Homologie cellulaire 1. Degré de l`application antipodale - IMJ-PRG

Homologie cellulaire
1. Degré de l’application antipodale
On note rnla réflexion sur la première coordonnée dans la sphère Sn:
(x0, . . . , xn)→(−x0, . . . , xn).
— Calculer le degré de rn.
— En déduire que le degré de l’application antipodale sur Snest (−1)n+1.
2. Les espaces projectifs
Première partie : On considère d’abord les espaces projectifs complexes Pn(C) = (Cn+1 \
{0})/C∗. L’inclusion standard S2n+1 →Cn+1 induit une application f:S2n+1 →Pn(C).
1– Construire un homéomorphisme entre B2n∪fPn−1(C)et Pn(C).
2– En déduire une décomposition cellulaire des espaces projectifs complexes.
3– Déterminer les groupes d’homologies (à coefficients dans Z) des espaces projectifs
complexes.
4– Déterminer leurs groupes fondamentaux.
Deuxième partie : On considère maintenant les espaces projectifs réels.
1– Etablir l’analogue des deux premières questions précédentes.
2– Montrer que le morphisme de bord CWi(Pn(R)) →CWi−1(Pn(R)) est la multiplica-
tion par 1+(−1)i+1.
3– En déduire les groupes d’homologies (à coefficients dans Z) de Pn(R)).
4– Déterminer leurs groupes fondamentaux.
3. Homologie des produits d’espaces
1– Donner une décomposition cellulaire du produit P2(R)×P2(R).
2– Montrer que le Z-module des i-chaînes cellulaires associées est isomorphe à :
X
a+b=i
CWa(P2(R)) ⊗CWb(P2(R)).
3– Montrer qu’avec l’écriture précédente l’opérateur bord s’écrit ∂⊗id + (−1)aid ⊗∂.
4– Calculer l’homologie (à coefficients dans Z) de P2(R)×P2(R).
4. Prescrire les groupes d’homologie
Soit n>2et (Ai)16i6nune suite de groupes abéliens de type fini.
1– Soit kun entier. Montrer qu’il existe une application S1→S1de degré k.
2– Montrer qu’il existe une application Sn→Snde degré k.
3– Montrer qu’il existe un espace topologique connexe Xn,k dont tous les groupes d’ho-
mologie Hi(Xn,k,Z)s’annulent sauf pour i= 0 et i=net tel que pour ce dernier,
Hn(Xn,k)'Z/kZ.
4– Montrer qu’il existe un complexe cellulaire Xde dimension ntel que, pour tout
16i6n, on a Hi(X, Z)'Ai.
5– Peut-on prendre pour Xune variété topologique ?
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2 Topologie différentielle et algébrique des variétés différentielles - M2 2014-2015
5. Calcul des groupes d’homologie d’une 3-variété - tiré de l’examen de 2013-2014
Soit Vle complexe cellulaire fini obtenu en identifiant les faces opposées d’un cube par
une translation suivie d’une rotation d’angle π/2.
1– Déterminer le nombre de 0-cellules, 1-cellules, 2-cellules et 3-cellules de V. En déduire
que Vest une variété. Indication : on pourra utiliser un critère vu en TD.
2– Montrer que le complexe cellulaire associé à Vest de la forme
0→Zd3 →Z3d2 →Z4d1 →Z2→0
et déterminer d3,d2et d1.
3– Calculer les groupes d’homologie Hi(V)pour i= 0,...,3.