Réseau de Pétri

MOCA – CO12
Réseau de PETRI
Franchissement de transition
t
M

M ' avec t1 // t 2  t1  t 2   t 2  t1 
Matrice d’incidence
t1
t2
t3
t4
p1
1 1
0
0
p2
1 1
0
0
C : p3
p4
p5
p6
0
1 1
0
0
1 1
0
0
0
0
0
Accessibilité ( M
1 1
1 1
acc de M 0  M  M 0  C.s )
t-semiflot
Supposons
s / C.s  0  M  M 0
 tel s alors s est une séquence répétitive stationnaire (SRS)
S’il existe un s / C.s  0 alors il existe peut être une SRS
S’il n’existe pas un s / C.s  0 alors
s solution de C .s  0 avec s  N
M 0 n’est jamais ré accédé
(T )
t1
Conservation des flots
t2
S3 + S4 = S1 + S2
t3
t4
p-semiflot (invariant de marquage)
Supposons qu’il existe
f  N ( P ) / t f .C  0
M  M 0  C.s
M .t f  M 0 .t f  C.s .t f avec t f .C  0
 M . t f  M 0 .t f
 M acc M 0
M .t f  M 0 . t f  K
 M 0 .t f   f ( p).M 0 ( p)  K
S’il existe
f / t f .C  0 alors f  P
une place P 
f est dite couverte par un invariant
Alors il le réseau est conservatif.
On peut déterminer le p-semiflot général à partir des p-semiflot minimaux mais pas l’inverse.
Exemple
1/4
MOCA – CO12
t1
t
t2
t3
t4
p1
1 1
0
0
p2
1 1
0
0
p3
0
1 1
0
p4
0
1 1
0
p5
p6
0
0
0
0
f ( f1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 )  0
0
1 1
1 1
0
0
f1  f 2  0
 f1  f 2  f 3  f 4  0
f 
t
f .C  0 
 2
 f3  f4  f5  f6  0
f3 
 f5  f6  0
t
f1 
f4 
f5 
f5 
f2
f1  f 3
f4  f6
f6
f  ( f1 , f1 , f 3 , f 3 , f 5 , f 5 )  f1 (1,1,0,0,0,0)  f 3 (0,0,1,1,0,0)  f 5 (0,0,0,0,1,1)
Il existe 3 p-semiflot minimaux
f 1  (1,1,0,0,0,0)  f 1  {P1 , P2 }  INV 1  1.M ( P1 )  1.M ( P2 )  1
f 3  (0,0,1,1,0,0)  f 3  {P3 , P4 }  INV 2  1.M ( P3 )  1.M ( P4 )  1
f 5  (0,0,0,0,1,1)  f 5  {P5 , P6 }  INV 3  1.M ( P5 )  1.M ( P6 )  1
f  (1,1,1,1,1,1).t f .C  0  f  P  INV  t f .M 0  3  t f .M  3 M
Ce réseau est conservatif et structurellement borné (nombre de jetons toujours fini)
On peut déduire qu’un réseau est borné s’il est conservatif mais pas l’inverse
Propriétés du réseau
Réseau borné
M acc de M 0 , p  P K  N / M ( p)  K
Exemple
P1
t1
t4
t2
P2
P3
t3
2/4
P4
MOCA – CO12
Activité
2
4
2
4




P3 non borné : M 0 
t
Dead lock
t
t
t
1

: M0 
t
On peut en déduire que le réseau est non vivant.
La transition t est dite vivante pour
M 0 si et seulement si M acc de M 0 M  acc M pour lequel t
est franchissable.
Le réseau est vivant pour
M 0 si et seulement si toutes ses transitions sont vivantes.
Un réseau vivant est un réseau sans blocages mais pas uniquement car il peut être pseudo vivant.
Un réseau pseudo vivant ne se bloque jamais mais il fait du sur place.
Exemple
t1
P1
P2
t2
t1 et t2 sont vivantes
=> réseau pseudo vivant
t3 est non vivantes
t3
Si le réseau est borné, il doit être conservatif
f / t f .C  0 f  P
Propriétés dérivables
Si le réseau est vivant et borné, il est conservatif.
Si le réseau est structurellement borné il est bornée pour tout marquage
Si le réseau est structurellement vivant
M 0 / le réseau est vivant
Conditions nécessaires de vivacité
f / t f .C  0 => réseau non vivant
M  M 0  C.s
M .t f  M 0 .t f  C.s .t f avec t f .C  0
 M . t f  M 0 .t f
Propriété non monotone
Si R est vivant pour
M0
M 0  M 0 , alors R n’est pas nécessairement vivant pour M 0 .
3/4
M 0
MOCA – CO12
Exemple
R
a
t1
b
c
t3
t2
t4
d
t5
e
t
f
f .C  0
a+b+c+f+e+g = 1
a+d = 2
a+2b+c+g = 2
M 0 = 2d + 2R+f => réseau vivant
t5
t3
t1
t2
t4
M0 

M

M 
M

M 
M0
M 0 = 2d + 2R+2f => blocage total si j’augmente le marquage initial
Propriété non monotone
prouver le vivacité
assurer le non blocage
assurer la pseudo vivacité
vivacité
Non blocage
Si un réseau est non pseudo vivant => D est non contrôlé.
 un état de blocage total alors
 sous ensemble de place D avec D  P et D  0 /
.
D  D. D est un verrou
 M acc de M 0 / M ( D )  0 (le verrou ne contient plus de jeton il est déficient1)
=> si un réseau a tous ses verrous contrôlés alors il est pseudo vivant.
Un verrou D est contrôlé si et seulement si  M acc M 0 ,  p  D / M ( D )  0 .
4/4