Leçons d`Arithmétique `a l`oral du CAPES.

Master Enseignement Math´ematiques Eric Edo
Le¸cons d’Arithm´etique `a l’oral du CAPES.
Il y a cinq le¸cons d’arithm´etique `a l’oral du CAPES :
L12. Multiples, diviseurs, division euclidienne.
L13. PGCD, PPCM de deux entiers naturels.
L14. Egalit´e de B´ezout.
L15. Nombres premiers, d´ecomposition d’un entier en produit de facteurs premiers.
L16. Congruences dans Z.
Ces le¸cons ne sont pas ind´ependentes, il est important de bien les articuler les unes avec les autres d’un
point de vue logique mais aussi p´edagogique. Ceci doit apparaˆıtre clairement dans le choix des pr´e-requis.
On peut consid´erer que ces le¸cons composent quatre chapitres (L12 et L13 constituent un seul chapitre)
d’un cours d’arithm´etique de terminale S (sp´ecialit´e math´ematiques). On peut pr´esenter ces le¸cons de
fa¸con `a mettre en valeur l’id´ee qu’elles s’ins`erent dans un progression :
1) Pr´eciser qu’il s’agit d’une le¸con d’arithm´etique.
2) R´esumer rapidement les le¸cons pr´ec´edentes d’arithm´etique.
3) Dire quels sont les r´esultats principaux de cette le¸cons.
4) Evoquer les le¸cons suivantes.
Les r´esultats principaux sont :
L12. Division euclidienne dans Z. Propri´et´es de la divisibilit´e. Ecriture d’un entier dans une base.
L13. Algorithme d’Euclide. Relation entre le PGCD et le PPCM. Egalit´e de B´ezout.
L14. Egalit´e de B´ezout. Th´eor`eme de Gauss. R´esolution d’´equations diophantiennes.
L15. Lemme d’Euclide. Th´eor`eme premier. Infinitude de l’ensemble des nombres premiers. D´ecomposition
d’un entier en produit de facteurs premiers.
L16. La congruence est une relation d’´equivalence compatible avec les op´erations.
Les le¸cons L13, L15, et L16 se placent explicitement dans Z(L12 et L14 s’y place naturellement), cepen-
dant il n’est pas impossible de parler un tout petit peu de l’arithm´etique des polynˆomes en compl´ement
dans L12 (division euclidienne des polynˆomes, application au th´eor`eme de la racine).
Certains r´esultats concernent aussi les le¸cons g´en´eralistes :
L68. Exemples d’algorithmes.
L’arithm´etique est riche en algorithmes math´ematiques c’est `a dire qui ont pour entr´ees et sorties des
objets math´ematiques abstraits (nombres entiers pas encore ´ecrit dans une base). C’est le cas de l’al-
gorithme des soustractions successives ou de l’algorithme d’Euclide. Ces algorithmes pr´eexistent (d’un
point de vu logique et historique) `a l’´ecriture d’un nombre dans une base et `a l’informatique (Euclide
n’´ecrivait pas les entiers en base dix et il n’avait pas d’ordinateur).
L69. Exemples d’utilisation d’un tableur.
Les algorithmes r´ecursifs num´eriques, par exemple l’algorithme d’Euclide en base dix, peuvent ˆetre
impl´ement´es `a l’aide d’un tableur.
L70. Les diff´erents types de raisonnement en math´ematiques.
L’arithm´etique permet de donner de multiples exemples de diff´erents types de raisonnements :
1) Raisonnement par r´ecurrence (ex. L12. Division euclidienne dans N).
2) Raisonnement par disjonction des cas (ex. L12. Division euclidienne dans Z).
3) Raisonnement pas l’absurde (ex. L15. Infinitude de l’ensemble des nombres premiers).
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L12. Multiples, diviseurs, division euclidienne.
L12. Pr´e-requis.
1) Propri´et´es, dans Z, de +, −,×,≤et |.|(valeur absolue).
2) Raisonnement par r´ecurrence (forte) dans N.
[Remarque : Dans cette le¸con on utilisera la r´ecurrence forte qui est la propri´et´e suivante :
Soit (P(n))n∈Nune famille de propositions. On a :
(∀n∈N)[((∀m∈N)m < n ⇒P(m)) ⇒P(n)] ⇒(∀n∈N)P(n).
