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BTS Groupement A
Formulaire de math´ematiques autoris´e.
Exercice 1 BTS, Groupement A1, 2010 3 points
On consid`ere un syst`eme physique dont l’´etat est mod´elis´e par la fonction yde la variable t, solution
de l’´equation diff´erentielle :
y′′(t) + 4y(t) = 20 (1) .
1. D´eterminer la fonction constante hsolution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle (1).
2. D´eterminer la solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle (1).
3. En d´eduire l’expression de la fonction fsolution de l’´equation diff´erentielle (1) qui v´erifie les
conditions f(0) = 0 et f′(0) = 0.
Exercice 2 BTS, Groupement A1, 2007 8 points
On d´esigne par i le nombre complexe de module 1 dont un argument est π
2.
On consid`ere un filtre dont la fonction de transfert Test d´efinie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
T(ω) = iωk
1−iω
2
.
Le nombre kest un nombre r´eel strictement positif compris entre 0 et 1.
En associant trois filtres identiques au pr´ec´edent, on obtient un syst`eme dont la fonction de transfert
Hest d´efinie sur ]0 ; +∞[ par :
H(ω) = (T(ω))3.
1. On note r(ω) le module de H(ω). On a donc : r(ω) = |H(ω)|.
(a) Montrer que le module de T(ω) est kω
r1 + ω2
4
.
(b) En d´eduire r(ω).
2. (a) Justifier qu’un argument de (iωk)3est 3π
2.
Justifier qu’un argument de 1 −iω
2est −arctan ω 2.
En d´eduire qu’un argument de H(ω), not´ee ϕ(ω), est d´efini sur ]0 ; +∞[ par :
ϕ(ω) = 3π
2+ 3 arctan ω 2.
(b) On note ϕ′la d´eriv´ee de la fonction ϕ. Calculer ϕ′(ω) et d´eterminer le signe de ϕ′.
(c) D´eterminer les limites de la fonction ϕen 0 et +∞.
3. Dans le tableau ci-apr`es on donne les variations de la fonction rsur l’intervalle ]0 ; +∞[.
Recopier et compl´eter ce tableau en utilisant les r´esultats obtenus dans la question 2.
ω
r′(ω)
r(ω)
ϕ(ω)
ϕ′(ω)
0+∞
8k3
0
+
BTS Groupement A 1/4

4. Dans cette derni`ere question, on se place dans le cas o`u k =0,9.
Lorsque ωd´ecrit l’intervalle ]0 ; +∞[, le point d’affixe H(ω) d´ecrit une courbe C.
En annexe 1, `a rendre avec la copie, la courbe Cest trac´ee dans le plan complexe.
On note ω0la valeur de ωpour laquelle le module de H(ω) est ´egal `a 1.
(a) Placer pr´ecis´ement le point M0d’affixe H(ω0) sur le document r´eponse donn´e en an-
nexe 1.
(b) Calculer une valeur arrondie `a 10−2pr`es du nombre ω0, puis de ϕ(ω0).
Exercice 3 BTS, Groupement A1, 2010 9 points
Sp´ecialit´es CIRA, ´ Electrotechnique, G´enie optique, Syst`emes ´electroniques, TPIL
Dans cet exercice, on se propose d’´etudier dans la partie A une perturbation d’un signal continu et,
dans la partie B, la correction de cette perturbation par un filtre analogique.
Dans cet exercice, on note τune constante r´eelle appartenant `a l’intervalle [0 ; 2π] et on consid`ere
les fonctions fet gd´efinies sur l’ensemble IR des nombres r´eels, telles que :
•pour tout nombre r´eel t, f(t) = 1 ;
•la fonction gest p´eriodique de p´eriode 2πet :
g(t) = 0 si 0 6t < τ
g(t) = 1 si τ6t < 2π
Pour tout nombre r´eel t, on pose :
h(t) = f(t)−g(t)
La fonction hainsi d´efinie repr´esente la perturbation du signal.
1. Les courbes repr´esentatives des fonctions fet gsont trac´ees sur le document r´eponse no2.
(figures 1 et 2).
Sur la figure 3 du document r´eponse no2, tracer la repr´esentation graphique de la fonction h.
2. On admet que la fonction hest p´eriodique de p´eriode 2π.
Pour tout nombre r´eel t, on d´efinit la s´erie de Fourier S(t) associ´ee `a la fonction hpar
S(t) = a0+
+∞
X
n=1
(ancos(nt) + bnsin(nt))
(a) D´eterminer a0.
(b) Soit nun nombre entier sup´erieur ou ´egal `a 1.
Calculer Zτ
0
cos(nt) dt
et en d´eduire que
an=1
nπ sin(nτ).
(c) Montrer que pour tout nombre entier nsup´erieur ou ´egal `a 1,
bn=1
nπ (1 −cos(nτ)).
3. Soit nun nombre entier naturel. On associe `a nle nombre r´eel Antel que :
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•A0=a0
•An=ra2
n+b2 n
2si nest un nombre entier sup´erieur ou ´egal `a 1.
Montrer que, pour tout entier nsup´erieur ou ´egal `a 1, on a :
An=1
nπ p1−cos(nτ).
On suppose, pour toute la suite de l’exercice, que τ=π
4.
4. Compl´eter le tableau du document r´eponse no3avec des valeurs approch´ees `a 10−5pr`es.
5. La valeur efficace heff de la fonction hest telle que :
h2
eff =1
2πZ2π
0
[h(t)]2dt.
(a) Calculer h2
eff.
(b) Montrer que, pour tout τ∈[0 ; 2π], 0 61−cos(nτ)62, et en d´eduire que la s´erie
P=
+∞
X
n=0
A2
nconverge.
(c) Calculer une valeur approch´ee `a 10−4pr`es du nombre r´eel P3d´efini par P3=
3
X
n=0
A2
n.
(d) Calculer une valeur approch´ee `a 10−2pr`es du quotient P3
h2
eff
.
Annexe 1
Document r´eponse `a rendre avec la copie
−8−7−6−5−4−3−2−10123
−2
−1
0
1
2
3
4
5
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Document r´eponse no2, `a rendre avec la copie (exercice 1)
Figure 1 : courbe repr´esentative de f
1
−3π−2π−ππ2π3π0
Figure 2 : courbe repr´esentative de g
1
• • •
•••
−3π−2π−ππ2π3π0
Figure 3 : courbe repr´esentative de h
1
−3π−2π−ππ2π3π0
Document r´eponse no3, `a rendre avec la copie (exercice 1)
n0 1 2 3 4 5 6 7
An0,125 00 0,172 27 0,138 63 0,083 18 0,053 05 0,024 61
n8 9 10 11 12 13 14 15
An0,019 14 0,031 83 0,037 81 0,031 99 0,022 74 0,011 48
BTS Groupement A 4/4