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E.N.S.A.E.
lère épreuve 1/8
Concours Pour l’Admission d’Él&ves Titulaires Statisticiens Économistes
Option Mathématiques
JUIN 1995
Première Composition de Mathéma.tiques
(Durée: 4 Heures)
9 Pages
Notations et Introduction. - On note N les entiers positifs et N* =
N - {O} les entiers strictement positifs, Z les entiers relatifs, Z*= Z - {O),
Ip
les nombres dels et C les nombres mmplaaes.
Si n et d E Z*,
on dit que d divise n et on note dln s’il existe d E z* tel
que chf = n, sinon cm note d l n .
Si a, b sont des Cléments de Z et si m E N*,on note a r b (n)
si mI(a-b).
On note Z / d l’anneau quotient de Z par la relation d’équivalence préeéder&e.
On note (a,b) le plus grand commun diviseur de a et de b.
Soit P l’ensemble des nombres premiers et soit P[<n] l’ensembk des nom-
bres premiers inférieurs ou égaux à n (par exemple P[<121 = {2,3,5,7, II}).
Soit f une application de P dans C. On dit que k produit infini
verge (resp.converge absolument) si la suite n
converge absolument) vers une limite # O.
-n
f(p) con-
P€P
f(p) converge (resp.
P€P&l
O n peut utiliser les résultats d’une Qnatian
d’indiquer clairement le résultat admis.
n
..
tm&& B umdztmn
E.N.S.A.E.
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l è r e épreuve 2/8
Partie 1
On étudie dans cette partie quelques propriétés des séries de terme général
an
un = -, OÙ n 2 1,
E @,
n3
On désignera par so,
(Y
s E R.
et c des réels. On suppose c > O. Lorsque la série
C2
converge, on pose f ( s ) = C 2
ns
ns
n2l
n>l
1.1. - Montrer que
:
a,
a) si la série
n>l
converge absolument pour
ns
absolument pour tout s 2
b) si
s = so alors elle converge
SO.
f converge absolument pour s > a + 1.
Ihl 5 cnp la série
n>l
1.2. - Soit
et
(h)nzl
(vn)n>l
deux suites de nombres complexes. On pose
N
A ( N )=
CU,,,
N E N*.
n= 1
N
a) Montrer que :
~
v =, A ( N ) v ,
+
n=l
N-1
A(n)(v, - vn+i).
n= 1
b) On suppose que IA(N)I 5 cNS0 pour tout N E N*. Montrer qu’alors
a,
la série
converge pour tout s > so et que la convergence est
ns
n2l
uniforme ën s sur [SI, +w[, pour tout s1 > so.
C-
1.3. - Soit so
E R,
tel que la série
nrl
qu’eue converge pour tout s 2
an
converge pour s = SO. Montrer
ns
et que la convergence est uniforme en s sur
xr
iv
1
a,
et B ( N ) =
a
”).
[SO, +CO[ (on pourra poser b,, = -,c,=nso
ns-so
nso
n=l
sg
C
c-
a, converge pour tout s > SO,
ns
n> 1
elle définit une fonction, f(s), indéfiniment dérivable sur ]SO,+W[ et de plus
dk
(- log n)kU,,
V k E N,--f(s)
=
dsk
n3
n>l
1.4. - Montrer que si la série
C
En déduire que
:
( 3 E > O ) , ( 3 9, C”” sur 1, =]SI - E , SI + E [ ) tels que
f(s) = (s - s1)g(3) sur Ie.
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E.N.S.A.E.
lère épreuve 3/8
On suppose que. les séries f ( s ) =
~3 et
g(s> =
n?1
-
absolument pour s = so. Soit c, =
ad bn/d =
Montrer que la série h(s) =
nll
x-$ convergent
nll
ad
- bdl.
c,
converge absolument pour s = so et
ns
que l'on a h(s) = f ( s ) g ( s )pour tout s 2 SO.
