Jauges. Différentiables et partitions de l`unité

Séminaire Choquet.
Initiation à l’analyse
M ICHEL L EDUC
Jauges. Différentiables et partitions de l’unité
Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse, tome 4 (1964-1965), exp. no 12, p. 1-10
<http://www.numdam.org/item?id=SC_1964-1965__4__A11_0>
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12-01
(Math. Semin., 1)
Séminaire CHOQUET,
Initiation à l’Analyse,
4e année, 1964/65, n° 12, 10 p.
6
DIFFÉRENTIABLES
JAUGES.
ET PARTITIONS DE
mai,
17 juin 1965
10 et
L’UNITÉ
par Michel LEDUC
Cette étude est faite dans le cadre des variétés
usuelle de difrérentiabilité
Le but de
banachiques,
’
la notion
avec
(différentiabilité forte).,
l’exposé est, après rappel
de certains résultats
sur
les normes
diffé-
rentiables, d’étendre les théorèmes de partition énoncés par S. IANG (~6~,J p. 25 à
30) pour des espaces de Hilbert séparables, à des variétés dont le modèle pourrait
pas admettre de
ne
différentiable.
norme
1.
des
Soient
et soit
. Si
f ~
D2 f(a)
voisinage
et
E~
(~(Q ,
est
F
F)
un
ouvert de
de
’
fonctions implicites.
k
Banach,
(resp.
EN,
Q
un
ouvert
fois différentiable
k
isomorphisme
de
E2
sur
en
F , alors
E2 , a a ~ ,
de
a,
si
k
1).
>
il existe V
V2’
=
a, tel que
f(V)
e st ouvert
et
F)
est le
k
graphe dans
foie différentiable
Autrement dit,
x e
x
V
d’une
E2
f (a) ) ) ~
en
et
y =
f(x)
fonction cp
(resp.
V~)
x
e
.
==> x~ =p(x. ,
y) .
.
Remarques.
(a)
A l’ordre
zéro,
les données étant les mémes
f
alors
et est
(b)
tp
existe,
x~ ),
relativement à
la continuité de
continue
Autre énoncé ; Soient
E
et
en
F
si
(a~ ,
de
D2
(il
f
suffit du reste de vérifier
existe,
Banach,
03A9
un
e
F) . Si f’ (a) est surjective et Ker f’ (a)
peut énoncer le théorème précédent avec E~ Ker f’(a)
quel supplémentaire de EZ .
=
admet
un
supplémentaire topologique.
en
a,
.
f
(1)
et est continue
f(a)) .
~ 03A9
ouvert de
E ,
a
est direct
( ),
alors
et pour
E2
n’impofte
et
on
M. LEDUC
2.
Quelque s
l’origine,
résultats
sur
les
normes
différentiables (dans
complémentaire
le
THÉORÈME 1. - Si la norme d’un espace de Banach est différentiable
plémentaire de l’origine, alors elle est de classe C1 .
Ce
résultat
THÉORÈME
mérique de
été annoncé par G. RESTREPO
a
2. - Si
est de classe
une norme
classe
et à
nulle
non
Théorème facile et bien connu9 mais
G. CHOQUET
la
fait remarquer que, les
a
réciproque
de
stir) .
bien
est
improbable
si
on ne
dans le
com-
[8].
0~ ,
alors il existe
une
fonction
nu-
/
support borné.
on
normes
est vraie.
réciproque
si la
ignore
étant des fonctions lipschitziennes,
suppose pas la fonction
lipschitzienne,
c’est-à-dire de dérivée bornée.
THÉORÈME
3. - Si
sphère qui
une norme
contient
est
différentiable
en un
admet l’hyperplan tangent
x
point
en ce
x,
point
plan d’appui.
En
effet,
convexes
alors
comme
{2)
la
unique
’
il
en
plans).
plan contenant x {propriété des
qu’ une différentiabiiité "plus faible" suffirait,
d’un hyperplan d’appui unique n’implique donc pas la différen-
est
ainsi,
coupe par tout
en
Notons du reste
et que l’existence
tiabilité.
