Géométrie différentielle : exercices Séance 2 – 22 février 2012 Exercice 1. Montrer que le cercle S1 , muni de la topologie induite par R2 , est une variété différentiable. Quel est le nombre minimal de cartes d’un atlas de S1 ? Correction. Du point de vue topologique, S1 est bien séparé et à base dénombrable car sa topologie est induite par R2 . On peut définir un atlas à deux cartes (U, ϕ) et (V, ψ), où U = S1 \ {(1, 0)} et ϕ : U → ]0; 2π[ : (x, y) 7→ arccos(x) si y ≥ 0 2π − arccos(x) si y < 0 V = S1 \ {(−1, 0)} et ψ : V → ]−π; π[ : (x, y) 7→ arccos(x) − arccos(x) si y ≥ 0 si y < 0 et les applications réciproques sont données par ϕ−1 (θ) = (cos(θ), sin(θ)) et ψ −1 (θ) = (cos(θ), sin(θ)) de sorte que (ψ ◦ ϕ−1 )(θ) = et (ϕ ◦ ψ −1 )(θ) = θ θ − 2π θ + 2π θ si 0 < θ < π si π < θ < 2π si −π < θ < 0 si 0 < θ < π Les cartes U et V sont bien des ouverts de S1 (pourquoi ?), les applications ϕ et ψ sont continues (pourquoi ?), leur réciproque également (pourquoi ?) donc ce sont des homéomorphismes (parce que !). De plus, il est clair que les applications de changement de cartes sont C∞ (pourquoi ?). D’un autre côté, 2 est le nombre minimal de cartes, sinon S1 serait homéomorphe à R, ce qu’il n’est notoirement pas (pourquoi ?). Exercice 2. Montrer que le groupe de matrices def t n SU(2) = A ∈ Gl(2, C) t.q. ĀA = Id o det A = 1 est une variété différentiable de dimension 3. Aide Expliciter la définition de SU(2) et utiliser le fait que S3 est une variété différentiable. Correction. Une matrice A de SU(2) s’écrit ! A= a b c d āa + c̄c b̄b + dd ¯ =1 =1 avec āb + c̄d = 0 ad − bc = 1 et ces équations impliquent ā = āad − ābc = (1 − c̄c)d + c̄dc = d ¯ − (1 − dd)c ¯ = −c b̄ = b̄ad − b̄bc = −dcd et donc le système est équivalent à āa + b̄b =1 d = ā c = −b̄ et on en déduit ( SU(2) = ! ) a b ∈ Gl(2, C) t.q. |a|2 + |b|2 = 1 −b̄ ā ce qui fournit un homéomorphisme avec S3 , et donc une structure de variété sur SU(2). Exercice 3. On considère la sphère S3 ⊂ R4 comme les quaternions unités : S3 = {q ∈ H t.q. q q̄ = 1} . Soit Φ : U → R3 : x + iy + jz + kw 7→ (y, z, w) où n o U = x + iy + jz + kw ∈ S3 t.q. x > 0 . Pour chaque q ∈ S3 , on définit la carte (Uq , ψq ) par def n o ψq : Uq = p ∈ S3 t.q. q −1 p ∈ U → B(0, 1) ⊂ R3 : p 7→ Φ(q −1 p) 2 1. Vérifier que S3 est la sphère usuelle de R4 . 2. Vérifier que (Uq , ψq ) est bien une carte (pour tout q ∈ S3 ). 3. Montrer que l’ensemble de ces cartes constitue un atlas différentiable pour S3 . Correction. La sphère est considérée avec sa topologie induite, pour laquelle U est bien un ouvert (pourquoi ?). On en déduit que Uq est également un ouvert (pourquoi ?). De plus, comme q ∈ Uq , la réunion des Uq recouvre bien la sphère. L’application Φ est évidemment continue (pourquoi ?) et sa réciproque q Φ−1 : B(0, 1) → S3 : (y, z, w) 7→ ( 1 − (y 2 + z 2 + w2 ), y, z, w) est également continue (pourquoi ?), donc Φ est un homéomorphisme. On en déduit que ψq a pour réciproque ψq−1 : B(0, 1) → Uq : (y, z, w) 7→ qφ−1 (y, z, w) et est également un homéomorphisme car composé d’homéomorphismes. Enfin, on a (ψq ◦ ψr−1 )(y, z, w) = Φ(q −1 rΦ−1 (y, z, w)) qui est bien différentiable sur son domaine, pour tout q, r : pour le voir sans calculs, remplacer Φ−1 par une application à valeur dans R4 = H, et Φ par une application dont le domaine est R4 , et utiliser le fait que c’est maintenant une composition d’applications différentiables. Exercice 4. Soit (X, T ) un espace topologique. On veut définir une topologie sur def X̄ = X t {∞}. Notons T¯ la collection des sous-ensemble U de X̄ tels que U est ouvert dans X (lorsque ∞ ∈ / U ), ou X \ U est compact avec la topologie induite par X (lorsque ∞ ∈ U ). 1. Sous quelles conditions T¯ est-il un espace topologique ? 2. Si (R̄, T¯usuelle ) est un espace topologique, est-il homéomorphe à un espace connu ? 3