Exercices – 1 - Irma - Université de Strasbourg

Université de Strasbourg
L2 Polynômes & Fractions rationnelles
P. Guillot, bureau 314, [email protected]
Exercices – 1
Premiers calculs
Exercice 1. Pour chaque couple (P, Q) ci dessous calculer P − Q, P · Q et leur degrés :
√
1. P = X − 2 + 2X 2 , Q = −X + 1 + X 4 .
√
2. P = (i + 1)X − i + X 3 , Q = 2i − 7X 4 .
3. P = X − 1, Q = 1 + X 3 + X + X 4 + X 5 + X 2 .
Exercice 2 (Somme et produit de polynômes et leur degrés). Étant donnés deux polynômes P, Q ∈
K[X] exprimer les degrés de (−10)P , de P + Q et P · Q en fonction de deg(P ) et deg(Q).
Exercice 3. Soit K = Q, R ou C. Prouver que dans K[X] on a P · Q = 0 =⇒ P = 0 ou Q = 0.
En déduire que si on a AB = AC avec A non-nul, alors B = C.
En d’autres termes, dans K[X] on a le droit de simplifier par un terme non-nul. C’est à retenir !
Exercice 4. Soient f, g, h ∈ R[X]. Prouvez que si l’on a f (X)2 − Xg(X)2 = Xh(X)2 alors on a
f (X) = g(X) = h(X) = 0.
n
Exercice 5. Soit Pn (X) = (1 + X)(1 + X 2 )(1 + X 4 )(1 + X 8 ) · · · (1 + X 2 ). Calculer les coefficients
de Pn .
Exercice 6. Montrer que X 2 − X + 1 divise P (X) = (X − 1)n+2 + X 2n+1 .
Exercice 7. Pour n 6= 0, trouver toutes les racines du polynôme Pn (X) = 1 − X + X(X−1)
−···+
2!
n X(X−1)···(X−n+1)
.
(−1)
n!
Indication : commencer par regarder Pn (n).
Division euclidienne de polynômes
Exercice 8. Trouvez le quotient et le reste des divisions suivantes : (2x + 5) par (3x + 1), (x2 − 2x)
par (x − 2), (x2 + 6x + 9) par (x + 3), (x3 − 2x + 3) par (x2 − 1), (x3 − 4x2 + 2) par (x2 + i), (x4 −
2x2 + 17x − 10) par (x4 − 3x2 + 1).
Exercice 9. Déterminer p et q dans R pour que P = X 3 +pX +q soit divisible par Q = X 2 +3X −1.
Exercice 10. Calculer, pour n ≥ 2 les restes des divisions euclidiennes de P = (X − 3)2n + (X −
2)n − 2 par
1. (X − 3)(X − 2) ;
2. (X − 2)2 ;
(on pourra, pour b) dériver l’expression obtenue en écrivant une division euclidienne).
Exercice 11. Déterminer a et b dans C tels que A = X 2 +X +1 divise B = X 4 +aX 2 +bX +a2 +1.
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Exercice 12. Soit t ∈ R un paramètre, n ∈ N, et Pn (X) = (sin(t)X + cos(t))n . Déterminer le
reste de la division euclidienne de P par (X 2 + 1) .
Exercice 13.
1. Déterminer deux suites (an )n∈N et (bn )n∈N telle que An = an X n+1 + bn X n + 1
soit divisible par B = (X − 1)2 .
2. Déterminer le quotient de la division euclidienne de An par B pour n ≥ 1. Indication :
récurrence.
P
3. En déduire une expression simple de nk=1 kxk si x 6= 1 est un complexe.
Dérivées de polynômes
Par définition, si
P = a0 + a1 X + · · · + an X n ,
sa dérivée est
P 0 = a1 + 2a2 X + · · · + nan X n−1 .
Les règles habituelles s’appliquent, notamment (P Q)0 = P 0 Q+P Q0 , comme vous pouvez le montrer
à titre d’exercice (pour les polynômes à coefficients dans C, on ne peut pas le déduire de ce qu’on
sait déjà des dérivées, puisque vous n’avez pas vu de théorie de la dérivation sur C).
Exercice 14. Déterminer tous les polynômes P de R[X], non nuls, tels que (X 2 +1)P 00 (X)−6P = 0
et P (1) = 2.
Exercice 15. Soit P un polynôme et a ∈ K. Montrer que les deux énoncés ci-dessous sont équivalents :
1. (X − a)m divise P , pour un certain m ≥ 2.
2. P (a) = 0 et P 0 (a) = 0.
Dans ce cas on dit que a est une racine multiple de P . Cette notion et le résultat de l’exercice
sont à connaître absolument.
Exercice 16 (Amélioration du résultat de l’exercice précédent). Soit P ∈ K[X], a ∈ K et m un
entier. Montrer que les deux énoncés ci-dessous sont équivalents :
1. m est le plus grand entier tel que (X − a)m divise P .
2. On peut écrire P = (X − a)m Q avec Q(a) 6= 0.
Dans ce cas on dit que a est une racine de multiplicité m de P . Montrer ensuite que, dans ce cas,
a est une racine de multiplicité m − 1 de P 0 .
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n
Exercice 17. Soit n ∈ N, montrer que le polynôme Pn = 1 + X + X2! + · · · + Xn! n’a pas de racine
multiple.
Exercice 18. Déterminer a, b ∈ Z de façon à ce que le polynôme aX n+1 − bX n + 1 soit divisible
par (X − 1)2 .
Exercice 19. Montrer que P = X 3 +pX +q admet une racine double si et seulement si 4p3 +27q 2 =
0.
Exercice 20. Déterminer les polynômes P à coefficients complexes tels que P 0 divise P .
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