inversibilite

Université Abdelhamid Ben Badis Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et Informatique
Département de Mathématiques et d’Informatiques
Master1 AF-AH-MCO
Matière : Analyse Spectrale des Opérateurs II
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Inversibilité des Opérateurs Linéaires
1 Motivation
Soient Xet Ydeux espaces vectoriels et Aun opérateur linéaire de Xdans Y.
Considérons l’équation linéaire
Ax =y(1)
où xest la fonction inconnue dans Xet yest une fonction donnée dans Y.
Voici quelques questions concernant cette équation.
1. Est ce que la solution xde l’equation (1) existe pour tout y2Y?
2. Si la solution xde l’equation (1) n’existe pas pour tout y2Y, alors quelles
sont les conditions sur ypour l’existence de la solution ?
3. Comment trouver la solution xde l’equation (1) exactement ou approxi-
mativement ?
4. La solution xde l’equation (1) est-elle unique ?
5. Si la solution xde l’equation (1) n’est pas unique, alors quel est le nombre
de solutions ?
6. Existe-il, en dimension in…nie, un résultat analogue à celui de la dimension
…nie :
Theorem 1 Si Xest de dimension …nie et L:X!Xest un opérateur
linéaire, alors les conditions suivantes sont équivalentes :
i) Lest injectif;
ii) Lest surjectif;
iii) Lest bijectif.
Exemple 2 Soient les opérateurs de translations (shifts à droite et à gauche)
dans l2:
Sd:l2!l2
x7! Sdx= (0; x1; x2; :::) ;
Sg:l2!l2
x7! Sgx= (x2; x3;:::):
1

On montre facilement que Sdest injectif non surjectif et que Sgest surjectif
non injectif.
Exemple 3 L’opérateur di¤érentiel dé…ni sur le sous espace de tous les polynômes
:L:R[x]!R[x]
p7! Lp =d
dx p
est un opérateur surjectif non injectif.
De…nition 4 Soit Aun opérateur linéaire de Xdans Y.
L’opérateur B:Y!Xest dit opérateur inverse à droite de Asi AB =
IY:
L’opérateur B:Y!Xest dit opérateur inverse à gauche de Asi
BA =IX.
En…n, on dit que Best inverse de As’il est inverse à droite et à gauche.
Exemple 5 Pour les opérateurs de translations de l’exemple 2, on a
SdSg(x) = Sd(x2; x3;:::) = (0; x2; x3; :::)6=x;
donc SdSg6=Iet Sdn’est pas inverse à gauche de Sd:
Exemple 6 Soit l’opérateur di¤érentiel
A:C1[0;1] !C[0;1]
f7! Af =d
dx f;
et l’opérateur intégral
B:C[0;1] !C1[0;1]
g7! Bg (x) = Rx
0g()d:
On a
ABg (x) = d
dx Zx
0
g()d=g(x);
donc AB =Iet Aest un inverse à gauche de B. D’autre part, on a
BAf (x) = Zx
0
f0()d =f(x)f(0) :
Ainsi, si f(0) 6= 0; BA 6=Iet An’est pas un inverse à droite de B.
Lemma 7 Pour un opérateur linéaire Ade Xdans Y, les conditions suivantes
sont équivalentes :
1. La solution de l’equation (1) est unique pour tout y2Im A;
2. ker A=f0g;
2

3. Pour A, il existe un opérateur inverse à gauche.
Preuve. 2:)1:Si Ax1=yet Ax2=y, alors Ax1Ax2= 0 et comme Aest
linéaire on a A(x1x2) = 0 )x1=x2et la solution est unique.
1:)2:Il su¢ t de prendre y= 0, dans ce cas Ax = 0 et A0 = 0 et comme
la solution est unique, x= 0.
1:)3:Supposons que
8y2Im A; 9x2D(A) : Ax =y:
Construisons l’opérateur B:Y!Xqui à yfait corréspondre la solution x(
pour les autres y, l’opérateur Best dé…ni arbitrairement ou en général n’est pas
dé…ni. Ce qui implique que l’opérateur inverse n’est pas unique). Alors
BAx =By := x
donc Best inverse à gauche de A.
3:)1:Supposons que Aadmet un inverse à gauche et montrons que la
solution est unique. Soient Ax1=yet Ax2=y, alors
x1=BAx1=By et x2=BAx2=By
donc x1=x2:
Lemma 8 Pour un opérateur linéaire Ade Xdans Y, les conditions suivantes
sont équivalentes :
1. La solution de l’equation (1) existe pour tout y2Y;
2. Im A=Y;
3. Pour A, il existe un opérateur inverse à droite.
Preuve. 1:() 2:Cette équivalence découle de la dé…nition même de Im A:
1:)3:Soit exune des solutions de l’équation Ax =y: Construisons l’opérateur
B:Y!Xqui à yfait corréspondre la solution ex, i.e., By =ex: Alors
ABy =Aex:= y
donc Best inverse à droite de A.
3:)1:Si Bexiste, alors pour tout y2Y; le point x=By est solution de
l’équation Ax =ycar Ax =ABy =y:
Proposition 9 Montrer que si Aadmet un inverse à gauche A1
get un inverse
à droite A1
d;alors A1
g=A1
d=A1:
Remarque 10 Il se peut que, malgré que yest proche de ey, la solution x
di¤ère fortement de ex.
3

