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Université Abdelhamid Ben Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et de l’Informatique
Département de Mathématiques
1ere Année Master MCO
Matière : Outils d’Analyse Fonctionnelle I
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N2
(31 Octobre 2016)
Opérateurs Linéaires Bornés
Exercise 1 Soit Tun opérateur linéaire d’un espace normé Xdans un espace
normé Y.
Montrer que Im Test un sous espace de Y.
Montrer que le noyau (ou espace nul) ker Test un sous espace de X.
Si Test borné, est-il vrais que Im Tet/ou ker Test fermé?
Exercise 2 Dans l’espace de Banach lp;1p 1;nous considérons la suite
(xn)convergente vers un élément x, où
xn= (xn1; xn2; : : :)et xn= (x1; x2; : : :):
Montrer que si xn!xdans lp;alors xnk!xkpour tout k2N:
Si xnk!xkpour tout k2N, est-il vrais que xn!xdans lp?
Exercise 3 Soit T une application linéaire de Rmdans Rn, les deux munis
d’une 2-norme. Soit (aij )la matrice nmcorréspondante à T.
Montrer que T est un opérateur linéaire avec
kTk2X
i
X
j
a2
ij :
Exercise 4 Soit Tun opérateur linéaire d’un espace normé Xdans un espace
normé Yet supposons Xde dimension …nie.
Montrer que Tdoit être borné.
Exercise 5 Soit Tun opérateur linéaire d’un espace vectoriel de dimension
…nie dans lui même.
Montrer que Test injectif si, et seulement si, Test surjectif.
Exercise 6 Soit Tune application linéaire de C1(R)dans lui même dé…nie
par T f =f0:
Montrer que Test surjectif.
Test-il injectif?
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