S obligatoire et spécialité

Baccalaur´eat S La R´eunion juin 2004
Exercice 1 4 points
Commun `a tous les candidats
On consid`ere la fonction fd´efinie sur l’intervalle [0 ; + ∞[par
f(x)=1−x2e1−x2.
Son tableau de variations est le suivant :
x01
+∞
f(x)
1
0
1
Sa courbe repr´esentative Cet son asymptote ∆, d’´equation y=1,sonttrac´ees
en annexe, `a rendre avec la copie.
A - Lecture graphique
1. kest un nombre r´eel donn´e. En utilisant la repr´esentation graphique,
pr´eciser en fonction de kle nombre de solutions dans l’intervalle [0 ; + ∞[
de l’´equation f(x)=k.
2. n´etant un entier naturel non nul, d´eterminer les valeurs de npour les-
quelles l’´equation f(x)= 1
nadmet deux solutions distinctes.
B-D´efinition et ´etude de deux suites
1. Soit nun entier sup´erieur ou ´egal `a2.Montrerquel’´equation f(x)= 1
nad-
met deux solutions unet vnrespectivement comprises dans les intervalles
[0 ; 1] et [1 ; + ∞[.
2. Sur la feuille en annexe, construire sur l’axe des abscisses les r´eels unet
wnpour nappartenant `a l’ensemble {2; 3;4}.
3. D´eterminer le sens de variation des suites (un)et(vn).
4. Montrer que la suite (un) est convergente et d´eterminer sa limite.
Proc´eder de mˆeme pour la suite (vn). En d´eduire que les suites (un)et
(vn) sont adjacentes.
Exercice 2 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de sp´ecialit´e
Le plan complexe est rapport´e`aunrep`ere orthonormal direct (O,−→ u, −→ v); i
d´esigne le nombre complexe de module 1 et d’argument π
2.
Soient les points A, B et C d’affixes respectives i, 1 + i et −1+i.
Soit fl’application qui, `a tout point Mdu plan diff´erent de A, d’affixe z, associe
le point Mdu plan d’affixe ztel que :
z=iz+2
z−i.
1. a. D´eterminer les images de B et de C par l’application f.
b. Montrer que, pour tout nombre complexe zdiff´erent de i, on a la
relation :
(z−i)(z−i) = 1.
Baccalaur´eat S La R´eunion 1

c. Soit D le point d’affixe 1 + 2i. Placer les points A, B, C et D sur une
figure (unit´e graphique 4 cm).
D´eduire de la question pr´ec´edente une construction du point Dimage
du point D par l’ application f.
2. Soit Run nombre r´eel strictement positif.
Quelle est l’image par l’application fdu cercle de centre A et de rayon
R?
3. a. Montrer que, si l’affixe du point Mest un imaginaire pur diff´erent
de i, alors l’affixe du point Mest un imaginaire pur. Que signifie ce
r´esultat pour l’image par l’application fde l’axe imaginaire priv´edu
point A?
b. Soit Dla droite passant par le point A et de vecteur directeur −→ u.
D´eterminer l’ image de la droite Dpriv´ee du point A par l’application
f.
Exercice 2 5 points
Candidats ayant suivi l’enseignement de sp´ecialit´e
On rappelle la propri´et´e, connue sous le nom de petit th´eor`eme de Fermat :
✭✭ soit pun nombre premier et aun entier naturel premier avec p;alorsap−1−1
est divisible par p✮✮ .
1. Soit pun nombre premier impair.
a. Montrer qu’il existe un entier naturel k,nonnul,telque2
k≡1[p].
b. Soit kun entier naturel non nul tel que 2k≡1[p]etsoitnun entier
naturel. Montrer que, si kdivise n,alors2
n≡1[p].
c. Soit btel que 2b≡1[p],b´etant le plus petit entier non nul v´erifiant
cette propri´et´e.
Montrer, en utilisant la division euclidienne de npar b,quesi2
n≡
1[p], alors bdivise n.
2. Soit qun nombre premier impair et le nombre A=2
q−1.
On prend pour pun facteur premier de A.
a. Justifier que : 2q≡1[p].
b. Montrer que pest impair.
c. Soit btel que 2b≡1[p],b´etant le plus petit entier non nul v´erifiant
cette propri´et´e.
Montrer, en utilisant 1. que bdivise q.End´eduire que b=q.
d. Montrer que qdivise p−1, puis montrer que p≡1[p].
3. Soit A1=2
17 −1. Voici la lisle des nombres premiers inf´erieurs `a 400 et
qui sont de la forme 34m+1,avecmentier non nul : 103, 137, 239, 307.
En d´eduire que A1est premier.
Exercice 3 5 points
Commun `a tous les candidats
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le num´erodelaquestionetlalettrecorres-
pondant `alar´eponse choisie. Aucune justification n’est demand´ee.
Une r´eponse exacte rapporte 1 point ; une r´eponse inexacte enl`eve un demi-
point ; l’absence de r´eponse est compt´ee 0 point.
Si le total est n´egatif, la note est ramen´ee `a0.
Premi`ere partie
Baccalaur´eat S La R´eunion 2

