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E.N.S.A.E.
lère épreuve 1/8
Concours Pour l’Admission d’Él&ves Titulaires Statisticiens Économistes
Option Mathématiques
JUIN 1995
Première Composition de Mathéma.tiques
(Durée : 4 Heures)
9 Pages
Notations et Introduction. - On note N les entiers positifs et N* =
N - {O} les entiers strictement positifs, Z les entiers relatifs, Z* = Z - {O), Ip
les nombres dels et C les nombres mmplaaes.
Si n et d E Z*, on dit que d divise n et on note dln s’il existe d E z* tel
que chf = n, sinon cm note dln.
Si a, b sont des Cléments de Z et si m E N*, on note a rb (n) si mI(a-b).
On note Z/d l’anneau quotient de Z par la relation d’équivalence préeéder&e.
On note (a, b) le plus grand commun diviseur de a et de b.
Soit P l’ensemble des nombres premiers et soit P[< n] l’ensembk des nom-
bres premiers inférieurs ou égaux à n (par exemple P[< 121 = {2,3,5,7, II}).
Soit f une application de P dans C. On dit que k produit infini n f(p) con-
verge (resp. converge absolument) si la suite n - n f(p) converge (resp.
converge absolument) vers une limite # O.
P€P
P€P&l
..
On peut utiliser les résultats d’une Qnatian
tm&& B umdztmn
d’indiquer clairement le résultat admis.

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E.N.S.A.E.
lère épreuve 2/8
Partie 1
On étudie dans cette partie quelques propriétés des séries de terme général
an
n3
un = -, OÙ n 2 1, E @, s E R.
On désignera par so, (Y et c des réels. On suppose c > O. Lorsque la série
C 2 converge, on pose f(s) = C 2
ns
n2l
ns
n>l
1.1. - Montrer que :
a,
- converge absolument pour s = so alors elle converge
ns
a) si la série
n>l
absolument pour tout s 2 SO.
b) si Ihl 5 cnp la série f converge absolument pour s > a + 1.
n>l
1.2. - Soit (h)nzl et (vn)n>l deux suites de nombres complexes. On pose
N
A(N) = CU,,, N E N*.
n= 1
N N-1
a) Montrer que :
~v, = A(N)v, + A(n)(v, - vn+i).
n=l n= 1
b) On suppose que IA(N)I 5 cNS0 pour tout N E N*. Montrer qu’alors
a,
ns
la série C- converge pour tout s > so et que la convergence est
n2l
uniforme ën s sur [SI, +w[, pour tout s1 > so.
an
1.3. - Soit so E R, tel que la série - converge pour s = SO. Montrer
ns
nrl
qu’eue converge pour tout s 2 sg et que la convergence est uniforme en s sur
xr
iv
et B(N) = C a”).
1
,c,=-
a,
[SO, +CO[ (on pourra poser b,, = -
nso ns-so nso
n=l
a,
ns
1.4. - Montrer que si la série c- converge pour tout s > SO,
n> 1
elle définit une fonction, f(s), indéfiniment dérivable sur ]SO,+W[ et de plus
dk (- log n)kU,,
n3
Vk E N, --f(s) = C
n>l
dsk
En déduire que : ( 3 E > O ) , ( 3 9, C”” sur 1, =]SI - E, SI + E [ ) tels que
f(s) = (s - s1)g(3) sur Ie.

