Chapitre 4 : Analyse en repères polaire, cylindrique et sphérique

Chapitre 4 : Analyse en repères polaire,
cylindrique et sphérique
1

Repère d’espace.
cylindriques:
r, , z z
r
U r , U , U z
Uz
U
Ur

OM  rU r  zU z

sphériques:
r, ,  r

U r , U , U
U
Ur
U

OM  rU r
2
Vecteurs vitesse et accélération
2.1.a
Expressions du vecteur vitesse en coordonnées polaires et cylindriques.

dr 
d  dz 
V M / R0   U  r U  U
dt r
dt  dt z
2.1.b
Expressions du vecteur vitesse en coordonnées sphériques.

 d 
dr 
d
V M / R0   U  r
sin U  r

dt r
dt
dt U 
2.1.c
Composantes
cylindriques.
du
vecteur
 d 2 r  d 

a M / R0    2  r  
 dt
 dt 

2.1.d
2
accélération
en
coordonnées
polaires
ou
   d 2
dr d   d 2 z 


U  2 U

r

2


z
U r  dt 2
dt
dt
dt


Cas des trajectoires planes : composantes intrinsèques.
V
T(M)
U
r
r
Uy
0
V
Ur

A(t=0)
Ux

ds 
ds 
V M / R0   T M   U
dt
dt

Équation 1

dV 
V 2 M  
a M / R0  
T M  
N M 
dt
r


avec N M  vecteur unitaire directement perpendiculaire à T M  orienté vers le centre du
rayon de courbure.

N
Le vecteur
est toujours dirigé vers la concavité de la trajectoire.
r
2.2
Mouvement de rotation autour d'un axe fixe.
V M / R   r 
2.3
d
HM
dt
Mouvement de rotation quelconque.
On remarque que si l’on associe au solide S un repère R1 en rotation quelconque par rapport à
R0, la relation précédente se généralise à la dérivation du vecteur OM (fixe dans R1) dans le
repère d’espace R0 :

 d OM 

  R1 / R0   OM
Équation 2
 dt 

 R0
d 1 / dt

R' / R   d 2 / dt où i(t) correspond à la composante de rotation du solide suivant l’axe i.
d 3 / dt
3
Exemples de mouvements simples du point
matériel.
3.1.a
Définition.
3.1.b
Propriétés.
3.1.c
Mouvement circulaire uniforme.