Espace projectif complexe Pn(C) A. Lesfari Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Chouaïb Doukkali B.P. 20, El-Jadida, Maroc. E. mail : [email protected] L'espace projectif complexe Pn (C) = {droites dans Cn+1 }, © ª = [Z0 : ... : Zn ] : (Z0 , ..., Zn ) ∈ Cn+1 \{0} , est l'ensemble des droites vectorielles complexes passant par l'origine de coordonnées dans Cn+1 où [Z0 : ... : Zn ] désigne la droite engendrée par le vecteur. La topologie sur l'espace Pn (C) est la topologie quotient déterminée par la surjection Cn+1 \{0} −→ Pn (C), (Z0 , ..., Zn ) 7−→ [Z0 : ... : Zn ]. L'espace topologique Pn (C) est séparé et compact. En outre, il est recouvert par n + 1 ouverts U0 , ..., Un où Ui = {[Z0 : ... : Zn ] ∈ Pn (C) : Zi 6= 0}, l'ensemble des droites pour lesquelles Zi 6= 0. Considérons, pour i = 0, ..., n, l'application (coordonnée locale dans Ui ), ¶ µ Zi−1 Zi+1 Zn Z0 n , ..., , , ..., ≡ (z1 , ..., zn ), ϕi : Ui −→ C , [Z0 : ... : Zn ] 7−→ Zi Zi Zi Zi avec Zk−1 si k ≤ j Z j (0.1) zk = Zk si k > j Zi où 1 ≤ k ≤ n. Il est évident que ϕi (Ui ) = Cn . L'application ϕi est un homéomorphisme ; l'homéomorphisme inverse étant donné par (z1 , ..., zn ) 7−→ [z1 , ...zi , 1, zi+1 , ..., zn ]. 1 2 A. Lesfari Donc Pn (C) est une variété topologique de dimension n et le couple (Ui , ϕi ), 0 ≤ i ≤ n, est une carte sur Pn (C). Comme Ui ∩ Uj = {[Z0 : ... : Zn ] ∈ Pn (C) : Zi 6= 0 et Zj 6= 0}, i 6= j alors (pour j > i), ϕi (Ui ∩ Uj ) = {(z1 , ..., zn ) ∈ Cn : zj 6= 0}, et ϕj (Ui ∩ Uj ) = {(z1 , ..., zn ) ∈ Cn : zi+1 6= 0}. Les applications de transitions sont dénies par ϕji ≡ ϕj ϕ−1 i : ϕi (Ui ∩ Uj ) −→ ϕj (Ui ∩ Uj ), µ ¶ z1 c zj 1 zn (z1 , ..., zn ) 7−→ , ..., , ..., , ..., , zj 6= 0 zj zj zj zj où le signe b signie à omettre. Pour ϕij ≡ ϕi ϕ−1 j , il sut de permuter les indices. On voit bien que les applications ϕji et ϕij sont analytiques. Les cartes Sn (Ui , ϕi ), (Uj , ϕj ) sont donc deux à deux compatibles et comme i=0 Ui = Pn (C), elles forment un atlas. Par conséquent, Pn (C) est une variété analytique. Par exemple, pour n = 1, on obtient la droite projective complexe ou sphère de Riemann P1 (C) = C ∪ {∞}. On a Ui = P1 (C)\{∞} = C, Uj = P1 (C)\{0} = C∗ ∪ {∞}, ϕi : Ui −→ C, application identique, ( 1 si z ∈ C∗ ϕi : Uj −→ C, z 7−→ ϕj (z) = z 0 si z = ∞ Les applications ϕi et ϕj sont des homéomorphismes. Notons que puisque Ui , Uj sont connexes et que Ui ∩ Uj 6= ∅, alors P1 (C) est aussi connexe et ϕi (Ui ∩ Uj ) = ϕj (Ui ∩ Uj ) = C∗ , 1 z 7−→ , z est une application biholomorphe. En utilisant la projection stréographique √ z0 + −1z2 si z 6= 1 S 2 −→ C ∪ {∞}, (z0 , z1 , z3 ) 7−→ 1 − z 3 ∞ si z3 = 1 ∗ ∗ ϕj ϕ−1 i : C −→ C , 3 A. Lesfari où S 2 = {(z0 , z1 , z3 ) ∈ C3 : |z0 |2 + |z1 |2 + |z2 |2 }, est la sphère unité de C3 , tout en comparant avec les coordonnées locales étudiées précédemment, on montre que P1 (C) est diéomorphe à S 2 . Une autre description de l'espace projectif complexe Pn (C) peut-être faite en le dénissant comme l'ensemble quotient de Cn+1 \{0} par la relation d'équivalence [Z0 : ... : Zn ] ∼ [λZ0 : ... : λZn ], λ ∈ C∗ . On écrit aussi Pn (C) = Soit {[Z] 6= 0 ∈ Cn+1 } . [Z] ∼ [λZ] Hi = {[Z0 : ... : Zn ] ∈ Pn (C) : Zi = 0}, l'hyperplan de Pn (C) d'équation Zi = 0, 0 ≤ i ≤ n. C'est un sous-espace projectif de dimension n − 1. L'application µ ¶ Z0 Zi−1 Zi+1 Zn n n ϕi : P (C)\Hi −→ C , [Z0 : ... : Zn ] 7−→ , ..., , , ..., , Zi Zi Zi Zi montre que Pn (C)\Hi est naturellement isomorphe à Cn . Posons Ui = Pn (C)\Hi = {[Z0 : ... : Zn ] ∈ Pn (C) : Zi 6= 0}. Comme Hi est un fermé, alors son complémentaire Ui est un ouvert. On munit Pn (C) de la topologie quotient de celle de Cn+1 \{0}, i.e., qu'un sousensemble de Pn (C) est fermé ou ouvert si et seulement si son image inverse par la projection Cn+1 \{0} −→ Pn (C) l'est. En outre, l'application ϕi est un homéomorphisme. Dès lors, un ensemble explicite de cartes sur Pn (C) est fourni par (Ui , ϕi ). Les coordonnées zk (12.0.1) sont les coordonnées anes sur Ui = Pn (C)\Hi . Chaque Hi est isomorphe à Pn−1 (C) (il sut d'omettre la i-ème coordonnée). On a Pn (C) = = = ' {[Z0 : ... : Zn ] ∈ Pn (C) : Zi 6= 0} ∪ {[Z0 : ... : Zn ] ∈ Pn (C) : Zi = 0}, Ui ∪ Hi , (Pn (C)\Hi ) ∪ Hi , Cn ∪ Hi . Tn Notons que i=0 Hi = ∅ car aucun point [Z0 : ... : Zn ] n'a toute ses coordonnées homogènes Zi égales à zéro. Dès lors, n n [ [ Ui = (Pn (C)\Hi ) = Pn (C). i=0 i=0 (en eet, soit ξ ∈ P (C), si Z0 , ..., Zn est un système de coordonnées homogènes de ξ , alors il existe i tel que : Zi 6= 0 et ξ ∈ Ui ). On a un ensemble explicite de cartes dénissant Pn (C) comme étant l'union de (n + 1) copies de Cn . n