S ries enti res

CHAPITRE 2
SÉRIES ENTIÈRES
2.1 Séries entières
Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions Xfndont le
terme général est de la forme fn(x)=anxn, où (an)ndésigne une suite réelle ou complexe
et x∈R.
Une série entière est notée Xanxn. Comme pour les séries de fonctions, on cherche
l’ensemble ;
∆ = 
x∈R:∞
X
n=0
anxnconverge
.
C’est le domaine de convergence de la série entière.
Exemple 1.
∞
X
n=0
xn
n!.
Posons fn(x)=xn
n!et appliquons le critère de D’Alembert ;
lim
n−→∞ 
fn+1(x)
fn(x)
=lim
n−→∞ 
x
n+1
=0. La série entière est absolument convergente pour tout
x∈R; donc ∆ = R.
Exemple 2.
∞
X
n=1
xn
n2.
Posons fn(x)=xn
n2on a : lim
n−→∞ 
fn+1(x)
fn(x)
=lim
n−→∞ n
n+12
x
=|x|.
Si |x|<1, la série est absolument convergente et si |x|>1 la série diverge.
Etudions le cas où |x|=1.
on a fn(x)=|x|n
n2=1 n2·La série ∞
X
n=0
xn
n2est alors absolument convergente dans [−1,1] ;
et alors ∆ = [−1,1]
Exemple 3.
23

SÉRIES ENTIÈRES
∞
X
n=0
n!xn.
Cette série ne converge que si x=0 car lim
n−→∞ 
fn+1(x)
fn(x)
=lim
n−→∞ |(n+1)x|et la limite n’existe
que si x=0 : d’où : ∆ = {0}.
Exemple 4.
∞
X
n=1
xn
n.
Posons fn(x)=xn
non a lim
n−→∞ 
fn+1(x)
fn(x)
=lim
n−→∞ n
n+1x
=|x|.Si |x|<1, la série est
absolument convergente et si |x|>1 la série diverge.
Etudions le cas où |x|=1.
x=1 : c’est la série harmonique X1
n, elle est divergente.
x=−1 : c’est la série harmonique alternée X(−1)n
n!, elle est convergente.
D’où : ∆ = [−1,1[.
Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel)
Soit Xanxnune série entière. On suppose qu’il existe x0∈Rtel que la
suite (anxn
0)soit bornée. Alors :
1. La série Xanxnest absolument convergente pour |x|<|x0|.
2. La série Xanxnest normalement convergente pour |x|<r, et pour tout
r tel que 0<r<|x0|.
Preuve.
La suite (anxn
0) est bornée, il existe M>0 tel que ∀n∈N|anxn 0| ≤ M.
1.) Pour |x|<|x0|:
|anxn|=
anxn
0xn
xn
0
=|anxn
0|
x
x0
n
≤M
x
x0
n
·La série ∞
X
n=0
x
x0
n
est une série géométrique
de raison 
x
x0
<1, donc convergente. D’après le théorème de comparaison, la série
∞
X
n=0|anxn|est convergente et par conséquent la série ∞
X
n=0
anxnconverge absolument pour
|x|<|x0|.
2.) Soit 0 <r<|x0|et soit |x| ≤ r.
|anxn|=
anxn
0xn
xn
0
=|anxn
0|
x
x0
n
≤M
r
x0
n
·Comme ∞
X
n=0
Mr
x0nest une série numérique
convergente, la série entière ∞
X
n=0
anxnest normalement convergente pour tout xtel que
|x|<ret tout rtel que 0 <r<|x0|.
MrA N-E. 24

2.2 Rayon de convergence d’une série entière
2.2 Rayon de convergence d’une série entière
Pour les séries entières, la notion de convergence prend une forme assez simple.
Théorème 2.2.1
Soit Xanxnune série entière ; alors il existe un unique nombre réel R ≥0
(éventuellement infini) tel que :
1. Xanxnconverge absolument dans ]−R,R[.
2. Xanxndiverge si |x|>R.
Preuve.
Soit I=
r∈R+:∞
X
n=0
anrnconverge
⊂R+.I,∅car 0 ∈I.
On distinguera trois cas : I={0},I=R+et {0} ⊂ I⊂R+.
1) I={0}. On pose R=0.
Soit x∈R∗. Ceci implique que |x|>0 et par suite x<Iet la série ∞
X
n=0|anxn|diverge.
Montrons que ∞
X
n=0
anxndiverge. Pour cela, on raisonnera par l’absurde. Supposons que
∞
X
n=0
anxnconverge pour |x|>0.
Soit x1∈Ctel que 0 <|x1|<|x|. La série 
∞
X
n=0|anxn
1|
est convergente d’après le lemme
d’Abel (2.1.1) et donc x1∈I. D’où la contradiction avec le fait que I={0}.
2) I=R+. On pose R=∞. On doit prouver que Xanxnest absolument convergente
pour tout x∈R.
La série ∞
X
n=0|an|rnconverge pour tout r>0.
Soit x∈R∗. Il existe r>0 tel que |x|<r. Ceci implique |anxn| ≤ |an|rnet d’après le
théorème de comparaison la série Xanxnconverge absolument.
3) {0} ⊂ I⊂R∗,I,{0}et I,R∗.
a) Iest majoré. En effet, soit r∈R∗\Iet supposons que rn’est pas un majorant de
I. Il existerait alors r1∈Itel r<r1. D’après la définition de I, la série X|an|rn
1
est convergente ainsi que X|an|rn(car |an|rn<|an|rn
1) et donc r∈Ice qui est en
contradiction avec l’hypothèse r∈R∗\I.Iest alors un ensemble non vide et majoré
donc admet une borne supérieure R=sup
r∈I
I. Pour conclure, on doit prouver que
Xanxnconverge absolument pour tout x,|x|<Ret diverge pour tout x,|x|>R.
b)Soit x∈Rtel que |x|<R. Il existe ρ∈Itel que |x|< ρ < R. Comme la série X|an|ρn
converge, X|an| · |xn|converge en vertu du théorème de comparaison. Xanxnest
alors absolument convergente.
c) Soit x∈R,|x|>R. Ceci implique que |x|<Iet donc la série X|anxn|diverge.
25 MrA N-E.

