Convergences I Convergence en probabilités II Fonctions

Convergences
Nous allons dans ce chapitre étudier la convergence d’une suite de variables aléatoires réelles (Xn)n≥0sous
différentes formes.
I Convergence en probabilités
Commençons par la définition suivante
Définition 1 On dit que la suite (Xn)n≥0converge en probabilités vers la v.a.r. Xsi
∀ε > 0, P (|Xn−X|> ε)→0
quand ntend vers l’infini.
Exemple : Si pour tout n,Xnsuit la loi exponentielle de paramètre n, la suite (Xn)n≥0converge en probabi-
lités vers la v.a.r. constante 0.
On doit noter tout de suite que la convergence en probabilités n’entraîne pas la convergence des espérances.
Contre-exemple : Soit, pour tout nune variable aléatoire telle que
Xn=n2avec probabilité 1
n
0avec probabilité 1−1
n
Alors (Xn)n≥0converge en probabilités vers la v.a.r. constante 0 mais E(Xn)→+∞.
Par contre, avec des conditions supplémentaires, le résultat peut être vrai. Par exemple, on a
Proposition 1 Supposons que (Xn)n≥0converge en probabilités vers la v.a.r. Xet qu’il existe K > 0tel que
|Xn|≤ Kpour tout net |X|≤ K. Alors E(Xn)→E(X).
II Fonctions caractéristiques
II.1 Espérance d’une variable aléatoire complexe
Si Zest une variable aléatoire à valeurs dans IC, on peut la décomposer sous la forme Z=X+iY . Quand
E(X)et E(Y)existent, on dira que Zadmet une espérance et on pose E(Z) = E(X) + iE(Y).
En particulier, si |Z|≤ 1,E(Z)existe.
Rappelons aussi que si α∈IR, on pose eiα = cos(α) + isin(α).
II.2 Fonctions caractéristiques
On définit
Définition 2 Soit Xune v.a.r. La fonction caractéristique de (la loi de) Xest définie par
∀t∈IR, ϕX(t) = E(eitX ).
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En pratique, nous aurons à considérer les deux cas :
a) si Xest discrète à valeurs dans {x0, x1, . . . , xn, . . .}alors
ϕX(t) =
∞
X
k=0
eitxkP(X=xk)
b) si Xadmet la densité fsur IR, on a
ϕX(t) = Z+∞
−∞
eitxf(x)dx
L’importance de la notion de fonction caractéristique vient du résultat suivant.
Proposition 2 Soient Xet Ydeux variables aléatoires. Si ∀t∈IR, ϕX(t) = ϕY(t)alors Xet Yont même
loi.
La proposition suivante donne les fonctions caractéristiques des principales lois.
Proposition 3 On a
(i) Si X∼ B(p), ϕX(t) = (1 −p) + peit
(ii) Si X∼ B(n, p), ϕX(t) = ((1 −p) + peit)n
(iii) Si X∼ P(λ), ϕX(t) = exp[λ(eit −1)]
(iv) Si X∼ G(p), ϕX(t) = peit
(1 −eit) + peit
(v) Si X∼ U([a, b]), ϕX(t) = 1
b−a
eitb −eita
it
(vi) Si X∼ E(λ), ϕX(t) = λ
λ−it
(vii) Si X∼ N (0,1), ϕX(t) = e
−t2
2
(viii) Si X∼ N (m, σ2), ϕX(t) = e
−σ2t2
2+itm
On a également le résultat fondamental suivant
Proposition 4 Si Xet Ysont deux variables aléatoires réelles indépendantes, on a
∀t∈IR, ϕX+Y(t) = ϕX(t)ϕY(t).
Application : Si X∼ N (m, s2)et Y∼ N (µ, σ2)sont deux variables indépendantes, alors X+Y∼
N(m+µ, s2+σ2).
On a aussi la propriété suivante
Proposition 5 Si la v.a.r. Xadmet un moment d’ordre n,ϕXest de classe Cnet on a le développement limité
suivant en 0
ϕX(t) = 1 + iE(X)t−E(X2)
2t2+. . . +inE(Xn) n!tn+o(tn)
2

III Convergence en loi
Comme on l’a vu, la fonction caractéristique d’une variable aléatoire caractérise la loi de cette variable. On
va définir un type de convergence qui se lit à travers ces représentations.
Définition 3 Soit (Xn)n≥0une suite de v.a.r. On dit que cette suite converge en loi vers la v.a.r. Xsi et
seulement si pour tout t∈IR,ϕXn(t)→ϕX(t).
On a
Proposition 6 Si (Xn)n≥0converge en probabilités vers X, alors elle converge aussi en loi vers X.
Par contre la réciproque n’est pas vraie. Regardons le contre-exemple ad hoc suivant. Soit Ω = {0,1}muni
de la probabilité uniforme. Considérons la suite de variable aléatoire (Xn)n≥0définie par
X2n(0) = 0
X2n(1) = 1 et X2n+1(0) = 1 X2n+1(1) = 0
Alors (Xn)n≥0converge en loi vers X0mais pas en probabilités.
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