dl416mines - CPGE Brizeux

Sujet II
Notations
Dans tout le probl`eme, nd´esigne un entier naturel non nul (n∈N∗).
– Dans En=Mn,1(R) espace vectoriel r´eel de dimension n, on utilisera le produit scalaire cano-
nique d´efini par
∀U, V ∈ En,(U|V) = UTV
– On notera Mn=Mn(R), l’espace vectoriel des matrices carr´ees de taille n`a coefficients r´eels.
– Pour A∈ Mn, on notera ker(A) le noyau de Avu comme endomorphisme de En.
– Dans Mn, on notera0nla matrice nulle et Inla matrice unit´e. Le d´eterminant est not´e det.
–Gn=GLn(R) = {M∈ Mn,det(M)6= 0}d´esigne le groupe lin´eaire des matrices inversibles de
Mn.
–On={M∈ Mn, MTM=In}d´esigne le groupe orthogonal d’indice n, form´e des matrices
orthogonales de Mn.
– On sera enfin amen´e `a utiliser des d´ecompositions par blocs. On rappelle en particulier que si
A, B, C, D, A0, B0, C0, D0∈ Mnon a alors dans M2n:
A B
C D  A0B0 C0D0=AA0+BC0AB0+BD0 CA0+DC0CB0+DD0
det  A C
0nD= det  A0n C D = det(A) det(D)
1 Le groupe symplectique
Soit n∈N∗et soit Jnou simplement Jla matrice de M2nd´efinie par
J=0n−In
In0n
On note
Sp2n={M∈ M2n, MTJM =J}
1. Calculer J2et JTen fonction de I2net J. Montrer que Jest inversible et identifier son inverse.
2. V´erifier que J∈ Sp2net que pour tout r´eel α,
K(α) = In0n
−αInIn∈ Sp2n
3. Pour tout U∈ Gn, v´erifier que LU=U0n
0n(U−1)Test dans Sp2n.
4. Si M∈ Sp2n, pr´eciser les valeurs possibles de det(M).
5. Montrer que le produit de deux ´el´ements de Sp2nest un ´el´ement de Sp2n.
6. Montrer qu’un ´el´ement de Sp2nest inversible et que son inverse appartient `a Sp2n.
7. Montrer que si M∈ Sp2nalors MT∈ Sp2n.
Soit Mune matrice de M2n´ecrite sous la forme
M=A B
C D avec A, B, C, D ∈ Mn
8. D´eterminer les relations sur A, B, C, D caract´erisant l’appartenance de M`a Sp2n.
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2 Centre de Sp2n
On s’int´eresse ici au centre Zde Sp2nc’est `a dire
Z={M∈ Sp2n,∀N∈ Sp2n, MN =NM}
9. Justifier l’inclusion suivante : {−I2n, I2n} ⊂ Z.
R´ecirpoquement, soit M∈ Z ´ecrite sous la forme
M=A B
C D avec A, B, C, D ∈ Mn
10. En utilisant L=InIn
0nInet sa transpos´ee, obtenir B=C= 0net D=A,A´etant inversible.
11. Soit U∈ Gn. En utilisant LU=U0n
0n(U−1)T, montrer que Acommute avec toute matrice
U∈ Gn.
12. Conclure que A∈ {−In, In}et Z={−I2n, I2n}.Indication : on montrera d’abord que les
matrices In+Ei,j commutent avec A, o`u (Ei,j ,1≤i, j ≤n)est la base canonique de Mn.
3 D´eterminant d’une matrice symplectique
Soit Mdans Sp2nque l’on d´ecompose sous forme de matrice blocs
M=A B
C D (1)
avecA, B, C, D ∈ Mn. Dans toute cette partie, les matrices A, B, C, D sont les matrices de cette
d´ecomposition.
On suppose dans les questions 13 et 14 que Dest inversible.
13. Montrer qu’il existe quatre matrices Q, U, V, W de Mntelles que
InQ
0nIn U0n V W =A B C D 
14. En utilisant la question 8, v´erifier que BD−1est sym´etrique, puis que
det(M) = det(ATD−CTB) = 1
Soient P, Q ∈ Mntelles que PTQsoit sym´etrique et Qnon inversible. On suppose qu’il existe
deux r´eels diff´erents s1, s2et deux vecteurs V1, V2non nuls dans Entels que
(Q−s1P)V1= (Q−s2P)V2= 0
15. Montrer que le produit scalaire (QV1|QV2) est nil.
On suppose dor´enavant Dnon inversible.
16. Montrer que ker(B)∩ker(D) = {0}.
Soit mun entier, m≤n. Soit s1, . . . , smdes r´eels non nuls et deux `a deux distincts et V1, . . . , Vm
des vecteurs non nuls tels que
(D−siB)Vi= 0 pour i= 1, . . . , m
17. Montrer que pour tout i∈ {1, . . . , m},DVi6= 0 et que la famille (DVi, i = 1, . . . , m) forme un
syst`eme libre de En.
18. En d´eduire qu’il existe un r´eel αtel que D−αB soit inversible.
19. Montrer alors que toute matrice de Sp2nest de d´eterminant ´egal `a 1.
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