E
,
étant de Banach, soient S
son dual.
sa
sphère
unité et
E l’espace quotient E’/R+
des demi-droites de
THÉORÈME
dans
4. -
est
Si v
Ce résultat est
et PHELPS
En
(2)
différentiable,
alors
Im{v’)
est dense
une
conséquence
x E
S :
effet, d’après le théorème 3,
3 t
de la
propriété suivante, démontrée
par BISHOP
[1]
[7] :
L’image deE E’ ; ~
alors
une norme
E .
e
R+ : 03BE
=
~(x) =- ~)
e
E’ -
est dense dans
( 0)
si
x e
S
E.
et ~ {x) _
tv’(x) .
alors elle l’est, et avec une différentielle constante,
contenant ce point {propriété des fonctions homogènes).
sur
la demi-droite
JAUGES
THÉORÈME
5. - Soit v
Ce résultat est
A
différe-ntirable,
une norme
t
de la
conséquence
alors
suivante démontrée par
propriété
[5] :
R. C. JAMES
alors
une
DIFFÉRENTIABLES
faiblement relativeubent compact.
eat
En effet
E
équivaut
faiblement relativement
S
reflexif
compacte
alors à
Enfin :
.
THÉORÈME
6. - Soit
travaux de V. L.
est
En
principalement
effet,
on
et dans
complètement
Cette construction
LEMME 7. - Il
propriétés
MULIAN [9],
3. Construction d’une
vient
admet
de
norme
à
répond
des
un
E
~°° (R+ ,
R)
Prendre pour
.
forme dfrférent1able.
[8].
différentiables dans plusieurs
normes
article
plus récent
de D. F. CUDIA
[4]
reformulé.
classe ~
une
question
sur
de E. NELSON
(Cf. [2]), l’idée
en re-
à A. DOUADY.
existe 03C6
sait que
R)
e
t
e
R
convexe
--
s
rivées de tous ordres, nulles à l’origine ;
~
alors
uae
été annoncé par G. RESTREPO
a
problème
E
~
On trouvera de nombreuses
où le
séparable,
de Banach
séparable
E’
Ce résultat
E
et
paire
)0 , 1 (
on en
avec
est de
déduit
une
classe C
avec
avec
cp
Semin.,
la
1)
symétrisée
de la
primitive de ..
dé-
fonction croissante
s’annulant à
l’origine.
M. LEDUC
On
rappelle que c C
~x~ = max |xn| ,
non
{x
=
E
H- ;
C =
réflex.if,
car l
N ;p
>
est
e space de Banach pour
un
n ça
1
est son dual.
~t
Considérons alors
v x e
X
co ,
=
la. restriction de
f
pro jection associée
tions indéfiniment
D’autre
part,
à
X
qui
dérivables,
f-1((0 ,
de toute demi-droite par
Finalement la jauge v
de
v
THÉORÈME 8. - Soit
borné, alors la jauge
de classe
En
fini,
1))
est linéaire
est immédiatement convexe,
f-1 (1)
du
de
est
1
et de rayons
de la
finie de fonc-
et
symétrique, et compris
2 ;3 enfin l’intersection
°
est
un
voisinage
point.
~ ~ ( ~~ ,
Banach, si il
1))
de
~y(~~v (xj )
existe
d’un des voisinages bornés
>
on
0
peut supposer
après
une
0
f ~ 1,
en
f
l’origine
est solution
en
0 .
E
équilibrés
R) - {0} à
de l’ origine
symétrique
et
considérant éventuellement
éventuelle translation.
Soient
y
une somme
e
support
s t
C .
effet,
f(0)
E
1/2 , composée
et de rayon
par
alors
~°~ .
est de classe
l’origine
1/2 ,
~~y - x~~
et si
confirme,
l’équation implicite f(x/t) = 1, or
est donc une norme de classe d° sur
4.
et
est
à la boule de centre x
entre les boules de centre
t
1/2])
positivement homogène.