Si de plus les séries f(s), g(s) et h(s) convergent pour tout s > si
avec so >
s1,
alors on admettra que pour tout s >
s1
on a encore
w = f(s)9(s>*
1-6.- O n dit qu'une application p de N* dans C est multiplicative si
Montrer que si p et
:
+ sont multiplicatives alors l'application, $, de W
daas C d é h i e par $(n) =
p(d)$(%) est multiplicative. On pose
4 = p*+.
dln
1.7.- Soit p une application de N* dans @. On dit que p est totalement
mvltzplicrrtive si :
Soit s E R tel que la série L(s, p) =
nEN*
P b ) converge absolument. On suppose
ns
p totalement multiplicative. Montrer que :
a) si p E P,la &rie
1
Pbk)converge absolument vers
Cpks
1- @'
k_>O
b) le produit infini
n
1
P O 1-@
p
P
converge absolument vers
E -.Pns( 4
n> 1
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E.N.S.A.E.
lère épreuve 4/8
Partie 2
Soit s un réel. Pour s
> 1, on définit c(s)
=
c -.
1
nL1
comportement de la fonction C( s) au voisinage de 1.
n8
On veut étudier le
2.1. - Montrer que pour s > 1, {(s) existe et que ((s) > 1.
2.2. - Montrer que le produit infini
1
7
converge pour s > 1 et
*p1-7
-(*
2.3. - Montrer que, pour s > 1, (1 - 2l-")C(s) =
On PO*
CAS)
2.4.
=
c
nzl
n2l
(- 1)n-1
ns
- Montrer que la fonction
lim (s - 1 ) ~ ( s )= 1 (on rappelle que
s-1
s> 1
c
nll
2.5.
(-1)-1
n
définie pour s
>
O et que
= ln2).
- Montrer que lim W s ) = -1.
8-1
s>l
2.6.
b(s) est
h ( s - 1)
- Montrer que, pour
s
une fonction bornée sur I =Il, CO[.
>
1, ln((s) =
P€P
1
+ R(s) où R(s) est
P
2.7. - Déduire des questions 2.5 et 2.6 que l'ensemble P des nombres
premiers est infini (on pourra raisonner par l'absurde).
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E.N.S.A.E.
lère épreuve 5 / 8
Partie 3
Soit 1 5 b 5 4 un entier. On montre dans cette partie qu’il existe une infinité
+
de nombres premiers dans la progression arithmétique (Sa b ) a E ~ .
Pour cela on Ctudie pour
j E {O, 1,2,3} le comportement au voisinage de
Xj (n)
où xj est une fonction multiplicative
s = 1 des fonctions L(s, xj)=
na
à valeurs dans les racines quatri&nes de l’unité qui sera définie cidessous.
n21
Si t E @, on note F son conjugué.
3.1.
- Soit
(Z/5Z)’ le sous groupe multiplicatif des éléments M
b h
pour la multiplication de (Z/SZ). Montrer que (Z/5Z)* est un groupe cyclique,
donner son orctre et un génbteur de ce groupe.
On notera Z la classe de z E N dans 2/52 et g un générateur du &rorrpe
multiplicatif (Z/52)*.
On définit une application t de N - 5N dans {O, 1,2,3}
par la relation Z. = gt(=). Cette application d6pencl du choix de 9.
(2r)
. . . Cième de l’unité. On pose si z E N
Soit w = exp - une racine pmmtme
et (2,s)= 1, x1(2) = w t ( r ) .
Soit
fi4
l’ensemble des racines Cièmes de l’unité. Pour j E {O, 1,2,3}, on
définit des fonctions xj de El dans
u {O)
:
{
si (295) = 1,
si ( x , 5 ) # 1,
xj
(4= XI (zY
xj
(4= 0
On notera X ( 5 ) l’ensemble de ces f o n c t k Montrer que X ( 5 ) ne d&ed
pas du choix du générateur g et que :
a) V j E
{O, 1,2,3}, et V s E N, x j (5 + S)= Xi
b) V j E {O, 1,2,3},
(Z),
xj est totalement multiplicative,
c) Si 1 5 b 5 4 et n E N, x o ( 5 n + b) = 1, x,(Sn+b) E {-I,O,+I},
k+4
d) Si xj # xo et k E N,
x j (n)= O,
n=k
k+4
n=k
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lère épreuve 6/8
f)
c x(4
XEX(5)
=
.
