Carrés de Z/qZ

Carrés de Z/qZ
Dans tout le texte, q est un nombre premier différent de 2. On note respectivement
Z / qZ et (Z / qZ ) 2
le groupe multiplicatif des classes non nulles modulo p et celui des carrés de ces classes.
1.a. Discuter, suivant  dans Z/qZ, du nombre de solutions de l'équation  2   . En déduire
le nombre d'éléments de (Z / qZ  ) 2 .
b. Montrer que  appartient à (Z / qZ  ) 2 si et seulement si il vérifie 
q 1
(On admettra qu'il existe au plus
solutions à cette équation.)
2
q 1
2
 1.
2. Montrer que q est congru à 1 ou à -1 modulo 4.
b. Montrer l'équivalence entre les trois propriétés suivantes.
q  1 ( 4)
(i)
(ii)
 1  ( Z / qZ  ) 2 .
(iii)
Il existe un entier p tel que q divise p 2  1.
3. Montrer que, si q est somme de 2 carrés, il est congru à 1 modulo 4.
4. Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à -1 modulo 4.
(considérer 4q1q2 qn  1 où q1 , q2 , , qn est la liste des plus petits nombres premiers
congrus à -1 modulo 4.)
Commentaire
 La propriété admise vient de ce qu'un polynôme de degré k sur le corps Z/qZ admet au
plus k solutions.
 Cette partie est utilisée dans Fractions continues et sommes de 2 carrés (niveau 3). On
démontre (à l'aide de fractions continues) qu'un nombre premier congru à 1 modulo 4 est une
somme de 2 carrés. On en déduit la caractérisation des entiers somme de deux carrés et
l'existence d'une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo 4.
 Un problème de représentation à l'aide de carrés (de polynômes) est sous-jacent à Un
algorithme d'Abel (niveau 1).
Solution
1.a. L'équation n'a pas de solution lorsque  n'est pas un carré, elle en a une seule lorsque 
est la classe nulle et deux (opposées) lorsque  est un carré.
Par définition, l'application
Z / qZ  (Z / qZ ) 2
 2
est surjective et chaque carré admet exactement deux antécédents. Cette classification des
q 1
éléments de Z / qZ montre que le nombre d'éléments de (Z / qZ  ) 2 est
.
2
b. Les carrés non nuls forment un groupe fini (pour la multiplication des classes), l'ordre
d'un élément est un diviseur du nombre d'éléments du groupe (l'élément unité est la classe de
1).
q 1
2
Ainsi, tout carré non nul  vérifie   1 et il y a autant de carrés que de solutions
possibles. L'ensemble des carrés et celui des solutions se confondent.
2.a. Evident pour tout nombre impair.
b. Remarquons d'abord l'équivalence immédiate entre (ii) et (iii). D'autre part,
q 1
si q  1(4),
est pair et  1 (Z / qZ  ) 2 ,
2
q 1
si q  1 (4), q  1(4),
est impair et  1 (Z / qZ  ) 2 .
2
3.
Comme q  a 2  b 2 est impair, il est impossible que a et b soient simultanément pairs
ou impairs. En supposant a  2u et b = 2v + 1 , on obtient q  4(u 2  v 2  v)  1 .
4.
Le nombre 4q1q2 qn  1 est congru à -1 modulo 4, un de ses diviseurs premiers doit
l'être également (si tous étaient congrus à 1 leur produit le serait aussi). Ce diviseur ne peut
figurer sur la liste des qi qui est obligatoirement incomplète. Ainsi, l'ensemble des nombres
premiers congrus à -1 modulo 4 est infini.