Réseau de Pétri

MOCA – CO12
1/4
Réseau de PETRI
Franchissement de transition
'MM t
avec
122121 // tttttt 
Matrice d’incidence
:C
1100
1100
0110
0110
0011
0011
6
5
4
3
2
1
4321
p
p
p
p
p
p
tttt
Accessibilité (
sCMMMdeaccM .
00 
)
t-semiflot
Supposons
0
0./ MMsCs 
 tel s alors s est une séquence répétitive stationnaire (SRS)
S’il existe un
0./ sCs
alors il existe peut être une SRS
S’il n’existe pas un
0./ sCs
alors
0
M
n’est jamais ré accédé
s
solution de
0. sC
avec
)(T
Ns 
Conservation des flots
S3 + S4 = S1 + S2
p-semiflot (invariant de marquage)
Supposons qu’il existe
0./
)(  CfNf tP
sCMM .
0
0..... 0 CfavecfsCfMfM tttt
fMfM tt .. 0
KfMfMMaccM tt  .. 00
KpMpffM t )(.)(. 00
S’il existe
0./ Cff t
alors
Pf 
une place P 
f
est dite couverte par un invariant
Alors il le réseau est conservatif.
On peut déterminer le p-semiflot général à partir des p-semiflot minimaux mais pas l’inverse.
Exemple
t1
t2
t3
t4

MOCA – CO12
2/4
1100
1100
0110
0110
0011
0011
6
5
4
3
2
1
4321
p
p
p
p
p
p
tttt
0000),,,,,( 654321 fffffff
t
0
0
0
0
0.
65
6543
4321
21
ff
ffff
ffff
ff
Cf
t
65
6453
3142
21
ff
ffff
ffff
ff
)1,1,0,0,0,0()0,0,1,1,0,0()0,0,0,0,1,1(),,,,,( 531553311 ffffffffff
t
Il existe 3 p-semiflot minimaux
Ce réseau est conservatif et structurellement borné (nombre de jetons toujours fini)
On peut déduire qu’un réseau est borné s’il est conservatif mais pas l’inverse
Propriétés du réseau
Réseau borné
KpMNKPpMdeaccM  )(/,
0
Exemple
{ }
1)(.1)(.11,)0,0,0,0,1,1( 212111  PMPMINVPPff
{ }
1)(.1)(.12,)0,0,1,1,0,0( 434333  PMPMINVPPff
{ }
1)(.1)(.13,)1,1,0,0,0,0( 656555  PMPMINVPPff
MMfMfINVPfCff ttt  3.3.0.).1,1,1,1,1,1( 0
P3
P4
P2
t1
t2
t4
t3
P1

MOCA – CO12
3/4
Activité
P3 non borné :
 4242
0tttt
M
Dead lock :
1
0t
M
On peut en déduire que le réseau est non vivant.
La transition t est dite vivante pour
0
M
si et seulement si
MaccMMdeaccM   0
pour lequel t
est franchissable.
Le réseau est vivant pour
0
M
si et seulement si toutes ses transitions sont vivantes.
Un réseau vivant est un réseau sans blocages mais pas uniquement car il peut être pseudo vivant.
Un réseau pseudo vivant ne se bloque jamais mais il fait du sur place.
Exemple
t1 et t2 sont vivantes
=> réseau pseudo vivant
t3 est non vivantes
Si le réseau est borné, il doit être conservatif
0./ Cff t
Pf 
Propriétés dérivables
Si le réseau est vivant et borné, il est conservatif.
Si le réseau est structurellement borné il est bornée pour tout marquage
0
M
Si le réseau est structurellement vivant
/
0
M
le réseau est vivant
Conditions nécessaires de vivacité
0./  Cff t
=> réseau non vivant
sCMM .
0
0..... 0 CfavecfsCfMfM tttt
fMfM tt .. 0
Propriété non monotone
Si R est vivant pour
0
M
00 MM 
, alors R n’est pas nécessairement vivant pour
0
M
.
P1
P2
t1
t2
t3

MOCA – CO12
4/4
Exemple
0. Cf
t
a+b+c+f+e+g = 1
a+d = 2
a+2b+c+g = 2
0
M
= 2d + 2R+f => réseau vivant
00 4
3
21
5MMMMMM t
t
tt
t
0
M
= 2d + 2R+2f => blocage total si j’augmente le marquage initial
Propriété non monotone
Non blocage
Si un réseau est non pseudo vivant => D est non contrôlé.
 un état de blocage total alors
 sous ensemble de place D avec D  P et D  0 /
.. DD 
D est un verrou
0/ )(0  D MMdeaccM
(le verrou ne contient plus de jeton il est déficient1)
=> si un réseau a tous ses verrous contrôlés alors il est pseudo vivant.
Un verrou D est contrôlé si et seulement si
0/, )(0  D MDpMaccM
.
prouver le vivacité
assurer le non blocage
assurer la pseudo vivacité
vivacité
a
d
t1
t2
t3
t4
t5
b
c
f
e
R