Feuille de TD 4 - IMJ-PRG

Université Pierre & Marie Curie M1 de Mathématiques
4M024 (Groupes et algèbres de Lie) Printemps 2017
TD n◦4. Décomposition polaire
1 Propriétés de base
Exercice 1.
a) On rappelle que On(R)a deux composantes connexes. Grâce à la décomposition polaire, montrer
que GLn(R)a deux composantes connexes.
b) Montrer que On(R)est un sous-groupe compact maximal de GLn(R).
Exercice 2.
a) Montrer que toute matrice de SU2(C)y est conjuguée à eiθ 0
0e−iθpour un θdans R.
b) Soit H= ix y +iz
−y+iz −ix : (x, y, z)∈R3. Montrer que exp : H→SU2(C)est surjective.
Exercice 3 (rattrapage 2012).Le groupe orthogonal complexe On(C)est donné par :
On(C) = {M∈Mn(C) : tMM =In}
a) Montrer que le groupe On(C)n’est pas connexe.
b) Soit Mune matrice dans On(C). Montrer qu’il existe une unique matrice O∈On(R)et une unique
matrice antisymétrique A∈Mn(R)telles que M=Oexp(iA).
c) En déduire que On(C)est homéomorphe à On(R)×R
n(n−1)
2, et que sa composante neutre est
SOn(C) = {M∈On(C) : det(M)=1}.
2 Groupe orthogonal généralisé
Exercice 4 (les groupes Op,q).Soit p, q ≥1deux entiers. Soit qla forme quadratique non dégénérée sur
Rp+qdont la matrice dans la base canonique est :
Jp,q =Ip0
0−Iq
Le groupe orthogonal de signature (p, q)est défini par :
Op,q =M∈Mp+q(R) : tMJp,qM=Jp,q
a) Montrer que Op,q est un sous-groupe fermé de GL(n, R)stable par transposition et que det(M) =
±1pour tout M∈Op,q.
b) Montrer que Kp,q =Op,q ∩Op+qest compact et homéomorphe à Op×Oq(on écrira des matrices
par blocs).
c) Montrer que la décomposition polaire sur GLp+q(R)se restreint en un homéomorphisme
Op,q −→ Op×Oq×Op,q ∩ S++
p+q
où S++
p+qest l’espace des matrices symétriques définies positives de Mp+q(R).
d) En utilisant l’exponentielle, en déduire que Op,q est homéomorphe à Kp,q ×Rd.
e) Combien Kp,q a-t-il de composantes connexes ? Montrer que SOp,q ={k∈Op,q : det(k) = 1}est
un sous-groupe d’indice et de degré 2contenant la composante neutre (SOp,q)◦.
f) Montrer que si M=A B
C D ∈Op,q, alors t
AA ∈ S++
p. Montrer que det(A)>0si M∈
(SOp,q)◦et det(A)<0sur l’autre composante de SOp,q.
En déduire que l’application SOp,q →Z/2Zdéfinie par M7→ det(A)
|det(A)|est un morphisme de groupes
de noyau (SOp,q)◦. Montrer que Kp,q s’identifie aux matrices de Op,q telles que det(A) = ±1.
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3 Groupe symplectique
Exercice 5 (partiel 2012).Le but de cet exercice est d’étudier un peu le groupe symplectique réel. Soit
Jla matrice de taille 2nainsi conçue :
J=0In
−In0
où Indésigne bien sûr la matrice identité de taille n. On définit alors Sp2n(R) = {M∈M2n(R) : tMJM =
J}.
a) Montrer que Sp2n(R)est un sous-groupe fermé de GLn(R), que l’on appelle groupe symplectique.
Montrer que Sp2n(R)est stable par transposition, et que toute matrice symplectique est de déter-
minant ±1.
b) Montrer que si M=OS, avec (O, S)∈O2n(R)× S++
2n(R), est la décomposition polaire d’une
matrice symplectique M∈Sp2n(R), alors Oet Ssont encore symplectiques.
c) Soit Sune matrice symplectique orthogonale : S∈Sp2n(R)∩O2n(R). Montrer que Sest de la
forme :
S=A B
−B A 
où Aet Bsont des matrices réelles de taille nvérifiant tAA +tBB =Inet t(tAB) = tAB (on
pourra faire un calcul par bloc). En déduire que A+iB est une matrice unitaire, c’est-à-dire dans
Un(C). Montrer que S7→ A+iB est un isomorphisme de groupes de Lie entre Sp2n(R)∩O2n(R)
et Un(C).
d) En déduire que Sp2n(R)est homéomorphe à Un(C)×Rn(n+1), puis enfin que toute matrice sym-
plectique est de déterminant 1.
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