Exercice 1 Rappel : soit p un nombre premier, a ∈ ℤ∗ . On a : p/a ou PGCD(p, a) =1. Soit p un nombre premier, a et b ∈ ℤ∗ , montrer que si p divise ab, alors p divise a ou p divise b. Exercice 2 On considère l'équation (E) : 8x − 5y = 1 où x et y sont des entiers relatifs. 1. Trouver un couple (x 0 , y 0 ) d'entiers relatifs solution de cette équation. 2. Résoudre l'équation (E) . 3. Un nombre entier positif n, divisé par 8, donne pour reste 1. Ce même nombre, divisé par 5, donne pour reste 2. Montrer que les nombres n sont ceux de la forme n = 17 + 40k où k ∈ ℕ . Exercice 3 Chercher tous les couples (a, b) d'entiers naturels, avec a < b, tels que : PGCD(a, b) = 6 ab = 2700 Que vaut le PPCM des couples solutions ? Exercice 4 Soit n = 200 = 23 ×52 . 1. Quel est le nombre N des diviseurs de n ? 2. Donner la liste des diviseurs par ordre croissant. 3. Montrer que le produit p de tous ces diviseurs vérifie p 2 = n N .