{O
si n + l ( 5 )
nE
4 si n = 1 (5)’
N,
=
1 si 2 h (5)
h et
O si z $ h (5)’
3
E N - 5N.
3.2. - Soit x E X(5). Montrer que :
a) si
x + xo,la série ~ ( s x)
, =
c
nll
absolument pour s > 1.
b) Pour s > 1, la série L(s,xo) =
En déduire que lim
s-rl
s> 1
3.3. - Soit, pour
w s , XO)
ln(s- 1)
ns
converge pour s > 0 et converge
1
converge, et :
ns
= -1.
x E X ( 5 ) et s > 1, G(s,x) =
p€P
X ( P ) + R(s,x) où R(s,x) est une fonction
-
x) =
a) Montrer que G(s,
bornée pour s 2 1.
XEX(5)
3.4.
P€P
p”
G ( s , x )=4):
b) Montrer que
1 X(Pk>
--.
el k pks
p€P
kzl
1
k-pks’
p b l (6)
- Montrer que, pour s > 1, eG(s9X)
= L(s,x).
Soit F ( s ) =
II L(s,x). En déduire que F ( s ) est un réel >
1 pour s
> 1.
XEX(5)
3.5. - Montrer qu’il y a au plus une fonction
x
E X(5),
que L(1,x) = O (on pourra montrer que 1 L(1,x) 1 c +oo si
s> 1
x
x
# XO, telle
# xo et que
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E.N.S.A.E.
l è r e épreuve 7/8
3.6. - On dit que la fonction x E X ( 5 ) est complexe s’il existe un n E W*
tel que x(n)E C - IR,autrement dit : 3 n E N’ tel que x(n) # {-1, O,+l}. On
définit, si f est une application de N dans @, l’application 7 de N dans C par
f(n)= f ( n ) pour tout n E N. Montrer que, si x est complexe, L(1, x) # O (on
pourra montrer que x E X ( 5 )
E K ( 5 ) et que L ( s , x )= L(s,x)).
3.7. - On suppose que la fonction x
E
X ( 5 ) est réelle non triviale c’est à
pour tout n E W et
dire que x(n) E {-1,0,+1}
x # xo.
Soit 8 l’application de N dans @ telle que B(n)= 1 pour tout n E
N.Montrer
que :
N*
V n E N*
VnE
a) (X*8)(n)2 O,
b) (X+8)(n2)2 1,
oh * est défini à la question 1.6.
(On pourra remarquer qu’il suffit de montrer a) et b) pour n
p E P,et de discuter suivant les valeurs de ~ ( p ) ) .
3.8. - Soit z E R,z 2 1 et soit
lsnlz
fonction bornée pour z 2 1.
que
‘A(N)’est borné).
f i
pk
avec
x E X ( 5 ) réelle non triviale. Montrer que :
(x* @(n) = zL(1, x) + ( & ) T ( z ) ,
En déduire que
=
où r(z) est une
E.N.S.A.E.
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lère épreuve 8/8
3.10. - On veut montrer que L(1, x) # O pour
x réelle non triviale. On
raisonnera par l'absurde. On suppose donc que L(1,x) = O. Montrer alors que :
('
a)
* e)(n)converge absolument pour s > 4,
ms
lim (1 - 21-s)-1c,(s)L(s, x) = C < +CG et lim ((2s) = +oo.
d)
84112
s> lj2
s+1/2
s>lj2
Conclure.
3.11. - Si h E N - 5W, montrer que :
pkh ( 5 )
où G(s,x) est défini à la question 3.3 et oh Rl(s) est une fonction réelle bornée
pour s > 1.
3.12. - Soit b
E
N,1 5 b 5 4. Soit pb
que lim
1
={pE
P;p
EE b ( 5 ) ) .
Mcmtrer
En déduire que 3 est infini.
Montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers dans toute progression
arithmétique de la forme a -+ 5a
+ b avec (5, b) = 1.