Centre de symétrie d`une courbe : Axe de symétrie d`une courbe

FICHE METHODE
TS
Asymptotes :
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Quand lim f ( x ) = ∞ alors la droite d’équation x = a est asymptote à Cf.
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Quand lim f ( x ) = b alors la droite d’équation y = b est asymptote à Cf.
•
Quand lim f ( x ) − ( ax + b) = 0 alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote à Cf.
x→a
x →∞
x →∞
Tangente :
Si f est dérivable en a alors la courbe de f admet une tangente au point d’abscisse a d’équation :
y = f '( a )( x − a ) + f ( a ).
f '( a ) est le coefficient directeur de la tangente).
Remarque : deux droites non parallèles à l’axe (oy) sont parallèles lorsqu’elles ont même coefficient
directeur.
Position relative de deux courbes :
Pour étudier la position relative des courbes de f et de g , on étudie le signe de f ( x ) − g ( x ).
Quand f ( x ) − g ( x ) est positif, alors la courbe de f est au-dessus de la courbe de g .
Quand f ( x ) − g ( x ) est négatif, alors la courbe de f est sous de la courbe de g .
Continuité : Une fonction f définie sur un intervalle I et a un réel de I est continue en a si et seulement si
lim f ( x) = f (a) .
x →a
Dérivabilité :Pour étudier la dérivabilité d’une fonction f
en a, on étudie la limite de
f ( x) − f (a )
quand x
x−a
tend vers a.
f ( x) − f (a)
= ∞ f n’est pas dérivable mais la courbe de f admet une tangente verticale.
x→a
x−a
Remarque : Les fonctions polynômes, rationnelles, trigonométriques, sont dérivables sur leur ensemble de
définition.
Théorème : toute fonction f dérivable en a ∈ D est continue en a.
Si lim
Centre de symétrie d’une courbe :
I (a ; b) centre de symétrie de Cf si et seulement si Df est centré en a et pour tout (a+h) ∈ Df
f(a+h)+f(a-h)=2b.
Cas particulier : f est une fonction impaire si et seulement si, son ensemble de définition est centré en 0 et
pour tout x de Df f(-x)= - f(x).
La courbe d’une fonction impaire admet donc l’origine du repère comme centre de symétrie.
Axe de symétrie d’une courbe :
La droite D, d’équation x = a, est axe de symétrie de Cf si et seulement si Df est centré en a et pour tout
(a+h) ∈ Df f(a+h)= f(a-h).
Cas particulier : f est une fonction paire si et seulement si, son ensemble de définition est centré en 0 et
pour tout x de Df f(-x)= f(x).
La courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES :
f est une fonction continue sur un intervalle I, a et b sont deux réels de I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) =k.
COROLLAIRE:
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et
f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique dans [a;b].