Pour r´ealiser des ´etiquettes de publipostage, une entreprise utilise deux banques
de donn´ees :
B1, contenant 6000 adresses, dont 120 sont erron´ees et 5 880 sont exactes,
B2, contenant 4 000 adresses, dont 200 sont erron´ees et 3800 sont exactes.
1. On pr´el`eve au hasard, avec remise, 10 ´etiquettes parmi les 6 000 r´ealis´ees
`a l’aide de B1. La probabilit´e qu’exactement trois de ces ´etiquettes com-
portent une adresse erron´ee est :
A:120
3+5880 7
6000
10 B: 3
120
C: 10
3×120 60003
×5880
60007
D: 10
3×3 1203
×7
58807
2. Parmi les 10 000 ´etiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant que
l’´etiquette comporte une adresse exacte, la probabilit´e qu’elle ait ´et´er´ealis´ee
`a l’aide de B1est :
A:0,98 B : 0,4×0,95
0,6×0,98 + 0,6×0,02 C:0,6×0,98 D : 0,6×0,98 0,6×0,98 + 0,4×0,95
Deuxi`eme partie
La dur´ee de vie, exprim´ee en heures, d’un robot jusqu’`a ce que survienne la
premi`ere panne est mod´elis´ee par une loi de probabilit´epde dur´ee de vie sans
vieillissement d´efinie sur l’intervalle [0 ; + ∞[ (loi exponentielle de param`etre
λ=0,000 5). Ainsi la probabilit´e que le robot tombe en panne avant l’instant t
est :
p([0 ; t[) = t
0
λe−λx dx.
1. La probabilit´e qu’un robot ait une dur´ee de vie sup´erieure `a 2 500 heures
est :
A: e
−2500
2000 B: e5 4C: 1−e−2500 2000 D: e
−2000
2500
2. La dur´ee de vie moyenne d’un robot m´enager est donn´ee par la formule :
E = lim
t→+∞t
0
λxe−λx dx.
a. L’int´egrale lim
t→+∞
λxe−λx dxest ´egale `a:
A:λt2
2e−λt B:−te−λt−e−λt λ+1 λC:λte−λt−λe−λt−λD:te−λt−e−λt −λ
b. La dur´ee de vie moyenne des robots, exprim´ee en heures, est :
A : 3 500 B : 2 000 C : 2 531,24 D : 3 000
Exercice 4 6 points
Commun `a tous les candidats
On d´esigne par fune fonction d´erivable sur Ret par fsa fonction d´eriv´ee.
Ces fonctions v´erifient les propri´et´es suivantes :
(1) pour tout nombre r´eel x, [f(x)]2−[(f(x)]2=1,
(2) f(0) = 1,
(3) la fonction fest d´erivable sur R.
1. a. D´emontrer que, pour tout nombre r´eel x, f (x)=0.
Baccalaur´eat S La R´eunion 3

b. Calculer f(0).
2. En d´erivant chaque membre de l’´egalit´e de la proposition (1), d´emontrer
que :
(4) pour tout nombre r´eel x, f  (x)=f(x), o`uf d´esigne la fonction
d´eriv´ee seconde de la fonction f.
3. On pose : u=f+fet v=f−f.
a. Calculer u(0) et v(0).
b. D´emontrer que u=uet v=−v.
c. En d´eduire les fonctions uet v.
d. En d´eduire que, pour tout r´eel x, f (x)= ex−e−x
2.
4. a. ´ Etudier les limites de la fonction fen +∞et en −∞.
b. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
5. a. Soit mun nombre r´eel. D´emontrer que l’´equation f(x)=ma une
unique solution αdans R.
b. D´eterminer cette solution lorsque m= 3 (on en donnera la valeur
exacte puis une valeur approch´ee d´ecimale `a10
−2pr`es).
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ANNEXE DE L’EXERCICE 1
`
Acompl´eter et `a rendre avec la copie
012
0 1
x
y
∆
O
C
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