Master 1 - M416 - Topologie —— 2013/14

Master 1 - M416 - Topologie
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2013/14 - Devoir surveill´ e n◦1
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Dur´ ee : 2h00
Exercice 1. (Vrai ou faux)
Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses.
Justifier la réponse par une courte preuve ou un contre-exemple.
a. Toute injection continue i:X→Y, où Xet Ysont des espaces topologiques compacts, induit un
homéomorphisme entre Xet son image i(X).
b. Il existe deux applications continues d’un même espace vers R2qui ne sont pas homotopes.
c. Il existe deux applications continues d’un même espace vers R\ {0}qui ne sont pas homotopes.
d. Soient Xun ensemble et x0∈X. On munit Xde la topologie discrète. Alors π1(X,x0) est trivial.
e. Soient Xun ensemble et x0∈X. On munit Xde la topologie grossière. Alors π1(X,x0) est trivial.
Exercice 2. (Projection stéréographique)
Pour n≥1, on considère la sphère
Sn={(x1,...,xn+1)∈Rn+1
x2
1+···+x2 n+1=1}
et son pole nord N=(0,...,0,1). La projection stéréographique p:Sn\ {N} → Rnassocie à tout
x∈Sn\ {N}l’unique point p(x)=(y1,...,yn)∈Rntel que les points N,x, et (y1,...,yn,0) soient
alignés.
a. Calculer p(x) pour tout x=(x1,...,xn+1)∈Sn\ {N}.
On fera un dessin illustrant la situation dans le cas n=2.
b. Montrer que pest un homéomorphisme.
Exercice 3. (Cône d’une espace topologique)
Le cône d’un espace topologique Xest l’espace quotient C(X)=X×[0,1]/X× {0}.
a. Montrer que C(Sn−1)Bnpour tout n≥1, où
Sn−1={(x1,...,xn)∈Rn
x2
1+···+x2
n=1}et Bn={(x1,...,xn)∈Rn
x2
1+···+x2
n≤1}.
[Indication : on pourra utiliser l’application (x,t)∈Sn−1×[0,1] 7→ tx ∈Bnpour construire un
homéomorphisme de C(Sn−1) vers Bn.]
b. Montrer que le cône d’un espace topologique est contractile.
Exercice 4. (Homotopies vs chemins)
Soient Xet Ydeux espaces topologiques. On munit l’ensemble C(X,Y) des applications continues de
Xvers Yde la topologie dite compact-ouvert, c’est-à-dire engendrée par les ensembles
W(K,U)={f∈ C(X,Y)|f(K)⊂U}
où Kest un compact de Xet Uun ouvert de Y.
Le but de l’exercice est de montrer que si Xest localement compact, alors l’ensemble des classes
d’homotopie d’applications de Xdans Yest l’ensemble des composantes par arcs de C(X,Y).
a. Soit H:X×[0,1] →Yune application continue.
Montrer que l’application α: [0,1] → C(X,Y), définie par α(t)=H(·,t), est continue.
b. On suppose que Xest localement compact, c’est-à-dire que tout point de Xadmet un voisinage
compact. Soit α: [0,1] → C(X,Y) une application continue.
Montrer que l’application H:X×[0,1] →Y, définie par H(x,t)=α(t)(x), est continue.
c. Conclure.