EPFL 29 octobre 2010
Topologie I
Prof. Kathryn Hess Bellwald
2ème année
2010-2011
Série 6
L’exercice 3 peut être rendu le 5 novembre au début de la séance d’exercices.
Exercice 1. Dans cet exercice, la droite réelle Rest munie de sa topologie usuelle, et tous ses
sous-espaces héritent de la topologie induite de sous-espace.
(a) Monter que Rest homéomorphe à l’intervalle ouvert (−1,1);
(b) Montrer que pour tous a, b ∈R, les sous-espaces (a, b)et [a, b]de Rsont homéomorphes à
(0,1) et [0,1], respectivement.
Exercice 2. Soit Xun ensemble quelconque, qu’on munit de deux topologies différentes Tet
T0. On considère la fonction identité Id : (X, T0)→(X, T).
(a) Prouver que Id est continue si et seulement si T0est plus fine que T;
(b) Prouver que Id est un homéomorphisme si et seulement si T0=T.
Exercice 3. Soient f: (X, T)→(X0,T0)un homéomorphisme et (A, TA)un sous-espace
quelconque de (X, T). Prouver que la restriction f|A: (A, TA)→(B, T0
B), est également un
homéomorphisme, où B=f(A).
Exercice 4. Soient (X, T)un espace topologique quelconque et (Y, T<)un espace topologique
muni de la topologie d’ordre. Soient f, g :X→Ydeux applications continues.
(a) Montrer que l’ensemble {x∈X|f(x)≤g(x)}est fermé dans X;
(b) Soit h:X→Yla fonction définie pour tout x∈Xpar h(x) = min {f(x), g(x)}. Montrer
que hest continue, en utilisant le Lemme de recollement.
Exercice 5.
On rappelle qu’un homéomorphisme entre deux espaces topologiques définit une correspon-
dance bijective entre les deux ensembles sous-jacents, qui préserve les structures topologiques
associées.
Une propriété d’un espace (X, T(X)) est appelée un invariant topologique de X, si tout
espace (Y, T(Y)), homéomorphe à X, possède également cette propriété.
Le but de cet exercice est de mieux saisir la notion d’invariance topologique, à travers quelques
(non)-exemples.
(a) Utiliser l’Exercice 1(a), pour voir si la propriété d’être borné est un invariant topologique.
(b) Considérer les suites (an) = (1,1/2,1/3, ...)et (bn) = (1,2,3, ...)dans R∗. En utilisant
l’application f:R∗→R∗définie par x7→ 1/x, décider si la propriété d’être une suite de
Cauchy dans Rest un invariant topologique ou pas.