THEORIE DES PROBABILITES LES « INCONTOURNABLES » Marc CHRISTINE

THEORIE DES PROBABILITES
LES « INCONTOURNABLES »
Marc CHRISTINE
Marc CHRISTINE - Théorie des probabilités - Les « Incontournables » 1

Ou ce qu’il est incontournable de connaître en théorie des
probabilités…
Ce document n’est pas un glossaire de TOUTES les définitions, propriétés, théorèmes ou formules du
cours, car il y en a bien d’autres, mais un condensé de ce qu’il paraît indispendable de savoir.
Le cadre général ou les hypothèses de chaque résultat rappelé n’étant pas toujours énoncés
explicitement, on se reportera au cours complet pour avoir la formulation la plus précise.
SOMMAIRE
Ou ce qu’il est incontournable de connaître en théorie des probabilités…............................................. 2
Chapitre 0 : éléments pour une approche épistémologique.................................................................... 3
Chapitre 1-1 : variables aléatoires, moments.......................................................................................... 6
Chapitre 1-2 : variables aléatoires, lois. ................................................................................................ 10
Chapitre 1-3 : variables aléatoires, changement de variables. ............................................................. 17
Chapitre 2 : produit de convolution........................................................................................................ 19
Chapitre 3 : fonctions caractéristiques. ................................................................................................. 21
Chapitre 4 : lois normales...................................................................................................................... 24
Chapitre 5 : convergences ponctuelles et fonctionnelles...................................................................... 29
Chapitre 6 : convergence en loi (et lien entre tous les modes de convergence). ................................. 31
Chapitre 7 : théorie asymptotique. ........................................................................................................ 36
Chapitre 8 : conditionnement, espérance conditionnelle. ..................................................................... 38
GLOSSAIRE SUR LES PRINCIPALES LOIS DE PROBABILITE USUELLES. ................................... 43
1ère PARTIE : Principales lois discrètes. ............................................................................................ 43
2ème PARTIE : Principales lois usuelles admettant une densité par rapport à la mesure de
LEBESGUE (cas réel)........................................................................................................................ 49
La galaxie des lois de probabilité. ......................................................................................................... 60
ELEMENTS DE BIBLIOGRAPHIE. ....................................................................................................... 61
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Chapitre 0 : éléments pour une approche épistémologique.
Définition et axiomatique élémentaire des probabilités.
Une probabilité sur un espace mesurable (Ω, A) est une application P de A dans [0, 1] vérifiant les
deux propriétés :
• P {Ω} = 1
• Pour toute famille dénombrable {A } d’évènements deux à deux disjoints, alors :
nNn∈
P { } = , en notant
∑
∈Nn
n
A
{
∑
∈Nn
n
AP
}
∑
∈Nn
n
A la réunion des A dans le cas où ils s’excluent
mutuellement. [Propriété dite de σ-additivité]
n
Propriétés élémentaires.
A et B étant deux parties de Ω, alors :
• Si A et B sont disjointes, dont la réunion sera notée A + B, alors :
P {A + B} = P {A} + P {B}.
• P {
C A} = 1 - P {A}, d’où : P { ∅} = 0.
• Si : A B , alors : P {A} P {B}. ⊂≤
• P {A ∪ B} = P {A} + P {B} - P {A
∩
B}
• Formule de POINCARE : elle généralise l’égalité précédente pour une réunion finie de n
évènements :
P { } = , où : S =
U
n
k
k
A
1=∑
=
−
−
n
k
k
kS
1
1
)1( k
{
}
∑
<<<
∩∩∩
k
k
jjj
jjj AAAP
...
21
21 ...
• P {A ∪ B} P {A} + P {B}. ≤
Plus généralement : pour un nombre fini k (non nul) d’évènements A1, A , ..., A :
2k
P { }
U
k
i
i
A
1=
≤
{}
∑
=
k
i
i
AP
1
avec égalité si et seulement si les A isont deux à deux disjoints.
Stabilité par limite croissante ou décroissante (ou « continuité monotone »).
