Exercice 1 Rappel : soit p un nombre premier, a ∈ℤ . On a : p/a ou

Exercice 1
Rappel : soit p un nombre premier, a
∗
∈
ℤ
. On a : p/a ou PGCD(p, a) =1.
Soit p un nombre premier, a et b
∗
∈
ℤ
, montrer que si p divise ab, alors p divise a ou p divise b.
Exercice 2
On considère l'équation
(E)
:
8x 5y 1
− =
où x et y sont des entiers relatifs.
1. Trouver un couple
0 0
(x , y )
d'entiers relatifs solution de cette équation.
2. Résoudre l'équation
(E)
.
3. Un nombre entier positif n, divisé par 8, donne pour reste 1. Ce même nombre, divisé par 5,
donne pour reste 2.
Montrer que les nombres n sont ceux de la forme
n 17 40k
= +
où k
∈
ℕ
.
Exercice 3
Chercher tous les couples (a, b) d'entiers naturels, avec a < b, tels que :
PGCD(a, b) 6
ab 2700
=
=
Que vaut le PPCM des couples solutions ?
Exercice 4
Soit n = 200
3 2
2 5
= ×
.
1. Quel est le nombre N des diviseurs de n ?
2. Donner la liste des diviseurs par ordre croissant.
3. Montrer que le produit p de tous ces diviseurs vérifie
2 N
p n
=
.