TD Outils Mathématiques Sciences Physiques 2022-2023

UVBF Année Universitaire 2022-2023
TD – Outils mathématiques pour les sciences physiques
Exercice 1
1- Dans un repère Ro, M à pour rayon vecteur
2( )
x y z
OM e e e= + +
- Déterminer les coordonnées cylindriques et sphériques de M.
- Exprimer
OM
dans les repères associés aux coordonnées cylindriques et sphériques.
2- Un point P à pour coordonnées sphériques r = 2 ; φ= π/2 ; θ= π/6. Exprimer
OP
dans
les repères cylindrique et cartésien.
Exercice 2
Soit le vecteur
22
()
x y z
V x y e xe xye= + + +
. O est l’origine de la base et on donne les points
suivants : A(1,1,1), B(1,0,0) et C(1,1,0). Calculer la circulation du vecteur
V
le long des
chemins OA et OBCA.
Exercice 3
Soient
32f x y z=+
et
2 3 3 2
(3 ) (2 )
x y z
A x y e zy e x z y e= + + + +
.
Calculer :
; . ; ;f A A f   
et
A
Exercice 4
Exercice 5
Résoudre les équations différentielles suivantes :
1) -5xy’ = 6y
2) 4y’- 16y = 20
3) 2y’’ – 6y’ + 2y = 0
4) 3y’’ – 3y’ + 3y = 0
5) y’’ – 2y’ + 5y = 0

Exercice 6
1) Calculer les intégrales suivantes :
23
5A x y dxdy=
;
2
4
3x
B dxdy
y
=
2) Calculer la quantité C définie par :
C rdrd
=
pour
0rR
et
02
3) Calculer la quantité D définie par :
2sinD r drd d
=
pour
0rR
;
0
et
02
Exercice 7
1) On considère la fonction f(x, y) = 5x2y + 3(y2 – x2)
Calculer fx ’(x, y) et fy ’(x, y)
2) On donne f(x, y) = (x2 + y, x + y2). Calculer le Jacobien de f au point P (-2, -1).