• Pour une suite {A } d‘évènements croissante pour l’inclusion : lim ↑ An = (limite
croissante). Pour une suite {A } décroissante : lim ↓ A = (limite décroissante).
nU
Nn
n
A
∈
n n I
Nn
n
A
∈
On a alors les relations :
P {lim ↑ A } = lim ↑ P {A }
n n
P {lim ↓ A } = lim ↓ P {A }.
n n
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• Pour toute suite d’évènements D (non nécessairement monotone) :
n
P { }
U
Nn
n
D
∈
≤
∑
∈Nn
P {D }.
n
• Pour une suite quelconque d‘évènements {A } :
n
P {lim inf A } lim inf P {A }
n≤n
≤
lim sup P {A }
n
≤
P {lim sup A }
n
avec : lim sup A = et lim inf A = .
nIU
Nnnp
p
A
∈>
nUI
Nnnp
p
A
∈>
Indépendance d’évènements.
Des évènements {A } sont mutuellement indépendants ou indépendants dans leur ensemble ou,
par ellipse, indépendants si et seulement si :
n Nn∈
∀K ∈ N*, (i1, i 2,..., i ) ∈ N, i1 < i < ... < i P {A∀K
K2K⇒1
i
∩
A2
i
∩
...
∩
A} = ∏P {A }.
K
i
=
K
j1j
i
Dans ce cas : P { A} = P {A }.
I
Nn∈
n∏
∈Nn
n
Théorème de BOREL-CANTELLI.
• Si la série
{
}
∑
∈Nn
n
AP est convergente, alors : P { } = 0.
IU
Nnnp
p
A
∈>
• Si la série est divergente (de valeur + {
∑
∈Nn
n
AP
}
∞
) alors, sous l’hypothèse additionnelle
d’indépendance mutuelle des A : P { } = 1.
nIU
Nnnp
p
A
∈>
Théorème de convergence monotone (ou de Beppo LEVI).
Si {f n} une suite croissante de fonctions mesurables positives ou nulles définies sur (Ω, A, µ),
alors : lim ↑ ( ) = .
Nn∈
µ dfn
∫
µ dfn)lim(
∫↑
Lemme de FATOU.
Si {f } une suite de fonctions mesurables positives ou nulles définies sur (Ω, A, µ), alors :
n Nn∈
µ dfn)inf(lim
∫
≤
lim inf ( µ dfn
∫
).
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Théorème de convergence dominée.
Si {f } est une suite de fonctions mesurables définies sur (Ω, A, µ), convergeant simplement,
quand n tend vers + ∞, vers une fonction f et s’il existe une fonction mesurable g, positive ou nulle,
intégrable par rapport à µ, telle que : n
n Nn∈
∀
∈
N :│f│
n
≤
g, alors : (
∞+→nlim
µ dfn
∫
) = . µ dfn
n)lim(
∫∞+→
Mesure admettant une densité par rapport à une autre.
La mesure
ν
admettant la densité f (à valeurs dans +
I
R) par rapport à la mesure µ est définie par :
∀A
∈
A :
ν
{A} = .
∫Adf
µ
Notations :
ν
= f . µ, ou : f =
µ
ν
d
d, ou : d
ν
= f . dµ.
Intégration par rapport à une mesure admettant une densité par rapport à une autre.
Si
ν
= f . µ, alors, pour toute fonction g intégrable par rapport à
ν
:
∫
ν dg = µ
∫
dfg .
Mesure-image.
Soient un espace mesuré (Ω, A, µ), un espace mesurable (E, E) et T une application mesurable de Ω
dans E. La mesure-image de µ par T, notée µT, est la mesure définie sur la tribu E de l’espace
d’arrivée de T, par la relation : A’ ∈ E : µ {A’} = µ {T <A’>}. ∀T1−
Théorème de transfert.
On munit (E, E) de la mesure-image . Alors, si f est une application mesurable de (E, E) dans (R,
R) :
T
µ
f est intégrable par rapport à si et seulement si f T est intégrable par rapport à
T
µ o
µ
et l’on a
l’égalité : = ∫ = .
∫E
Txdxf )()(
µ
Ω)())((
ωµω dTf o∫Ω)()]([ ωµω dTf
Théorème de FUBINI.
Si les deux mesures µ1 et µ sont σ-finies et si f est intégrable par rapport à la mesure µ12
⊗
µ2,
alors : = .
∫Ω×Ω ⊗
21 ),()(),( 21212
ω
1
ωωµµω df ∫∫
ΩΩ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
12 )()(),( 112221
ωµωµωω ddf
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