1 -
e -f~
,
JAUGES
D’autre
donc
part,
e st
la jauge 03B3
Enfin,
sur
DIFFÉRENTIABLES
étant de classe
f
[-
le segment
de classe
équivalente à
En effet, ~
en
x, avec :
e >
0 ,
p > 0 ;
Cette construction constitue
norme.
elle est
2b x ~x~}
II ~i1
C~
la
une
k
compact,
t
E
[-
fois
il
en
uniformément différentiable
résulte que ~ x ~ 0 ,
Y
est
2b ~x~ , 2b ~x~]
réponse partielle
à la
question soulevée
dans
le théorème 1 ;9 mais l’obtention d’une norme, c’est-à-dire d’une jauge sousadditive, ne semble pas immédiate3 en particulier, la norme, associée à l’enve-
loppe
convexe
férentiable
(3)
sa
on
du
voisinage borné équilibré de l’énoncé, peut n’être même pas dif-
(3).
rencontre cette situation dans l’espace de Hilbert
est trop longue pour figurer ici.
description précise
séparable l2 ;9
mais
M. LEDUC
Dans cet ordre
d’idées,
[2]
R. BONIC et J. FRAMPTON ont annoncé
le résultat
suivant :
Soit
D
domaine borné de
un
f(5)
p alors
n
Ainsi,
à
il n’existe pas dans
p ~ 2N ;
p , si
p ~ 2N , si
avec
f
~
C(D)
R) ~
=
j~~
mais d’autre
support borné
de fonction à
part
on
de classe
supérieure
sait que
5. LEMME 9.
Ce lemme généralise une construction utilisée
paracompacité de s espaces métrique s séparable s.
Soient
E
un
dexée par E
x
espace
R
(2)
comme
(V )
pour prouver la
famille d’ouverts de
une
suite
( (x , n) )
E
(E
x
R)N ,
posons
B =V(x , r li
x ~
Vn
est
ouvert, et V
B , il vient
P
est localement
x
fini,
n
E N ,
V c B ;3
d’autre part :
eV .
P
car
V xe U
B , 3
j& EN:
x 6
By
3 p e N :
or
E ~ in-
définissons par récurrence
et
Il est trivial que
et
une
DIEUDQNNÈ
et telle que
Alors, étant donnée
V1 _
topologique, V(x , r)
par J.
V n ~ p, le
voisinage
(1/n)) ,
donc
de
r~ - (1/p) )
x ,
disjoint
de
est inclus dans
donc
JAUGES
Cas particulier. - En
continue par
à
rapport
DIFFÉRENTIABLES
particulier, soit g une fonction numérique sur
y (pour tout x ) , avec t’ x E E, g(x, x) ~ 0
E x E
. On
peut poser
~-normalité.
6. Condition suffisante de
(l)
E
Soit
(x, r)
~
on
e
espace vectoriel normé admettant
un
l’origine, dont
E
la
x
jauge
MR,
obtient facilement
réelle convenables
est de classe
y
V(x, r)
notons
en
(cf.
composant
lemme
y
un
voisinage borné équilibré de
C~ .
la pseudo-boule
par des fonctions
(y E E ;9 y(y - x)
r) ;3
variable
de
numériques
Alors, étant donnée
une suite de pseudo-boules
B , désignons par
r ) et V(x. , r,
respectivement les fonctions associées à
’vient, ? ne N :
et par
suite,
la
Si de plus
et que, par
cpn
-
(lin»
3 il
somme
étant localement finie, c’est
(2)
.
7),
E
est
une
fonction
séparable,
y
de
classe c positive
et telle que:
sachant que
suite,y la base d’entourages de l’espace E, associée aux pseudo-boules
réunion, appliquons le théorème suivant qui s’apparente à un théo-
est stable par
rème de Lindelöf :
THÉORÈME 10. et
V
une
Soient
X
ouvert 0 de
X
est la
espace uniforme, D une partie de X partout dense,
symétrigues stable par réunion quelconque, alors tout
un
base d’entourages
réunion des
W{x)
tels que
x E
D
~
Q .
,
03A9 ,
W E 03B3 , et
M. LEDUC
Il
résulte que tout ouvert 0 de
en
G’~ (E ,
donc il existe
A
est
fermé,
Finalement,
Nous
(0 , «~) )
A c
,
a(x)
>
dénombrable de pseudo-boules,
0
De même si
==>
telle que :
f2 ,
~~-norm~.ale,
appellerons
est réunion
(0 , ~) ) ,
il existe
si
E
telle que
toute variété X
où, quels
que soient
A
et
B
fermés disjoints, il existe ?