E.N.S.A.E.
lère épreuve 3/8
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On suppose que. les séries f(s) = ~3 et g(s> = x-$ convergent
n? 1 nll
absolument pour s = so. Soit c, =
ad - bn/d =
ad - bdl.
c,
- converge absolument pour s = so et
ns
Montrer que la série h(s) =
nll
que l'on a h(s) = f(s)g(s) pour tout s 2 SO.
Si de plus les séries f(s), g(s) et h(s) convergent pour tout s > si
avec so > s1, alors on admettra que pour tout s > s1 on a encore
w = f(s)9(s>*
1-6. - On dit qu'une application p de N* dans C est multiplicative si :
Montrer que si p et + sont multiplicatives alors l'application, $, de W
daas C déhie par $(n) =
p(d)$(%) est multiplicative. On pose 4 = p*+.
dln
1.7. - Soit p une application de N* dans @. On dit que p est totalement
mvltzplicrrtive si :
Pb)
Soit s E R tel que la série L(s, p) =
ns
p totalement multiplicative. Montrer que :
- converge absolument. On suppose
nEN*
1
converge absolument vers
Pbk)
a) si p E P, la &rie C -
b) le produit infini n
pks 1 - @'
P
k_>O
P(4
converge absolument vers E -.
1
ns
PO 1-@ p n> 1

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E.N.S.A.E.
lère épreuve 4/8
Partie 2
1
n8
Soit s un réel. Pour s > 1, on définit c(s) = c -. On veut étudier le
nL1
comportement de la fonction C( s) au voisinage de 1.
2.1. - Montrer que pour s > 1, {(s) existe et que ((s) > 1.
1
2.2. - Montrer que le produit infini
7 converge pour s > 1 et
*p1-7
(*
2.3. - Montrer que, pour s > 1, (1 - 2l-")C(s) =
-
n2l
(- 1)n-1
On PO* CAS) = c
ns
nzl
2.4. - Montrer que la fonction b(s) est définie pour s > O et que
= ln2).
(-1)-1
lim (s - 1)~(s) = 1 (on rappelle que c
s-1
n
s> 1 nll
= -1.
Ws)
2.5. - Montrer que lim
8-1 h(s - 1)
s>l
1
- + R(s) où R(s) est
P
2.6. - Montrer que, pour s > 1, ln((s) =
P€P
une fonction bornée sur I =Il, CO[.
2.7. - Déduire des questions 2.5 et 2.6 que l'ensemble P des nombres
premiers est infini (on pourra raisonner par l'absurde).

E.N.S.A.E.
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lère épreuve 5/8
Partie 3
Soit 1 5 b 5 4 un entier. On montre dans cette partie qu’il existe une infinité
de nombres premiers dans la progression arithmétique (Sa + b)aE~.
Pour cela on Ctudie pour j E {O, 1,2,3} le comportement au voisinage de
où xj est une fonction multiplicative
-
na
Xj (n)
s = 1 des fonctions L(s, xj) =
n2 1
à valeurs dans les racines quatri&nes de l’unité qui sera définie cidessous.
Si t E @, on note F son conjugué.
3.1. - Soit (Z/5Z)’ le sous groupe multiplicatif des éléments Mbh
pour la multiplication de (Z/SZ). Montrer que (Z/5Z)* est un groupe cyclique,
donner son orctre et un génbteur de ce groupe.
On notera Z la classe de z E N dans 2/52 et g un générateur du &rorrpe
multiplicatif (Z/52)*. On définit une application t de N - 5N dans {O, 1,2,3}
par la relation Z. = gt(=). Cette application d6pencl du choix de 9.
Cième de l’unité. On pose si z E N
Soit w = exp (2r) - une racine pmmtme
. ..
et (2,s) = 1, x1 (2) = w t(r).
Soit fi4 l’ensemble des racines Cièmes de l’unité. Pour j E {O, 1,2,3}, on
u {O) :
On notera X(5) l’ensemble de ces fonctk Montrer que X(5) ne d&ed
si (295) = 1,
xj (4 = XI (zY
{ si (x, 5) # 1, xj (4 = 0
définit des fonctions xj de El dans
pas du choix du générateur g et que :
a) V j E {O, 1,2,3}, et Vs E N, xj (5 + S) = Xi (Z),
b) V j E {O, 1,2,3}, xj est totalement multiplicative,
c) Si 1 5 b 5 4 et n E N, xo(5n+ b) = 1, x,(Sn+b) E {-I,O,+I},
k+4
d) Si xj # xo et k E N, xj (n) = O,
n=k
k+4
n=k