Chapitre 4 : Analyse en repères polaire, cylindrique et sphérique 1 Repère d’espace. cylindriques: r, , z z r U r , U , U z Uz U Ur OM rU r zU z sphériques: r, , r U r , U , U U Ur U OM rU r 2 Vecteurs vitesse et accélération 2.1.a Expressions du vecteur vitesse en coordonnées polaires et cylindriques. dr d dz V M / R0 U r U U dt r dt dt z 2.1.b Expressions du vecteur vitesse en coordonnées sphériques. d dr d V M / R0 U r sin U r dt r dt dt U 2.1.c Composantes cylindriques. du vecteur d 2 r d a M / R0 2 r dt dt 2.1.d 2 accélération en coordonnées polaires ou d 2 dr d d 2 z U 2 U r 2 z U r dt 2 dt dt dt Cas des trajectoires planes : composantes intrinsèques. V T(M) U r r Uy 0 V Ur A(t=0) Ux ds ds V M / R0 T M U dt dt Équation 1 dV V 2 M a M / R0 T M N M dt r avec N M vecteur unitaire directement perpendiculaire à T M orienté vers le centre du rayon de courbure. N Le vecteur est toujours dirigé vers la concavité de la trajectoire. r 2.2 Mouvement de rotation autour d'un axe fixe. V M / R r 2.3 d HM dt Mouvement de rotation quelconque. On remarque que si l’on associe au solide S un repère R1 en rotation quelconque par rapport à R0, la relation précédente se généralise à la dérivation du vecteur OM (fixe dans R1) dans le repère d’espace R0 : d OM R1 / R0 OM Équation 2 dt R0 d 1 / dt R' / R d 2 / dt où i(t) correspond à la composante de rotation du solide suivant l’axe i. d 3 / dt 3 Exemples de mouvements simples du point matériel. 3.1.a Définition. 3.1.b Propriétés. 3.1.c Mouvement circulaire uniforme.