Centre de symétrie d`une courbe : Axe de symétrie d`une courbe

FICHE METHODE TS
Asymptotes :
• Quand lim ( )
xa
fx
→
=∞ alors la droite d’équation xa
=
est asymptote à Cf.
• Quand lim ( )
x
f
xb
→∞
= alors la droite d’équation yb
=
est asymptote à Cf.
• Quand lim ( ) ( ) 0
xfx ax b →∞
−+=
alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote à Cf.
Tangente :
Si f est dérivable en a alors la courbe de f admet une tangente au point d’abscisse a d’équation :
'( )( ) ( ).yfaxa fa=−+
'( )fa est le coefficient directeur de la tangente).
Remarque : deux droites non parallèles à l’axe (oy) sont parallèles lorsqu’elles ont même coefficient
directeur.
Position relative de deux courbes :
Pour étudier la position relative des courbes de f et de
g
, on étudie le signe de () ().fx gx−
Quand () ()fx gx− est positif, alors la courbe de f est au-dessus de la courbe de
g
.
Quand () ()fx gx− est négatif, alors la courbe de f est sous de la courbe de
g
.
Continuité : Une fonction f définie sur un intervalle I et a un réel de I est continue en a si et seulement si
lim ( ) ( )
xa
f
xfa
→
=.
Dérivabilité :Pour étudier la dérivabilité d’une fonction f en a, on étudie la limite de () ()
f
xfa
x
a
−
− quand x
tend vers a.
Si () ()
lim
xa
fx fa
x
a
→
−=∞
− f n’est pas dérivable mais la courbe de f admet une tangente verticale.
Remarque : Les fonctions polynômes, rationnelles, trigonométriques, sont dérivables sur leur ensemble de
définition.
Théorème : toute fonction f dérivable en a
∈
D est continue en a.
Centre de symétrie d’une courbe :
I (a ; b) centre de symétrie de Cf si et seulement si Df est centré en a et pour tout (a+h)∈ Df
f(a+h)+f(a-h)=2b.
Cas particulier : f est une fonction impaire si et seulement si, son ensemble de définition est centré en 0 et
pour tout x de Df f(-x)= - f(x).
La courbe d’une fonction impaire admet donc l’origine du repère comme centre de symétrie.
Axe de symétrie d’une courbe :
La droite D, d’équation x = a, est axe de symétrie de Cf si et seulement si Df est centré en a et pour tout
(a+h) ∈ Df f(a+h)= f(a-h).
Cas particulier : f est une fonction paire si et seulement si, son ensemble de définition est centré en 0 et
pour tout x de Df f(-x)= f(x).
La courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES :
f est une fonction continue sur un intervalle I, a et b sont deux réels de I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) =k.
COROLLAIRE:
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et
f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique dans [a;b].