1. Vérifier que S3est la sphère usuelle de R4.
2. Vérifier que (Uq, ψq)est bien une carte (pour tout q∈S3).
3. Montrer que l’ensemble de ces cartes constitue un atlas différentiable pour S3.
Correction. La sphère est considérée avec sa topologie induite, pour laquelle
Uest bien un ouvert (pourquoi ?). On en déduit que Uqest également un ouvert
(pourquoi ?). De plus, comme q∈Uq, la réunion des Uqrecouvre bien la sphère.
L’application Φest évidemment continue (pourquoi ?) et sa réciproque
Φ−1:B(0,1) →S3: (y, z, w)7→ (q1−(y2+z2+w2), y, z, w)
est également continue (pourquoi ?), donc Φest un homéomorphisme. On en déduit
que ψqa pour réciproque
ψ−1
q:B(0,1) →Uq: (y, z, w)7→ qφ−1(y, z, w)
et est également un homéomorphisme car composé d’homéomorphismes.
Enfin, on a
(ψq◦ψ−1
r)(y, z, w) = Φ(q−1rΦ−1(y, z, w))
qui est bien différentiable sur son domaine, pour tout q, r : pour le voir sans calculs,
remplacer Φ−1par une application à valeur dans R4=H, et Φpar une application
dont le domaine est R4, et utiliser le fait que c’est maintenant une composition
d’applications différentiables.
Exercice 4. Soit (X, T)un espace topologique. On veut définir une topologie sur
¯
Xdef
=Xt {∞}. Notons ¯
Tla collection des sous-ensemble Ude ¯
Xtels que Uest
ouvert dans X(lorsque ∞/∈U), ou X\Uest compact avec la topologie induite par
X(lorsque ∞ ∈ U).
1. Sous quelles conditions ¯
Test-il un espace topologique ?
2. Si (¯
R,¯
Tusuelle)est un espace topologique, est-il homéomorphe à un espace
connu ?
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