Carrés de Z/qZ
Dans tout le texte, q est un nombre premier différent de 2. On note respectivement
le groupe multiplicatif des classes non nulles modulo p et celui des carrés de ces classes.
1.a. Discuter, suivant
dans Z/qZ, du nombre de solutions de l'équation
En déduire
le nombre d'éléments de
.
b. Montrer que
appartient à
si et seulement si il vérifie
.
(On admettra qu'il existe au plus
solutions à cette équation.)
2. Montrer que q est congru à 1 ou à -1 modulo 4.
b. Montrer l'équivalence entre les trois propriétés suivantes.
(i)
(ii)
(iii) Il existe un entier p tel que q divise
3. Montrer que, si q est somme de 2 carrés, il est congru à 1 modulo 4.
4. Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à -1 modulo 4.
(considérer
où
est la liste des plus petits nombres premiers
congrus à -1 modulo 4.)
La propriété admise vient de ce qu'un polynôme de degré k sur le corps Z/qZ admet au
plus k solutions.
Cette partie est utilisée dans Fractions continues et sommes de 2 carrés (niveau 3). On
démontre (à l'aide de fractions continues) qu'un nombre premier congru à 1 modulo 4 est une
somme de 2 carrés. On en déduit la caractérisation des entiers somme de deux carrés et
l'existence d'une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo 4.
Un problème de représentation à l'aide de carrés (de polynômes) est sous-jacent à Un
algorithme d'Abel (niveau 1).
1.a. L'équation n'a pas de solution lorsque
n'est pas un carré, elle en a une seule lorsque
est la classe nulle et deux (opposées) lorsque
est un carré.
Par définition, l'application
est surjective et chaque carré admet exactement deux antécédents. Cette classification des
éléments de
montre que le nombre d'éléments de
est
.
b. Les carrés non nuls forment un groupe fini (pour la multiplication des classes), l'ordre
d'un élément est un diviseur du nombre d'éléments du groupe (l'élément unité est la classe de
1).