On
peut
alors énoncer :
PROPOSITION 11. - Tout espace vectoriel normé
classe Ck ,
La
séparabilité
tion du
séparable, qui admet
une
jauge de
Ck-normal.
est
du
modèle
paragraphe 59
a
été
indispensable
il semble néanmoins
pour pouvoir
qu’une adaptation
utiliser la construc-
convenable de la mé-
thode suivie par G. MOKOBODSKI (et qu’il a exposée à ce séminaire) pour démontrer
la paracompacité des métrisables, permettrait de se dispenser de cette hypothèse..
7. Théorème de
partition
de l’unité.
Nous dirons qu’un espace vectoriel normé est du type H
voisinages difféomorphes à l’espace tout entier.
si
l’origine admet
une
base de
Alors :
PROPOSITION 12. - Une variété paracompacte de classe
ek -normaux
l’unité de classe
dont les modèles
admet pour tout recouvrement ouvert,
et de
Ok ,
subordonnée à
ce
une
so~±
partition de
recouvrement.
effet, étant donné un recouvrement ouvert A de X , il existe un atlas sur
l’image de chaque carte soit le modèle tout entier et que les domaines
X ,
des cartes forment un recouvrement plus fin que R9 X étant paracompact (donc
En
tel que
aussi
régulier),
il existe
un
recouvrement ouvert localement fini
tel que
JAUGES
le recouvrement
il existe
V i
que
raffine le
au
en
sommde 03A3 03B8i ,
est localement
suite,
dans le
strictement
qui
tel
aux
locales, une fonction de.partition assoimages de Ai et i~i ; soit ~i la
sur
le
complémentaire
forme
un
de
Q.
recouvrement,
G~ .
de l’unité
et subordonnée
normé, qui
admet
une
jauge
y
de classe
C ,
type ~ .
effet,
est de
recouvrement ouvert
positive puisque
Remarque. - Un espace vectoriel
En
X
le résultat par zéro
donc de classe
partition
k
modèle
prolongeant
finie,
la
est de classe
est de
8’’!) ,
moyen des coordonnées
choix)
de
fonction obtenue
Par
p.
étant paracompact, donc normale
9
un
.
(axiome
La
précédent
d’après N. BOURBAKI ([3],
E 1 ,
Q..
Transportons,
ciée
DIFFERENTIABLES
ses
pseudo-boules
classe Ck ,
même
au
~est
est de classe
lui sont
point
sa
a
difféomorphes,
(comme
Y2
en
car
0)
et
réciproque.
BIBLIOGRAPHIE
[1]
BISHOP
(E.)
Convexity,
and PHELPS (R. R.). - The support functionals of a convex set,
p. 27-35. - Providence, American mathematical Society, 1963
of the Symposia in pure Mathematics, 7).
(Proceedings
[2]
[3]
BONIC (R.) and FRAMPTON (J.). - Differentiable functions on certain Banach
spaces, Bull. Amer. math. Soc., t. 71, 1965, p. 393-395.
générale, Chap. 9, 2e édition. BOURBAKI (Nicolas). - Livre III
Hermann, 1958 (Act. scient. et ind., 1045Bourbaki, 8).
Paris,
Topologie
M. LEDUC
12-10
[5]
CUDIA (Dennis F.). - The geometry of Banach spaces ; Smoothness, Trans. Amer.
math. Soc., t. 110, 1964, p. 284-314.
JAMES (Robert C.). - Weakly compact sets, Trans. Amer. math. Soc., t. 113,
[6]
LANG
[4]
1964,
p.
129-140.
(Serge) . -
Introduction to differentiable manifolds. - New
[7]
Publishers, 1962.
PHELPS (R. R.). - A representation theorem for bounded
Amer. math. Soc., t. 11, 1960, p. 976-983.
[8]
RESTREPO (Guillermo) . - Differentiable
math. Soc., t. 70, 1964, p. 413-414.
York,
Inter-
science
[9] 0160MULIAN (V. L. ) . Banach,
Mat.
norms
Sur la structure de la
Sbornik,
N.
S.,
t.
9, 1941,
convex
sets, Proc.
in Banach spaces, Bull. Amer.
sphère unitaire
p. 545-561.
dans
l’espace
de