Homotopie, revêtement et groupe fondamental - IMJ-PRG

Homotopie, revêtement et groupe fondamental
1. Un résultat de cours
Montrer que si un espace est contractile, il est simplement connexe.
2. Graphe et bouquet de cercles
1 On considère un graphe ni G. Soit a une arête de G dont les deux extrémités sont
distinctes. On note G0 = G/hai. Construire une équivalence d'homotopie entre G et
G0 .
2 Montrer qu'un graphe connexe ni a le même type d'homotopie qu'un bouquet de
cercles.
3 Déterminer le nombre de cercles apparaissant dans le bouquet en fonction du graphe.
3. Des variétés simplement connexes
1 Soit V une variété, deux ouverts O et O0 simplement connexes tels que V = O ∪ O0 et
que O ∩ O0 est connexe par arcs. Montrer que V est simplement connexe (tout lacet
est homotope à un lacet constant).
2 Montrer que les sphères Sn sont simplement connexes pour n > 2.
3 On considère les espaces projectifs Pn (C) = (Cn+1 \ {0})/C∗ . L'inclusion standard
S2n+1 ,→ Cn+1 induit une application f : S2n+1 → Pn (C). Construire un homéomorphisme entre B2n ∪f Pn−1 (C) et Pn (C).
4 Montrer par récurrence que les espaces projectifs complexes Pn (C) sont simplement
connexes.
4. Suspension d'homéomorphisme linéaire du tore
Soit T le tore R2 /Z2 et A une matrice de M(2, Z). On note GL(2, Z) l'ensemble des
matrices inversibles de M(2, Z) dont l'inverse est encore à coecients entiers.
1 A quelles conditions l'action linéaire de A sur R2 induit un homéomorphisme fA de
T?
2 On se place sous la condition ci-dessus et on considère la suspension MA de l'homéomorphisme fA :
MA = T × [0, 1]/(x, 0) ∼ (fA (x), 1).
Montrer que MA est homéomorphe à un quotient de R3 par un sous-groupe de transformations anes. La variété MA est-elle orientable ?
3 Montrer "à
la main
" que MA est une variété.
4 Montrer que MA et MA0 sont homéomorphes si A et A0 sont conjuguées dans GL(2, Z).
Montrer que c'est toujours le cas si A−1 et A0 sont conjuguées dans GL(2, Z).
5 Déterminer le groupe fondamental de MA .
6 Montrer que MA et MA0 sont homéomorphes si
sont conjuguées dans GL(2, Z).
1
et seulement si
A et A0 ou A−1 et A0
2
Topologie diérentielle et algébrique des variétés diérentielles - M2 2014/2015
5. Tores troués
On considère Tk le tore S1 × S1 privé de k > 1 points distincts.
Construire une équivalence d'homotopie entre Tk et un bouquet de cercles (on commencera
par k = 1).
Remarque : En fait, toute surface compacte privée d'un nombre ni (non nul) de points
a le même type d'homotopie qu'un bouquet de cercle.
6. La décomposition polaire
On veut montrer que le groupe GL(n, R) se rétracte sur O(n)). On note S l'ensemble des
matrices symétriques et S + l'ensemble des matrices dénies positives.
1 Montrer la décomposition polaire : l'application O(n) × S + → GL(n, R) donné par
(Q, S) 7→ QS est un homéomorphisme (c'est même un diéomorphisme).
2 Montrer que l'exponentielle réalise un homéomorphisme entre S et S + .
3 Conclure
Remarque :
On montre de même que GL(n, C) se rétracte sur U(n).
7. L'engrenage
On considère le sous-espace topologique E de C déni par :
6π
iθ
E = re | 0 6 r 6 1 et θ ∈
,n∈N
.
n
Montrer que E se rétracte par déformation sur 1. Peut-on construire une telle rétraction
par déformation qui laisse xe 1 ? (on parle alors de rétraction par déformation forte)
8. Groupes topologiques
Un groupe topologique est un groupe dont l'ensemble de base est muni d'une topologie
telle que la multiplication et l'inversion sont continus. Exemples : Z, R, S1 , SL(n, R), les
groupes de Lie en général...
√
1 Notons H le sous-groupe Z + 5Z de R. Décrire la topologie quotient sur H\R.
2 Soit G un groupe topologique et H un sous-groupe. A quelle condition la topologie
quotient sur H\G est séparée ?
3 On suppose maintenant que G est un groupe topologique connexe par arcs. Soient α
et β deux lacets basés en l'identité e de G. Montrer que la concaténation α · β est
homotope au lacet
αβ : t 7→ α(t)β(t).
4 Montrer que la concaténation α · β est aussi homotope au lacet βα.
5 Montrer que le groupe fondamental de G est commutatif ?