Réseaux Bayésiens : calcul de lois marginales par élimination de

Université Paris 7 - M1 Ingénierie Informatique Année 2016-2017
TD de Introduction à l’Intelligence Artificielle n◦10
Réseaux Bayésiens : calcul de lois marginales par élimination
de variables
Rappels:
•Si X1,...,Xnsont des variables aléatoires de domaine réspectif D1,...,Dn, un facteur de cadre
{X1,...,Xn}est une fonction de D1×... ×Dndans R.
•Si φest un facteur de cadre {A1,..,Ak,B1,...,Bl}et ψest un facteur de cadre {B1,..,Bl,C1,...,Cm},
k,l,m≥0, le facteur produit φψ a pour cadre {A1,..,Ak,B1,...Bl,C1,...,Cm}et est défini par
φψ(a1,...,al,b1, ..., bl,c1, ..., cm) = φ(a1, ..., al,b1, ...,bl)∗ψ(b1,...,bl,c1,...,cm).
•Si φest un facteur de cadre {A1,..,Ak}, le facteur de marginalisation de Aidans φest le facteur ψ
de cadre {A1,..,Ai−1,Ai+1,..., Ak}défini par
ψ(a1,..,ai−1,ai+1,..., ak) = ∑
a∈dom(Ai)
φ(a1,...,ai−1,a,ai+1, ..., ak)
•Exemple: Soit Aune variable aléatoire booléenne uniforme. Sa loi de distribution 0 7→ 1/2, 1 7→
1/2 est un exemple de facteur de cadre {A}. Soit Bla variable aléatoire booléenne qui 9 fois sur
10 vaut A, une fois sur 10 vaut ¬A. La table de probabilité conditionnelle
(1,1)7→ 9/10;(1,0)7→ 1/10;(0,1)7→ 1/10;(0,0)7→ 9/10
est un exemple de facteur de cadre {A,B}. Les produit de ces deux facteur est le facteur de cadre
{A,B}suivant:
(1,1)7→ 9/20;(1,0)7→ 1/20;(0,1)7→ 1/20;(0,0)7→ 9/20
Le facteur de marginalisation de Adans ce dernier facteur est le facteur de cadre {B}donné par
07→ 1/2, 1 7→ 1/2.
•Soit Φun ensemble de facteurs, Xune variable. Pour éliminer X de Φil faut:
1. Faire le produit de tous les éléments de Φdont le cadre contient X(remarque: le produit de
facteurs est associatif et commutatif). Soit ψle facteur ainsi obtenu.
2. Calculer le facteur de marginalisation de Xdans ψ. Soit ρle facteur ainsi obtenu.
3. Ajouter ρaux éléments de Φdont le cadre ne contient pas X, et renvoyer l’ensemble de
facteurs ainsi obtenu.
Pour éliminer plusieurs variables d’un ensemble de facteurs, on ordonne ces variables et on les
élimine les unes après les autres.
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Exercice 1
Une source aléatoire émet un signal, 0 ou 1, avec probabilité 1/2,1/2. Le signal passe par trois relais, et à
chaque passage il est altéré (c.à.d. nié) une fois sur 100. On considère les variables aléatoires S,R1,R2,R3
désignant respectivement le signal emis par la source et le signal relayé par le i-ème relais, 1 ≤i≤3.
1. Donner le réseau bayésien de S,R1,R2,R3.
2. Exprimer P(S,R1,R2,R3)en utilisant les probabilités conditionnelles et les propriétés de séparation
de variables exprimées par le réseau.
3. Calculer la loi conjointe de S,R1,R2,R3, et en déduire la loi de R3.
4. Recalculer la loi de R3en utilisant l’algorithme d’élimination des variables, dans l’ordre S,R1,R2,
à partir de l’ensemble de facteurs du produit donné au point 2. de l’exercice.
Exercice 2
On reprend l’exemple de la dernière feuille de td sur les études, le loto etc...
P(E) = 2/3
P(L) = 10−6
P(T|E) = 4/5, P(T|E) = 1/2
P(H|T,L) = 9/10
P(H|T,L) = P(H|T,L) = 2/3
P(H|T,L) = 1/2
E
T
H
L
1. Exprimer P(E,T,L,H)en utilisant les probabilités conditionnelles et les propriétés de séparation
de variables exprimées par le réseau.
2. Calculer la loi de Hpar élimination des autres variables, à partir de l’ensemble de facteurs du
produit donné au point 1. de l’exercice.
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