Série 6

EPFL
Topologie I
Prof. Kathryn Hess Bellwald
2ème année
2010-2011
29 octobre 2010
Série 6
L’exercice 3 peut être rendu le 5 novembre au début de la séance d’exercices.
Exercice 1. Dans cet exercice, la droite réelle R est munie de sa topologie usuelle, et tous ses
sous-espaces héritent de la topologie induite de sous-espace.
(a) Monter que R est homéomorphe à l’intervalle ouvert (−1, 1);
(b) Montrer que pour tous a, b ∈ R, les sous-espaces (a, b) et [a, b] de R sont homéomorphes à
(0, 1) et [0, 1], respectivement.
Exercice 2. Soit X un ensemble quelconque, qu’on munit de deux topologies différentes T et
T 0 . On considère la fonction identité Id : (X, T 0 ) → (X, T).
(a) Prouver que Id est continue si et seulement si T 0 est plus fine que T;
(b) Prouver que Id est un homéomorphisme si et seulement si T 0 = T.
Exercice 3. Soient f : (X, T) → (X 0 , T 0 ) un homéomorphisme et (A, T A ) un sous-espace
quelconque de (X, T). Prouver que la restriction f |A : (A, T A ) → (B, T 0B ), est également un
homéomorphisme, où B = f (A).
Exercice 4. Soient (X, T) un espace topologique quelconque et (Y, T < ) un espace topologique
muni de la topologie d’ordre. Soient f, g : X → Y deux applications continues.
(a) Montrer que l’ensemble {x ∈ X | f (x) ≤ g(x)} est fermé dans X;
(b) Soit h : X → Y la fonction définie pour tout x ∈ X par h(x) = min {f (x), g(x)}. Montrer
que h est continue, en utilisant le Lemme de recollement.
Exercice 5.
On rappelle qu’un homéomorphisme entre deux espaces topologiques définit une correspondance bijective entre les deux ensembles sous-jacents, qui préserve les structures topologiques
associées.
Une propriété d’un espace (X, T(X)) est appelée un invariant topologique de X, si tout
espace (Y, T(Y )), homéomorphe à X, possède également cette propriété.
Le but de cet exercice est de mieux saisir la notion d’invariance topologique, à travers quelques
(non)-exemples.
(a) Utiliser l’Exercice 1(a), pour voir si la propriété d’être borné est un invariant topologique.
(b) Considérer les suites (an ) = (1, 1/2, 1/3, ...) et (bn ) = (1, 2, 3, ...) dans R∗ . En utilisant
l’application f : R∗ → R∗ définie par x 7→ 1/x, décider si la propriété d’être une suite de
Cauchy dans R est un invariant topologique ou pas.
(c) En vous appuyant sur un exemple, montrer que l’aire n’est pas une propriété topologique.
D’autres exemples d’invariants topologiques sont la connexité (par arcs) ou encore la compacité.
Ces notions seront étudiées en détails dans la suite du cours.
Exercice 6. Cet exercice complète la preuve de l’équivalence des deux définitions de continuité,
commencée au cours.
Soit f : R → R une fonction réelle d’une variable réelle. Montrer que f est continue au sens de
la définition (ε − δ) si et seulement si f est continue au sens usuel topologique.