Cette propri´et´e est ”´equivalente” au raisonnement par r´ecurrence classique et au principe de la descente
infinie de Fermat (qui s’exprime en disant qu’il n’existe pas de suite strictement d´ecroissante d’´el´ements
de N). Le mot ”´equivalente” veut dire que tout ce que l’on peut d´emontrer en utilisant l’une peut se
d´emontrer en utilisant l’autre. On a besoin d’une de ces propri´et´es ´equivalentes dans la partie existence
de d´emonstration de la division euclidienne dans N.]
L12. Partie 1. Division euclidienne.
Th´eor`eme. Division euclidienne des entiers (dans N).
Soient a, b ∈Ntels que b̸= 0. Il existe q, r ∈Nuniques tels que r < b et a=bq +r.
D´emonstration.
Unicit´e : Supposons qu’il existe q, r, q′, r′∈Ntels que r < b,r′< b,a=bq +ret a=bq′+r′. En
soustrayant ces deux ´egalit´es et en prenant les valeurs absolues, on obtient : b|q−q′|=|r−r′|. Puisque
r < b,r′< b on a : |r−r′|< b donc |r−r′|= 0 d’o`u : r=r′et q=q′.
Existence : Soit b∈N r {0}. D´emontrons par r´ecurrence qu’il existe q, r ∈Ntels que a=bq +ret
r < b. Si a < b alors on pose : q= 0 et r=b. Si a≥balors a−b∈Net a−b < a donc on peut
appliquer l’hypoth`ese de r´ecurrence `a a−b: Il existe q′, r′∈Ntels que a−b=q′b+r′et r′< b. On pose
q=q′+ 1 ∈Net r=r′∈Net on a : a=bq +ret r < b.
[Remarque : Cette d´emonstration se traduit par l’algorithme suivant qui concerne des ´el´ements de N
consid´er´es comme des nombres abstaits. L’existence de cet algorithme qui traduit l’id´ee na¨ıve de divi-
sion par soustractions successives (une id´ee qui est `a la base de la d´efinition de la multiplication comme
additions successives) justifie le choix de la r´ecurrence comme pr´e-requis plutˆot que les propri´et´es dont
l’´enonc´e est plus topologique (toute partie non vide de Nadmet un plus petit ´el´ement, toute partie ma-
jor´ee de Nadmet un plus grand ´el´ement) qui donne des d´emonstrations de la division euclidienne qui
ne sont pas constructives (qui ne se traduisent pas par un algorithme). Par contre, on masque un peu
l’id´ee importante que la division euclidienne repose fondamentalement sur la topologie de Zqui a ceci de
particulier : elle est discr`ete.]
Algorithme des soustractions successives.
Entr´ee : a, b ∈Ntels que b̸= 0.
Sortie : q, r ∈Ntels que r < b et a=bq +r.
Proc´edure DivisionN(a, b).
a′←a,q←0.
Tantque a′≥bfaire :
a′←a′−b,q←q+ 1,
fintantque.
r←a′.
2

Exercice 1. Soit a∈Nun entier. Soit b∈2N+ 1 un entier impair. Soit r∈Nun entier tel que r≤b−1
2.
Montrer que le reste de la division euclidienne de apar best rsi et seulement si le reste de la division
euclidienne de 2apar best 2r.
Exercice 2. Soient r, n ∈Ntels que r < n. Montrer que parmi nnombres cons´ecutifs, il y en a un et un
seul dont le reste de la division euclidienne par nest r.
Th´eor`eme. Division euclidienne des entiers (dans Z).
Soient a, b ∈Zdes entiers tels que b̸= 0. Il existe des entiers q, r ∈Zuniques tels que r∈ {0, . . . , |b|−1}
et a=bq +r. On dit que qest le quotient et rle reste de la division euclidienne de apar b.
D´emonstration. Ce th´eor`eme repose sur une disjonction de cas qui se traduit par l’algorithme suivant :
Algorithme de division dans Z.
Entr´ee : a, b ∈Ztels que b̸= 0.
Sortie : q, r ∈Ztels que r∈ {0, . . . , |b| − 1}et a=bq +r.
Proc´edure Division(a, b).
(q, r)←DivisionN(|a|,|b|),
Si a≥0 alors
Si b < 0 alors q← −q, Finsi.
