Exercices – 1 - Irma - Université de Strasbourg

Université de Strasbourg
L2 Polynômes & Fractions rationnelles
P. Guillot, bureau 314, [email protected]
Exercices – 1
Premiers calculs
Exercice 1. Pour chaque couple (P, Q)ci dessous calculer P−Q,P·Qet leur degrés :
1. P=X−2 + √2X2, Q =−X+1+X4.
2. P= (i+ 1)X−i+X3, Q =√2i−7X4.
3. P=X−1, Q = 1 + X3+X+X4+X5+X2.
Exercice 2 (Somme et produit de polynômes et leur degrés).Étant donnés deux polynômes P, Q ∈
K[X]exprimer les degrés de (−10)P, de P+Qet P·Qen fonction de deg(P)et deg(Q).
Exercice 3. Soit K=Q,Rou C. Prouver que dans K[X]on a P·Q= 0 =⇒P= 0 ou Q= 0.
En déduire que si on a AB =AC avec Anon-nul, alors B=C.
En d’autres termes, dans K[X]on a le droit de simplifier par un terme non-nul. C’est à retenir !
Exercice 4. Soient f, g, h ∈R[X]. Prouvez que si l’on a f(X)2−Xg(X)2=Xh(X)2alors on a
f(X) = g(X) = h(X) = 0.
Exercice 5. Soit Pn(X) = (1+X)(1+X2)(1+X4)(1+X8)···(1+X2n). Calculer les coefficients
de Pn.
Exercice 6. Montrer que X2−X+ 1 divise P(X)=(X−1)n+2 +X2n+1.
Exercice 7. Pour n6= 0, trouver toutes les racines du polynôme Pn(X) = 1 −X+X(X−1)
2! −···+
(−1)nX(X−1)···(X−n+1)
n!.
Indication : commencer par regarder Pn(n).
Division euclidienne de polynômes
Exercice 8. Trouvez le quotient et le reste des divisions suivantes : (2x+5) par (3x+1),(x2−2x)
par (x−2),(x2+ 6x+ 9) par (x+ 3),(x3−2x+ 3) par (x2−1),(x3−4x2+ 2) par (x2+i),(x4−
2x2+ 17x−10) par (x4−3x2+ 1).
Exercice 9. Déterminer pet qdans Rpour que P=X3+pX+qsoit divisible par Q=X2+3X−1.
Exercice 10. Calculer, pour n≥2les restes des divisions euclidiennes de P= (X−3)2n+ (X−
2)n−2par
1. (X−3)(X−2) ;
2. (X−2)2;
(on pourra, pour b) dériver l’expression obtenue en écrivant une division euclidienne).
Exercice 11. Déterminer aet bdans Ctels que A=X2+X+1 divise B=X4+aX2+bX +a2+1.
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Exercice 12. Soit t∈Run paramètre, n∈N, et Pn(X) = (sin(t)X+ cos(t))n. Déterminer le
reste de la division euclidienne de Ppar (X2+ 1) .
Exercice 13. 1. Déterminer deux suites (an)n∈Net (bn)n∈Ntelle que An=anXn+1 +bnXn+ 1
soit divisible par B= (X−1)2.
2. Déterminer le quotient de la division euclidienne de Anpar Bpour n≥1.Indication :
récurrence.
3. En déduire une expression simple de Pn
k=1 kxksi x6= 1 est un complexe.
Dérivées de polynômes
Par définition, si
P=a0+a1X+··· +anXn,
sa dérivée est
P0=a1+ 2a2X+··· +nanXn−1.
Les règles habituelles s’appliquent, notamment (P Q)0=P0Q+P Q0, comme vous pouvez le montrer
à titre d’exercice (pour les polynômes à coefficients dans C, on ne peut pas le déduire de ce qu’on
sait déjà des dérivées, puisque vous n’avez pas vu de théorie de la dérivation sur C).
Exercice 14. Déterminer tous les polynômes Pde R[X], non nuls, tels que (X2+1)P00(X)−6P= 0
et P(1) = 2.
Exercice 15. Soit Pun polynôme et a∈K. Montrer que les deux énoncés ci-dessous sont équiva-
lents :
1. (X−a)mdivise P, pour un certain m≥2.
2. P(a)=0et P0(a)=0.
Dans ce cas on dit que aest une racine multiple de P. Cette notion et le résultat de l’exercice
sont à connaître absolument.
Exercice 16 (Amélioration du résultat de l’exercice précédent).Soit P∈K[X],a∈Ket mun
entier. Montrer que les deux énoncés ci-dessous sont équivalents :
1. mest le plus grand entier tel que (X−a)mdivise P.
2. On peut écrire P= (X−a)mQavec Q(a)6= 0.
Dans ce cas on dit que aest une racine de multiplicité mde P. Montrer ensuite que, dans ce cas,
aest une racine de multiplicité m−1de P0.
Exercice 17. Soit n∈N, montrer que le polynôme Pn= 1 + X+X2
2! +···+Xn n!n’a pas de racine
multiple.
Exercice 18. Déterminer a, b ∈Zde façon à ce que le polynôme aXn+1 −bXn+ 1 soit divisible
par (X−1)2.
Exercice 19. Montrer que P=X3+pX +qadmet une racine double si et seulement si 4p3+27q2=
0.
Exercice 20. Déterminer les polynômes Pà coefficients complexes tels que P0divise P.
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