Géométrie différentielle : exercices

Géométrie différentielle : exercices
Séance 2– 22 février 2012
Exercice 1. Montrer que le cercle S1, muni de la topologie induite par R2, est une
variété différentiable. Quel est le nombre minimal de cartes d’un atlas de S1?
Correction. Du point de vue topologique, S1est bien séparé et à base dénombrable
car sa topologie est induite par R2.
On peut définir un atlas à deux cartes (U, ϕ)et (V, ψ), où
U=S1\ {(1,0)}
et ϕ:U→]0; 2π[ : (x, y)7→ 
arccos(x)si y≥0
2π−arccos(x)si y < 0
V=S1\ {(−1,0)}
et ψ:V→]−π;π[ : (x, y)7→ 
arccos(x)si y≥0
−arccos(x)si y < 0
et les applications réciproques sont données par
ϕ−1(θ) = (cos(θ),sin(θ)) et ψ−1(θ) = (cos(θ),sin(θ))
de sorte que
(ψ◦ϕ−1)(θ) = 
θsi 0< θ < π
θ−2πsi π < θ < 2π
et (ϕ◦ψ−1)(θ) = 
θ+ 2πsi −π < θ < 0
θsi 0< θ < π
Les cartes Uet Vsont bien des ouverts de S1(pourquoi ?), les applications ϕ
et ψsont continues (pourquoi ?), leur réciproque également (pourquoi ?) donc ce
sont des homéomorphismes (parce que !). De plus, il est clair que les applications de
changement de cartes sont C∞(pourquoi ?).
D’un autre côté, 2est le nombre minimal de cartes, sinon S1serait homéomorphe
àR, ce qu’il n’est notoirement pas (pourquoi ?).

Exercice 2. Montrer que le groupe de matrices
SU(2) def =nA∈Gl(2,C)t.q. t¯ AA = Id det A= 1o
est une variété différentiable de dimension 3.
Aide Expliciter la définition de SU(2) et utiliser le fait que S3est une variété diffé-
rentiable.
Correction. Une matrice Ade SU(2) s’écrit
A= a b
c d!avec 
¯aa + ¯cc = 1
¯
bb +¯ dd = 1
¯ab + ¯cd = 0
ad −bc = 1
et ces équations impliquent
¯a= ¯aad −¯abc = (1 −¯cc)d+ ¯cdc =d
et ¯ b=¯ bad −¯ bbc =−¯ dcd −(1 −¯ dd)c=−c
donc le système est équivalent à
¯aa +¯ bb = 1
d= ¯a
c=−¯ b
et on en déduit
SU(2) = ( a b
−¯ b¯a!∈Gl(2,C)t.q. |a|2+|b|2= 1)
ce qui fournit un homéomorphisme avec S3, et donc une structure de variété sur
SU(2).
Exercice 3. On considère la sphère S3⊂R4comme les quaternions unités :
S3={q∈Ht.q. q¯q= 1}.
Soit Φ : U→R3:x+iy +jz +kw 7→ (y, z, w)où
U=nx+iy +jz +kw ∈S3t.q. x > 0o.
Pour chaque q∈S3, on définit la carte (Uq, ψq)par
ψq:Uq
def
=np∈S3t.q. q−1p∈Uo→B(0,1) ⊂R3:p7→ Φ(q−1p)
2

1. Vérifier que S3est la sphère usuelle de R4.
2. Vérifier que (Uq, ψq)est bien une carte (pour tout q∈S3).
3. Montrer que l’ensemble de ces cartes constitue un atlas différentiable pour S3.
Correction. La sphère est considérée avec sa topologie induite, pour laquelle
Uest bien un ouvert (pourquoi ?). On en déduit que Uqest également un ouvert
(pourquoi ?). De plus, comme q∈Uq, la réunion des Uqrecouvre bien la sphère.
L’application Φest évidemment continue (pourquoi ?) et sa réciproque
Φ−1:B(0,1) →S3: (y, z, w)7→ (q1−(y2+z2+w2), y, z, w)
est également continue (pourquoi ?), donc Φest un homéomorphisme. On en déduit
que ψqa pour réciproque
ψ−1
q:B(0,1) →Uq: (y, z, w)7→ qφ−1(y, z, w)
et est également un homéomorphisme car composé d’homéomorphismes.
Enfin, on a
(ψq◦ψ−1
r)(y, z, w) = Φ(q−1rΦ−1(y, z, w))
qui est bien différentiable sur son domaine, pour tout q, r : pour le voir sans calculs,
remplacer Φ−1par une application à valeur dans R4=H, et Φpar une application
dont le domaine est R4, et utiliser le fait que c’est maintenant une composition
d’applications différentiables.
Exercice 4. Soit (X, T)un espace topologique. On veut définir une topologie sur
¯
Xdef =Xt {∞}. Notons ¯ Tla collection des sous-ensemble Ude ¯ Xtels que Uest
ouvert dans X(lorsque ∞/∈U), ou X\Uest compact avec la topologie induite par
X(lorsque ∞ ∈ U).
1. Sous quelles conditions ¯ Test-il un espace topologique ?
2. Si (¯ R,¯ Tusuelle)est un espace topologique, est-il homéomorphe à un espace
connu ?
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