Sinon (a < 0)
Si b < 0 alors
si r̸= 0 alors q←q+ 1, r← −b−r, finsi.
Sinon (b≥0)
si r̸= 0 alors q← −q−1, r←b−r,
sinon (r= 0) q← −q, finsi.
Finsi.
Finsi.
L12. Partie 2. Diviseurs, multiples.
D´efinitions. Soient a, b ∈Z.
a) On dit que best multiple de a(ou que aest un diviseur de bou que adivise b) s’il existe c∈Ztel
que b=ac.
b) On note D(a) l’ensemble de tous les diviseurs de a. On a : D(0) = Zet si a̸= 0 alors D(a) est un
ensemble fini (D(a) est inclus dans {−a, . . . , 0, . . . a}).
c) On note aZl’ensemble de tous les multiples de a. On a 0Z={0}et 1Z=Z.
Exercice 3. Soit n∈N. Montrer que le produit de nnombres cons´ecutifs est divisible par n!.
Propri´et´e (Crit`ere de divisibilit´e avec la division euclidienne). Soient a, b ∈Ztels que a̸= 0,
adivise bsi et seulement si le reste de la division euclidienne de bpar aest 0.
Propri´et´es (La divisibilit´e est une relation d’ordre sur N). Soient a, b, c ∈Z.
1) adivise a, 2) (adivise bet bdivise a) si et seulement si |a|=|b|,
3) si adivise bet bdivise calors adivise c.
Propri´et´e (Compatibilit´e entre divisibilit´e et multiplication). Soient a, b, c ∈Ztels que a̸= 0,
bdivise csi et seulement si ab divise ac.
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Propri´et´es (l’ensemble des multiples est un id´eal). Soit b∈Z. Soient a, a′∈bZet soit c∈Z.
1) a−a′∈bZ(bZest stable par soustraction), 2) ac ∈bZ(bZest absorbant).
Exercice 4. Soit Gun sous-ensemble non vide de Zstable par soustraction (on dit que Gest un sous-
groupe de Z). Montrer qu’il existe n∈Ntelque G=nZ.
Exercice 5. D´eterminer les triplets d’entiers (x, y, z)∈N3tels que 0 < x ≤y≤zet xyz = 4(x+y+z).
L12. Partie 3. Ecriture d’un entier dans une base de num´eration.
Th´eor`eme et d´efinitions. Ecriture d’un entier dans une base de num´eration.
Soit b∈N r {0,1}(la base de num´eration). Un entier a∈Ns’´ecrit en base b:
a=
∞
i=0
cibi=c0+c1b+c2b2+c3b3+c4b4+. . .
o`u (ci)i∈Nest une suite d’´el´ements de {0,1, . . . , b −1}tous ´egaux `a 0 `a partir d’un certain rang (la suite
des chiffres de a´ecrit en base b).
Supposons a̸= 0. Soit nle plus petit entier tel que ck= 0 pour tout k≥n. On dit que cn−1. . . c1c0est
l’´ecriture de aen base bet que nest le nombre de chiffres de a´ecrit en base b.
Propri´et´e. Deux entiers sont ´egaux si et seulement si tous leurs chiffres ´ecrits en base bsont ´egaux.
Algorithme d’´ecriture d’un entier dans une base de num´eration.
Entr´ee a, b ∈Ntels que b̸= 0.
Sortie nle nombre de chiffres de a´ecrit en base bet c[n−1] . . . c[1] c[0] l’´ecriture de aen base b.
a′←a,n←0.
Tantque a′≥bfaire
(a′, c[n]) ←Division(a′, b), n←n+ 1,
fintantque.
c[n]←a′,n←n+ 1.
Remarque : Une base b∈N r {0,1}´etant choisie. Il existe des algorithmes permettant de d´eterminer
l’´ecriture en base bde a+a′,a−a′,aa′, du quotient et du reste de la division euclidienne de apar a′
(si a′̸= 0) `a partir de l’´ecriture en base bde aet a′. Ces algorithmes sont enseign´es `a l’´ecole primaire
dans le cas particulier de la base dix. Ils utilisent des tableaux de donn´ees annexes : la table d’addition
et la table de multiplication en base b(qu’il faut pr´ealablement ´etablir). Il importe de ne pas confondre
l’algorithme de division en base dix et l’algorithme de division euclidienne (des nombres abstraits).