Formellement si x=A1yet ex=A1ey, l’exigence de la dépendance
continue du second membre est en fait l’exigence de la continuité de A1:
Si A1est non borné ( non continu), ce type de problème s’appelle prob-
lème mal posé de la phyisque mathématique au sens de Tikhonov-Arsenin
[1].
Si Aest linéaire et A1existe, alors A1est linéaire.
Si Aest borné et A1existe, alors A1n’est pas necessairement borné.
Par exemple l’opérateur d’intégration (exemple6) est borné par contre l’opérateur
de dérivation (exemple6) n’est pas borné.
Si Aest un opérateur compact et A1existe, alors Aest nécessairement
non borné. En e¤et, supposons Aun opérateur compact et comme A1est
borné, alors IX=AA1est aussi un compact et comme par dé…nition un
opérateur compact transforme tout borné en un précompact, en particulier
la boule unité fermée B(0;1) de l’espace vectoriel normé Xserait com-
pact, ce qui est absurde car sinon Xdoit être de dimension …nie d’aprés le
théorème de Riesz qui a¢ rme qu’un espace vectoriel normé est de dimen-
sion …nie si, et seulement si, sa boule unité fermée B(0;1) est compact.
De…nition 11 On dit que Aest inversible si A1existe et A1est borné.
Theorem 12 Soient Xun espace de Banach, Yun espace vectoriel normé et
A2L(X; Y )tels que
1. Im A=Y;
2. il existe C > 0 : kAxk  Ckxk;
alors Aest inversible.
Preuve. De la condition 2. si Ax = 0 alors
kxk  0)x= 0
donc A1
gexiste. Véri…ant maintenant que Im Aest fermé. Soit (yn)une suite
dans Im Aconvergente vers yet montrons que y2Im A. En e¤et, il existe
(xn)2Xtelle que Axn=yn;alors
kxnxmk  1
CkAxnAxmk=1 Ckynymk ! 0(car (ym)est convergente)
donc (xm)est une suite de Cauchy dans l’espace complet X. Par conséquent
(xm)converge vers x2X: Et par continuité de A,
Axn!Ax
yn!y)y=Ax )y2Im A:
4

Ainsi Im Aest fermé et d’aprés la condition 1.,Im A=Y. Il s’en suit du
Lemme8 que A=1
dexiste et d’aprés la proposition9, A1existe.
Maintenant, la condition 2. implique
kyk  C
A=1y
donc 
A=1y 1
Ckyk;
par conséquent A=1 est borné et par suite, Aest inversible.
Theorem 13 Si Xest un espace de Banach et A2L(X)tel que kAk<1,
alors l’opérateur S=P1
k=0 Akest inversible et son inverse est IA.
Preuve. Montrons que la série P1
k=0 Akconverge (elle dé…nie un opérateur).
On a 
1
X
k=0
Ak
1
X
k=0 
Ak =
1
X
k=0
kAkk=1
1 kAk(kAk<1) :
Rappelons le critère de Weistrauss qui a¢ rme qu’un espace normé est de Banach
si et seulement si, toute série absolument convergente est convergente. D’aprés
ce critère, puisque P1
k=0 Akest absolument convergente et comme L(X)est de
Banach alors L(X)est convergente. Ainsi Sest bien dé…ni comme opérateur.
Soit Sn=Pn
k=0 Ak;on a (IA)Sn=IAn+1 et Sn(IA) = IAn+1:
Comme Sn!Squand n!+1;alors
(IA)S=Iet S(IA) = I;
d’où
S= (IA)1=
1
X
k=0
Ak:
De plus
kSk=
(IA)1 =
1
X
k=0
Ak
1
X
k=0
kAkk=1
1 kAk;
donc Sest borné.
2 Théorème de Banach sur l’inverse
Lemma 14 Soient Xet Ydeux espaces de Banach et A:X!Yun opérateur
linéaire non nécessairement borné. Posons
En=fx2X:kAxk  nkxkg ;
alors
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