Convolution arithmétique ℝ

Convolution arithmétique
On note F l’ensemble des fonctions de ℕ∗ vers ℝ . On munit F d’une loi additive définie par :
∀u , v ∈ F , ∀n ∈ ℕ∗ ,(u + v )(n ) = u (n ) + v (n ) .
Pour tout n ∈ ℕ∗ , on note :
• Dn l’ensemble des d ∈ ℕ∗ tels que d | n .
• C n l’ensemble des (d1 ,d 2 ) ∈ (ℕ∗ )2 tels que d1d2 = n .
On définit une seconde loi ⊻ sur F par :
∀u , v ∈ F , ∀n ∈ ℕ∗ ,(u ⊻ v )(n ) = ∑ u (d )v (n d ) .
d ∈Dn
Par abus, on pourra aussi noter :
(u ⊻ v )(n ) = ∑ u (d )v (n d ) .
d |n
Partie I : Etude de structure
1.
Justifier que pour tout u , v ∈ F on a :
∀n ∈ ℕ∗ ,(u ⊻ v )(n ) =
∑
u (d1 )v (d 2 ) .
(d1 ,d 2 )∈C n
2.
3.
Quelle propriété de la loi ⊻ découle de manière immédiate de cette relation.
Montrer que la loi ⊻ est associative.
Montrer que la loi ⊻ admet un élément neutre ε que l’on précisera.
4.
La structure (F , +, ⊻ ) est-elle un anneau ?
Partie II : Fonctions multiplicatives
Une fonction u de F est dite multiplicative si et seulement si :
∀m , n ∈ ℕ∗ , m ∧ n = 1 ⇒ u (mn ) = u (m )u (n ) .
Par exemple les fonctions θ et ψ de ℕ∗ vers ℝ définies par : θ (n ) = 1 et ψ (n ) = n sont clairement
multiplicatives.
1.
Pour tout n ∈ ℕ∗ , on note ω (n ) le nombre de nombres premiers distincts intervenant dans la
décomposition primaire de n . Montrer que l’application n ֏ (−1)ω (n ) est multiplicative.
N
2.
Soit u ∈ F une fonction multiplicative et n ∈ ℕ∗ connu par sa décomposition primaire n = ∏ piαi (avec
i =1
p1 ,…, pN nombres premiers deux à deux distincts).
Exprimer u (n ) en fonction des u (piαi ) .
3.
Soit m , n ∈ ℕ ∗ tels que m ∧ n = 1 et π : Dm ×Dn → Dmn l’application définie par π (d1 ,d 2 ) = d1d 2 .
3.a
3.b
Montrer que l’application π est bijective.
En déduire que si u , v ∈ F sont multiplicatives alors u ⊻ v l’est aussi.
4.
On pose δ = θ ⊻ θ et σ = ψ ⊻ θ .
4.a
Que représentent les quantités δ (n ) et σ (n ) ?
4.b
Soit n ∈ ℕ∗ connu par sa décomposition primaire n = ∏ piαi (avec p1 ,…, pN nombres premiers deux à
N
i =1
deux distincts). Exprimer δ (n ) et σ (n )
Partie III : Formule d’inversion de Möbius
On définit une fonction µ de F en posant pour tout n ∈ ℕ∗ :
µ(n ) = 0
si n est divisible par le carré d’un nombre premier et
µ(n ) = (−1)k
si n s’écrit comme le produit de k nombres premiers deux à deux distincts.
1.
Montrer que cette fonction µ est multiplicative.
2.
Soit p un nombre premier.
Calculer (µ ⊻ θ )(p ) et (µ ⊻ θ )(p α ) pour α ∈ ℕ∗ .
En déduire que µ est l’inverse de θ pour la loi ⊻ .
3.
Soit u , v ∈ F . Etablir l’équivalence :
∀n ∈ ℕ∗ , v (n ) = ∑ u (d ) ⇔ ∀n ∈ ℕ∗ , u (n ) = ∑ µ(n d )v (d ) .
d |n
4.
d |n
∗
En déduire que pour tout u ∈ F et tout n ∈ ℕ la relation :
u (n ) = ∑∑ µ(d c )u (c )
d |n
c |d
Partie IV : Fonction indicatrice d’Euler
Pour tout x ∈ ℤ et n ∈ ℕ∗ , on note (x )n la classe de x dans ℤ n ℤ .
1.
Dans toute la suite du problème, on pose pour tout n ∈ ℕ∗ ,
ϕ (n ) = Card {k ∈ 1, n / k ∧ n = 1} .
1.a
Rappeler quels sont les éléments inversibles de l’anneau ℤ n ℤ .
Combien y en a-t-il ?
1.b
Soit p un nombre premier. Calculer ϕ (p ) et ϕ (p α ) pour α ∈ ℕ∗ .
2.
Soit m , n ∈ ℕ ∗ tels que m ∧ n = 1 .
2.a
Quels sont les éléments inversibles de l’anneau (ℤ m ℤ)×(ℤ n ℤ) .
Combien y en a-t-il ?
2.b
Etablir que l’application f : ℤ mn ℤ → (ℤ m ℤ)×(ℤ n ℤ) définie par f ((x )mn ) = ((x )m ,(x )n ) est un
isomorphisme d’anneaux.
2.c
En déduire que ϕ (mn ) = ϕ (m )ϕ (n ) .
3.
Soit n ∈ ℕ∗ et d diviseurs positifs de n .
3.a
Calculer le cardinal de l’ensemble {k ∈ 1, n / pgcd(k , n ) = d } .
3.b
En déduire la relation
∑ ϕ(d ) = n .
d |n
Partie V : Calcul de quelques déterminants non triviaux
Soit n ∈ ℕ * . On souhaite calculer le déterminant de la matrice A = (ai , j ) ∈ M n ( ℝ ) définie par ai , j = pgcd(i , j ) .
1.
{
On pose L = (ℓ i ,d ) ∈ M n ( ℝ ) la matrice définie par ℓ i ,d = 1 si d | i
0 sinon
{
et U = (ud , j ) ∈ M n ( ℝ ) celle définie par ud , j = ϕ (d ) si d | j
0
sinon
1.a
Calculer det L et detU .
1.b
Etablir que A = LU et donner une expression de det A .
On souhaite maintenant calculer le déterminant de la matrice B = (u (ai , j )) ∈ M n ( ℝ ) où u désigne un élément
de F et ai , j le pgcd de i et j comme ci-dessus.
2.a
∑ µ(d c )u (c ) si d | j
On pose V = (vd , j ) ∈ M n ( ℝ ) la matrice définie par vd , j = 
 c|d
0
sinon

Calculer LV .
2.b
En déduire une expression de det B .
3.
On note C = (ci , j ) ∈ M n ( ℝ ) la matrice définie par ci , j = ppcm(i , j )
2.
Donner une expression de detC .