ker(λiId −u)mi.Fiest
appelé sous-espace caractéristique associé à la valeur propre λi.
(a) Démontrer que Fiest stable par uet contient le sous-espace propre
Eiassocié à la valeur propre λi.
(b) Démontrer que Eest somme directe des Fi(1≤i≤q).
(c) Démontrer que uest diagonalisable si et seulement si Fi=Eipour
tout i.
Savoir utiliser la combinaison classique : Cayley-Hamilton +théo-
rème de décomposition des noyaux.
Exercice 10 (Réduction par blocs).
Soit A,Bdeux matrices carrées d’ordre pet qrespectivement. On définit par
blocs la matrice
M=A0
0B
1. Démontrer que Mest diagonalisable si et seulement si Aet Ble sont.
2. Démontrer que Mest trigonalisable si et seulement si Aet Ble sont.
Savoir travailler avec des matrices par blocs. Savoir montrer que
P(M)a une certaine forme en commençant par P=Xk(récur-
rence), puis combinaison linéaire.
Exercice 11 (Réduction simultanée).
1. Soit u,vdeux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie,
diagonalisables. Démontrer que uet vcommutent si et seulement si ils
sont diagonalisables dans une même base, c’est-à-dire si et seulement
s’il existe une base formée de vecteurs propres à la fois pour uet pour
v(on pourra utiliser la stabilité des sous-espaces propres de upar vou
réciproquement). Enoncer ce résultat en termes de matrices.
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