SÉRIES ENTIÈRES
Montrons que Xanxndiverge. Pour cela, on raisonne par l’absurde. Si Xanxn
converge, d’après le lemme d’Abel, (2.1.1) la série Xanxn
1est absolument convergente
pour tout x1∈R, vérifiant R<|x1|<|x|et donc |x1| ∈ I. On a alors nécessairement
|x1| ≤ R=sup
r∈I
Iet ceci est en contradiction avec l’hypothèse R<|x1|<|x|.
Définition 2.2.1 Le nombre R=sup nr∈R+:X|an|rnconverge o∈R+∪ {+∞} est
appelé rayon de convergence de la série Xanxn.
Remarque 2.2.1 Le rayon de convergence d’une série Xanxnest caractérisé par :
1. |x|<R=⇒Xanxnest absolument convergente.
2. |x|>R=⇒Xanxndiverge.
3. |x|=Rest le cas douteux où on ne peut rien dire sur la nature de la série.
4. Pour tout r∈R+tel que r<R, la série Xanxnest normalement (donc absolu-
ment) convergente pour |x| ≤ r.
2.2.1 Détermination du rayon de convergence
Lemme 2.2.1 (Lemme d’Hadamard)
Soit Xanxnune série entière. Le rayon de convergence R est donné par la
relation : 1
R=lim
n−→∞ 
an+1
an
=lim
n−→∞
n
p|an|
Preuve.
a) Posons ℓ=lim
n−→∞ 
an+1
an·En utilisant le critère de d’Alembert on a :
lim
n−→∞ 
an+1xn+1
anxn
=lim
n−→∞ 
an+1
an|x|=ℓ|x|. Ceci implique :
α)ℓ|x|<1⇐⇒ |x|<1
ℓ=⇒la série est absolument convergente
β)ℓ|x|>1⇐⇒ |x|>1
ℓ=⇒la série est divergente
D’après la remarque (2.2.1), R=1
ℓ.
b) Posons ℓ=lim
n−→∞
n
p|an|. En utilisant le critère de Cauchy :
lim
n−→∞
n
p|anxn|=ℓ|x|puis on adopte le même raisonnement que précédemment, on
aboutit à la même conclusion ; R=1
ℓ.
Exemple 2.2.1
MrA N-E. 26

2.3 Propriétés
1. ∞
X
n=0
xn
n!.
On a an=1
n!, utilisons le critère de D’Alembert :
lim
n−→∞ 
an+1
an
=lim
n−→∞ 
n!
(n+1)!
=lim
n−→∞ 
1
n+1
=0, donc le rayon de convergence est
R=∞. La série est absolument convergente pour tout x∈R.
2. ∞
X
n=1
xn
n2.
On a lim
n−→∞ 
an+1
an
=lim
n−→∞ 
n
n+1
2=1. Le rayon de convergence est R=1. La série
est absolument convergente pour tout |x|<1 et divergente si |x|>1.
3. ∞
X
n=0
xn
2n.
Le critère de Cauchy donne :
lim
n−→∞
n
r1
2n=1 2, le rayon de convergence est R=2. La série est absolument
convergente pour tout |x|<2 et divergente si |x|>2.
Remarque 2.2.2 Soit φune application de Ndans N, la série suivante Xanxϕ(n)est
une série entière. On commence par calculer directement la limite suivante ;
ℓ=lim
n−→∞ 
an+1xϕ(n+1)
anxϕ(n)
=lim
n−→∞ 
an+1
an·lim
n−→∞ |x|ϕ(n+1)−ϕ(n)
puis chercher le domaine de xoù ℓ < 1 ; Rest donc sup nℓ∈R+=R+∪ {∞}o, où notre
série converge.
Exemple : Trouver le rayon de convergence de la série : X3nx2n+5.
Dans notre cas ϕ(n)=2n+5,
ℓ=lim
n−→∞ 
3n+1x2n+7
3nx2n+5
=3|x|2.
La série converge si 3|x|2<1⇐⇒ |x|<√3
3d’où le rayon de convergence est : R=√3 3.
La série est absolument convergente pour tout |x|<√3
3et divergente si |x|>√3 3.
2.3 Propriétés
Ce paragraphe étudie les propriétés de continuité, de dérivabilité et d’intégrabilité de
la fonction somme des séries entières.
27 MrA N-E.