Exercice 6. D´etermier le chiffre des unit´es de 2101 en base dix.
L12. Partie 4 (Compl´ement). Division euclidienne dans C[X].
Th´eor`eme. Division euclidienne des polynˆomes (dans C[X]).
Soient A, B ∈C[X] des polynˆomes tels que B̸= 0. Il existe des polynˆomes Q, R ∈C[X] uniques tels que
deg(R)<deg(B) et A=BQ +R.
Corollaire. Th´eor`eme de la racine.
Soit a∈Cun nombre complexe. Soit P∈C[X] un polynˆome. Alors P(a) = 0 (on dit que aest une
racine de P) si et seulement si X−adivise P(X).
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L13. PGCD, PPCM de deux entiers naturels.
L13. Pr´e-requis.
1) L12. Division euclidienne dans Z. Diviseurs D(a), multiples aZ. Ecriture d’un entier dans une base.
L13. Partie 1. PGCD, PPCM.
D´efinitions. PGCD. Nombres premiers entre eux. Soient a, b ∈Zdes entiers non tous deux nuls.
a) On note pgcd(a, b) le plus grand entier de l’ensemble D(a)∩D(b), c’est `a dire le plus grand des diviseurs
communs `a aet b. Pour tout a̸= 0 on a : pgcd(a, 0) = |a|mais pgcd(0,0) n’a pas de sens.
b) Si pgcd(a, b) = 1 on dit que aet bsont premiers entre eux, cela veut dire que aet bn’ont pas d’autre
diviseurs communs dans Zque −1 et 1.
Propri´et´e. Soient a, b ∈Zdes entiers non tous deux nuls. On a : D(a)∩D(b) = D(pgcd(a, b)).
Propri´et´es. R´eduction pour le calcul du pgcd. Soient a, a′, b ∈Z r {0}des entiers non nuls.
1) Si a−a′∈bZ(on dit que aet a′sont congrus modulo b) alors pgcd(a′, b) = pgcd(a, b).
2) Soient qet rle quotient et le reste de la division euclidienne de apar b, alors : pgcd(a, b) = pgcd(b, r).
Remarque : La r´eciproque de 1) est fausse pgcd(4,3) = 1 = pgcd(2,3) mais 4 −2̸∈ 3Z.
Propri´et´es. Homog´en´eit´e du pgcd. Soient a, b, c ∈Z r {0}des entiers non nuls.
1) On a : pgcd(ab, ac) = |a|pgcd(b, c).
2) Les entiers a
pgcd(a, b)et b pgcd(a, b)sont premiers entre eux.
3) On a : pgcd(a, b) divise pgcd(a, bc).
Exercice 1. Donner un exemple de deux entiers aet btels que aet b
pgcd(a, b)ne soient pas premiers
entre eux.
Rappel important : On note Ql’ensemble des nombres rationnels (xest un nombre rationnel s’il existe
a, b ∈Zavec b̸= 0 tel que x=a
b). Chaque couple (a, b) tel que x=a bs’appelle une ´ecriture frac-
tionnaire de x, par abus de notation, on note ´egalement ce couple a
b. Deux ´ecritures fractionnaires a bet
a′
b′(o`u a, b, a′, b′∈Zavec b̸= 0 et b′̸= 0) sont celle du mˆeme nombre rationnel si et seulement si ab′=a′b.
Exercice 2. Soit x∈Qtel que x > 0 un nombre rationnel strictement positif, montrer qu’il existe une
´ecriture fractionnaire unique de xde la forme a
bavec a, b ∈N r {0}tel que pgcd(a, b) = 1. On appelle
cette ´ecriture la forme irr´eductible de x.
D´efinition. PPCM. Soient a, b ∈Z r {0}des nuls entiers non, on note ppcm(a, b) le minimum de
l’ensemble aZ∩bZ∩N r {0}(c’est `a dire le plus petit multiple commun de aet bstrictement positif).
Propri´et´es. Soient a, b ∈Z r {0}.
1) On a : aZ∩bZ= ppcm(a, b)Z.
2) On a : ppcm(a, b) pgcd(a, b) = |ab|.
Exercice 3. D´eterminer l’ensemble des couples (a, b)∈N r {0} × N r {0}tels que :
ppcm(a, b) + ppcm(a, b) = b+ 9.
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